【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题24.1 圆的有关性质（含答案）


知识构建
1．圆
在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作______________.
圆心：固定的端点叫作圆心.
半径：线段OA的长度叫作这个圆的______________.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“______________”，读作“圆O”.
同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.
2．垂直于弦的直径
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的________________，圆有_______________条对称轴.
（2）垂直于弦的______________平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并且________________弦所对的弧.
3．弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做_______________.
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________________，所对的弦也________________.
（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
4．圆周角
（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.
（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___________.
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_______________.
（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是_______________.
（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的______________.
知识参考答案：
1．圆 半径 ⊙O
2．（1）对称轴 无数 （2）直径 垂直 平分
3．（1）圆心角 （2）相等 相等
4．（2）一半 （3）一半 （4）直角 直径 （5）圆内接多边形 对角互补
重点掌握
重点
垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论
难点
圆的有关概念、圆心角、圆周角的概念
易错
弧、弦、圆心角的关系
例题展示
一 圆的有关概念
圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.

下列说法错误的是
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【解析】A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
二 垂径定理及其推论的有关计算与证明
垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.

如图，在⊙O中，直径CD＝5，CD⊥AB于E，OE＝0.7，则AB的长是

A．2.4 B．4.8
C．1.2 D．2.5
【答案】B

三 应用垂径定理作图
圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点.

如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是

A．点Q B．点P
C．点R D．点M
【答案】A
【解析】连接BC，

作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点.
故选A.
四 利用垂径定理解决实际问题
利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题.

如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.
【解析】∵CD⊥AB且过圆心O,∴AD=AB=×12=6米,

设半径为r米,∴OA=OC=r米,∴OD=CD-OC=(9-r)米,
∴在AOD中,OA2=OD2+AD2,
∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.故O的半径为6.5米.
五 利用圆周角定理及其推论求角的度数
计算圆心角和圆周角时的注意事项：
1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.

如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝60°，则圆周角∠BAC等于

A．60° B．50°
C．40° D．30°
【答案】D

六 运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行证明
圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：
在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.

如图,已知AB、CD是O的直径,DF∥AB交O于点F,BE∥DC交O于点E.

（1）求证：BE=DF；
（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).
【解析】(1)∵DF∥AB,BE∥DC，
∴∠EBA=∠COA=∠CDF.
∴，
∴，
∴BE=DF；
(2)答案不唯一，图中相等的劣弧有：等.
七 圆内接四边形

如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是

A．50° B．60°
C．80° D．100°
【答案】D
【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，

∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.
故选D．
八 圆中计算防漏解

已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD间的距离是
A．7 cm B．17 cm
C．12 cm D．7 cm或17 cm
【易错提示】本题应分两种情况解答：（1）两弦在圆心的同侧；（2）两弦在圆心的异侧，易遗漏两弦在圆
心的异侧时的情况.


九 对圆心角与圆周角的性质理解不透彻

判断：（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.（ ）
（2）相等的圆周角所对的弧相等.（ ）
【易错提示】误以为这两个题均是正确的.如图①，在同心圆中，∠AOB=∠COD，但即.
在图②中，与有公共点M，显然圆周角∠AMB=∠CMD，而.

【正解】（1）错误；（2）错误.
十 求圆周角时未分类讨论而漏解

如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为

A．50° B．80°或50°
C．130° D． 50°或130°
【易错提示】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，此题应分两种情况进行讨论.
【正解】①如图所示，当C点在优弧上时，因为∠AOB=100°，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=∠AOB=50°.

②如图所示，当C点在劣弧上时，
因为∠AOB=100°，所以优弧所对的圆心角为：360°−100°=260°，
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=130°.

综上所述，∠ACB的度数为50°或130°.
故选D.

基础
1．下列语句中不正确的有
①平分弦的直径垂直于弦；②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；③长度相等的两条弧是等弧
A．3个 B．2个
C．1个 D．以上都不对
2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AB＝26，CD＝24，则OE的长度为

A．12 B．8
C．7 D．5
3．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是_______度．
A．45 B．60
C．90 D．120
4．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=

A．80° B．50°
C．40° D．20°
5．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为

A．15° B．30°
C．45° D．60°
6．⊙O的一条弦长AB=12 cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为
A．12 cm B．6 cm
C．7 cm D．8 cm
7．如图所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3 cm，则OB＝________ cm.

8．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝______．

9．如图所示，在中，为的直径，，则的度数是_________度.

10．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.
求证：(1)∠AOE＝∠BOD；
(2).
















