【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题22.3 实际问题与二次函数（含答案）

知识构建 1．利用二次函数解决利润问题利润问题主要涉及两个等量关系：利润=售价-进价；总利润=单件商品的利润×销售量．在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）找出题中的已知量和未知量；（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；（4）找出等量关系并列出函数解析式；（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．2．利用二次函数求图形面积的最值（1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．（2）应用二次函数解决实际问题的基本思路：①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性． 3．利用二次函数解决抛物线形问题在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．   重点掌握  重点利用二次函数解决利润问题和实际问题难点二次函数的综合问题易错解二次函数的实际问题时，忽视自变量的取值范围例题展示一、利用二次函数解决利润问题二次函数与利润最大问题（1）调整价格分涨价和降价．（2）总利润=单件商品的利润×销售量．（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．【例1】每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？ 学@科网（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m=-10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．二、利用二次函数求图形面积的最值求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．【例2】一养鸡专业户计划用116 m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽都是1 m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？三、利用二次函数解决抛物线形问题用二次函数解决抛物线形问题（1）建立恰当的平面直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标；（3）合理地设出函数解析式；（4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式；（5）利用解析式求解．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用．【例3】如图，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=-x2，当水位线在AB位置时，水面宽12 m，这时水面离桥顶的高度为A．3 m     B． m   C． m   D．9 m【答案】D【解析】由已知知：点的横坐标为，把代入得，即水面离桥顶的高度为9 m．故选D． 基础1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为A．5000元        B．8000元C．9000元        D．10000元2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线y=-x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的表达式是A．y=-x2+x+1       B．y=-x2+x-1C．y=-x2-x+1       D．y=-x2-x-13．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为A．10米         B．15米 C．20米         D．25米4．如图，已知抛物线y=-x2+3x的对称轴与一次函数y=-2x的图象交于点A，则点A的坐标为__________．5．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．则S与x的函数关系式是__________，自变量x的取值范围是__________．6．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m时，拱高为2 m，一艘木船宽2 m．要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3 m，那么木船的高不得超过__________m．7．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x元（x为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；（2）设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？       8．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AB的长为多少米？      9．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为A．1.5 m    B．1.625 m    C．1.66 m    D．1.67 m10．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB=x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y的最大值为__________．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为__________．12．销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元/件，但不超过50元/件时，销售数量N（件）与商品单价M（元/件）的函数关系的图象如图所示中的线段AB．（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？        13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点B坐标为（5，0）．（1）求二次函数解析式及顶点坐标；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．      真题14．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A．10 m    B．15 m    C．20 m    D．22.5 m15．（2018•武汉）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t．在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是__________m．16．（2018•贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30-x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为__________元．17．（2018•绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加__________m．18．（2018•沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．19．（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为__________件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．     20．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．    参考答案3．【答案】A【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，S=（40-2x）x=-2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则即x的长为10 m．故选A．学@科网4．【答案】（，-3）【解析】抛物线y=-x2+3x的对称轴为：，当时，y=．点A的坐标为（，-3）．故答案为：（，-3）．5．【答案】S=-3x2+24x；≤x<8【解析】由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24−3x）米．∴S=x（24−3x）=−3x2+24x．∵0<24−3x≤10，解得≤x<8，故答案为：S=-3x2+24x；≤x<8．6．【答案】1.27．【解析】（1）y=50-．（2）w=（x-20）（-=．∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．8．【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．∵0<24-3x≤10，∴≤x<8，即自变量的取值范围是≤x<8．（2）由条件-3x2+24x=45化为x2-8x+15=0，解得x1=5，x2=3，∵≤x<8，∴x=3不合题意，舍去，即花圃的宽AB为5米．9．【答案】B【解析】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=-x2+x+，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625 m．故选B．12．【解析】（1）设y关于x的函数关系式为．由题意，得，解得．故y关于x的函数关系式为．（2）设该商品的单价应该定x元．由题意，得．化简整理，得．解得，．经检验，不合题意，舍去．答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．13．【解析】（1）把点，点B坐标为（5，0）代入抛物线中，∴，∴，∵，∴S有最大值，∴当时，S有最大值为，此时．14．【答案】B【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0），（40，46.2），（20，57.9），则，解得，所以x= =15（m）．故选B．15．【答案】24【解析】当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-1.5t2=-1.5（t-20）2+600，此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20，即当t=16时，y=576，所以600-576=24（米）．故答案为：24．16．【答案】25【解析】设利润为w元，则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为：25． 学科！网17．【答案】4-418．【答案】150【解析】（1）设AB=x m，则BC=（900-3x），由题意可得，S=AB×BC=x×（900-3x）=-（x2-300x）=-（x-150）2+33750，∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，∴AB=150 m，故答案为：150．19．【解析】（1）由题意得：200-10×（52-50）=200-20=180（件），故答案为：180．（2）由题意得：y=（x-40）[200-10（x-50）]=-10x2+1100x-28000=-10（x-55）2+2250，∴每件销售价为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元．20．【解析】（1）由题意得：，