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【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（含答案）
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知识构建
1．点和圆的位置关系
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.
（2）经过已知点A可以作________个圆，经过两个已知点A，B可以作________个圆；它们的圆心________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作________圆．
（3）经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边________的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有________，而一个圆的内接三角形有________．
（4）用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：___________________________；
②归缪：___________________________；
③下结论：___________________________.
2．直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d______r
d
（2）切线的性质与判定
a.切线的性质
（1）切线与圆只有_________个公共点．
（2）切线到圆心的距离________圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
b．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线长及切线长定理
①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的_____________.
②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_______________两条切线的夹角.
（4）三角形的内切圆及内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离_____________．
知识参考答案：
1．（1）d＞r d＝r d＜r （2）无数 无数 在线段AB的垂直平分线 一个 （3）三个顶点 垂直平分线 一个 无数个 （4）假设命题结论不成立 从设出发，经过推理论证，得出矛盾
由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立
2．（1）= （2）一 等于 切线长 平分 相等
重点掌握
重点
点和圆的位置关系、圆的确定、直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长及切线长定理
难点
反正法、三角形的外接圆、三角形的内切圆及内心
易错
圆的确定、切线的判定
例题展示
一 判断点和圆的位置关系
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.
已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．故选C．
二 垂径定理及其推论的有关计算与证明
利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24 cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12 cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0 cm＜r＜12 cm．
三 有关三角形外接圆的计算和证明
如图，点O是ABC外接圆的圆心，连接OB，若∠1=37°，则∠2的度数是
A．52° B．51°
C．53° D．50°
【答案】C
【解析】连接OC，
∵∠1=37°，∴∠BOC=2∠1=74°．
∵OB=OC，
∴∠2==53°．
故选C．
四 过不在同一直线上的三点作圆
平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
五 用反证法证明
（1）当一个命题直接证明很困难时，可考虑运用反证法证明.证明时要弄清楚反证法的思想及一般步骤，还要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定.
（2）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键.“一定”“可能”，“全都是”的否定分别为“不一定”“不可能’“不全是”；特别注意“一定”的否定不是“一定不”.
如图,已知:AB ,CD 是⊙O 内非直径的两弦,求证：AB 与CD 不能互相平分.
【解析】设 AB ,CD 交于点P ,连接 OP.
假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP，
∵AB，CD是圆O 内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD.
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立.
所以AB 与CD 不能互相平分.
六 直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到直线的距离为3 cm，则直线与⊙O的位置关系是
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意，得⊙O的半径r=3 cm，圆心O到直线的距离d=3 cm，所以，即直线与⊙O相切，故选：A.
七 切线的性质与判定
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于．
求证：（1）；（2）为⊙的切线．
【解析】（1）如图，连，
如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是
A．40° B．50°
C．25° D．115°
【答案】C
【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，
∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
八 三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
如图，⊙O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
（1）求ABC的面积；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AF的长．
【答案】（1）6；（2）⊙O的半径为1；（3） 3.
设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
则EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，
解得x＝1.即⊙O的半径为1；
（3）∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
九 对圆的切线判定方法理解不透彻
已知，如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点,D与OA相切于点E.
求证：直线OB与D相切.
证明：设F为OB与D的公共点，分别连接DF，DE.
∵OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∵OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，
∴∠EOD=∠FOD,DE=DF.
又∵OD=OD,.△ODE≌△ODF,
∴∠DEO=∠DFO=90°，即DF⊥OF,∴OB与D相切.
以上证明过程正确吗？若不正确，请给出正确的证明过程.
[易错提示】本题易错误地默认直线OB与D有交点.
正解：不正确.
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.
∵直线OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∴DF⊥OB，点D是∠AOB的平分线上一点，
∴DE=DF,∴直线OB与D相切.
能力提升
1．在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．无法判断
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．
3．如图 ，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是
A．4 B．8
C．6 D．10
4．如图 ，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于
A．5 B．8
C．10 D．12
5．如图，ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
6．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A． B．
C．2 D．
7．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．
A． B．
C． D．
8．在ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________.
9．已知ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.
（1）以C为圆心，2 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（2）以C为圆心，4 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（3）如果以C为圆心的圆和直线AB相切，则半径长为_________.
10．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
11．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．
求证：∠A=∠C；
12．如图，在ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
13．如图：已知点，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是
A．r>4 B．r>4且r≠5
C．r>3 D．r>4且r≠5
14．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝28°，则∠C的度数是
A．72° B．62°
C．34° D．22°
15．如图，⊙O为ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则CDE的周长为
A．9 B．7
C．11 D．8
16．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，则∠P的度数为
A．35° B．45°
C．60° D．70°
17．在ABC中，∠A=90°，AB=3 cm，AC=4 cm，若以A为圆心，3 cm为半径作⊙O，则直线BC与⊙O的位置关系是
A．相交 B．相离
C．相切 D．不能确定
18．在中，．，，是斜边中线，以为圆心以长为半径画圆，则、、三点在圆外的是__________，在圆上的是__________．
19．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D两点，已知PCD的周长等于10 cm，则PA= __________ cm.