11．如图，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．








能力
12．如图，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝57°，那么∠ABC的度数为

A．33° B．22°
C．58° D．26°
13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是(　　)

A． ∠A＝∠D B．
C． ∠ACB＝90° D． ∠COB＝3∠D
14．如图所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为

A．2 B．3
C．4 D．5
15．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB=58°，则∠BDC=_____度．

16．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的最大水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差(CD)为________米．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E.若∠DAC＝28°，则∠B的度数为________．

18．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．





19．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC=6，则当CD=　 　时，四边形EBCA是矩形．








20．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．










真题
21．（2018四川省巴中市）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于

A． B．2
C．2 D．3
22．（2018辽宁省阜新市）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是

A．25° B．35°
C．15° D．20°
23．（2018辽宁省盘锦市）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为

A．15° B．25°
C．30° D．50°
24．（2018四川省乐山市）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是

A．13寸 B．20寸
C．26寸 D．28寸
25．（2018湖南省邵阳市）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是

A．80° B．120°
C．100° D．90°
26．（2018江苏省淮安市）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是

A．70° B．80°
C．110° D．140°
27．（2018江苏省盐城市）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为
A．35° B．45°
C．55° D．65°
28．（2018山东省威海市）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为

A． B．5
C． D．5
29．（2018山东省聊城市）如图，中，弦与半径相交于点，连接，.若，，则的度数是

A． B．
C． D．
30．（2018江苏省镇江市）如图，AB为ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=
_______________°．

31．（2018湖北省孝感市）已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．
32．（2018湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=___________度．

33．（2018山东省烟台市）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________________．

34．（北京市2018）如图，点，，，在上，，，，则________．

35．（安徽省2018）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.










参考答案

3．【答案】C
【解析】∵圆心处构成一个周角, ∴圆心角为360°, 
∵将圆分割成四个大小相同的扇形, ∴每个扇形的圆心角是90°, 故选C.
4．【答案】A
【解析】∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=40°，
∴∠BOD=2∠BCD=80°．
故选A．
5．【答案】B
【解析】∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC=∠DAB=×60°=30°.
故选：B.


C为优弧ACB的中点,


故答案为：
9．【答案】100
【解析】△ABC中，∠B=60°，∠C=70°；
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°；
∴∠BOD=2∠A=100°．
故答案为：100°．
10．【解析】（1）∵CA=CB，

11．【解析】当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.

12．【答案】C
【解析】如图，连接EC，ED.设∠B＝x，∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE，∴∠4＝180°－2∠A＝180°－2×57°＝66°.∵DB＝DE，∴∠1＝∠B＝x，∴∠2＝∠1＋∠B＝2x，而EC＝ED，∴∠3＝∠2＝2x，∴∠4＝ ∠3＋∠B＝3x，∴3x＝66°，∴x＝22°，即∠ABC＝22°.故选B.

13．【答案】D

14．【答案】B
【解析】因为CD＝，DE=,BD＝,勾股定理知BE=1，设半径是r,在Rt中，
,
解得r=,所以AB=3.
故选B.
15．【答案】29
【解析】连接OC．

∵，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°.
故答案为29．
16．【答案】0.5
【解析】∵点C为弧AB的中点，O为圆心
由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，
在OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），
∴CD=OC-OD=2.5-2=0.5（米）；
故答案为0.5．
17．【答案】62°

故答案为：62°.
18．【解析】∵CA=CB=CO，
∴OB=BC=OC=OA=AC，
∴△OBC和△OAC都是等边三角形，
∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，
∴，
∴AD=BD=BA．
19．【解析】（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠E=∠BAC，
∴∠E=∠DAC.
∵BE∥AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠ACE=∠DAC，
∴AD∥EC．
（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，


20．【解析】如图，连接ON，OA，

∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
∵AB=7.2 m，
∴AD=AB=3.6 m．
又∵CD=2.4 m，
设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，
∵CD=2.4 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m，
∴CH=2.4-2=0.4（m），
∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），
在OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），
∴HN=（m），
∴MN=2EN=2×≈3.44 m＞3 m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
21．【答案】C

22．【答案】A
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故选：A．
23．【答案】B
【解析】如图，连接OB，

∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB=∠AOB=25°，
故选：B．
24．【答案】C

25．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选B．
26．【答案】C
【解析】作对的圆周角∠APC，如图，

∵∠P=∠AOC=×140°=70°，∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
27．【答案】C
【解析】∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
28．【答案】D
【解析】连接OC、OA，


29．【答案】D
【解析】 ∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°.
故选：D.
30．【答案】40
【解析】连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为：40．

31．【答案】2或14
【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，



∵AB=16 cm，CD=12 cm，
∴AF=8 cm，CE=6 cm，
∵OA=OC=10 cm，
∴OF=6 cm，OE=8 cm，
∴EF=OF+OE=14 cm．
∴AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm．
故答案为：2或14．
32．【答案】60
【解析】如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．

33．【答案】（-1，-2）

34．【答案】70°
【解析】由题意知=，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：
35．【解析】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；