20．如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8 cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
21．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________．
22．城市的正北方向的处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为．
（1）当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了的时候接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）
（2）班车从城到城共行驶了，请你判断到城后还能接收到信号吗？请说明理由．
23．如图，在ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求ACD外接圆的直径．
24．（2018湖北省宜昌市）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为
A．30° B．35°
C．40° D．45°
25．（2018广东省深圳市）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是
A．3 B．
C． D．
26．（2018年浙江省舟山市）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
27．（2018山东省泰安市）如图，与相切于点，若，则的度数为
A． B．
C． D．
28．（2018湖南省益阳市）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
29．（2018湖南省长沙市）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=_____度．
30．（2018四川省内江市）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
31．（2018江苏省连云港市）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
32．（2018江苏省扬州市）如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．
33．（2018湖南省娄底市）如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
34．（2018辽宁省葫芦岛市）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
35．（2018湖北省黄石市）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
36．（2017江苏南通）如图，ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
参考答案
1．【答案】B
【解析】如图所示：
2．【答案】D
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B， ∴PA=PB，∠1=∠2， ∴选项A、B正确；
∵PA=PB，∠1=∠2， ∴OP⊥AB，∴选项C正确；根据已知不能得出，故选项D符合题意； 故选D．
3．【答案】B
【解析】∵PA和PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=8，故选B．
4．【答案】C
【解析】根据圆外切四边形的两组对边和相等得AB+CD=20÷2=10．故选C．
5．【答案】A
【解析】如图作直径AM，连接BM．
∵AM是直径，EF是切线，
6．【答案】A
【解析】如图所示：
点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=x，
∴AD=x，
∵点E是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠EBD=30°，
∴AE=BE=2ED，
∴AE=x，
∴等边三角形外接圆的半径BE等于边长AB的倍．
故选C.
8．【答案】
9．【答案】相离 相交 cm
【解析】由已知可得，BC=,
所以，斜边上的高CD=,
（1）因为2<,所以，以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相离；
（2）因为4>,所以，以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相交；
(3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为 cm.
故答案为：（1）相离；（2）相交；（3）cm.
10．【答案】80°
11．【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C.
12．【解析】（1）连接OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
13．【答案】B
【解析】如图所示，作PA⊥x轴，垂足为A，连接OP，
14．【答案】C
【解析】∵OA=OB，∴∠A=∠ABO=28°，∴∠COB=∠A+∠ABO=56°，
又∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，则∠OBC=90°，
∴∠C=90°-∠COB=90°-56°=34°．
故选C．
15．【答案】C
【解析】如图：
设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得
CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．
则有9-x+10-x=8，
解得：x=5.5．
所以CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．
故选C．
16．【答案】D
【解析】根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
17．【答案】A
18．【答案】B，M
【解析】∵∠ACB=90，AC=2 cm，BC=4 cm，
∴AB= cm，
∵CM是中线，
∴CM=AB=cm，
∵2<<4，
∴在圆外的是点B，在圆上的是点M.
故答案为：B；M.
19．【答案】5
【解析】设DC与⊙O的切点为E.
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴PA=PB.
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5 cm，
故答案为5．
20．【答案】2
21．【答案】99°
【解析】如图，连接OB，OC，AC，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=46°，∠DCF=32°，
∴∠DAC=∠DCF=32°，∠BAC=（360°-90°-90°-46°）=67°，
∴∠BAD=32°+67°=99°.
故答案为99°．
22．【解析】（1）过点作于点，
设班车行驶了的时候到达点．
根据此时接受信号最强，则，
又，
23．【解析】（1）∵RtABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD，∠ACB=∠AED，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴，
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在RtBDE中， ，即，解得x=3．
在RtACD中，即，解得AD=.
24．【答案】D
【解析】∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
25．【答案】D
26．【答案】D
【解析】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
27．【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．
28．【答案】45
29．【答案】50
【解析】∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为：50．
30．【答案】
31．【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°
32．【答案】
33．【答案】＜
【解析】∵点P是ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
34．【解析】（1）连接OC，
35．【解析】（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
36．【解析】连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC-FC=BC-OD=3-2=1，
∴BE=2BF=2．
知识构建
1．点和圆的位置关系
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.
（2）经过已知点A可以作________个圆，经过两个已知点A，B可以作________个圆；它们的圆心________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作________圆．
（3）经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边________的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有________，而一个圆的内接三角形有________．
（4）用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：___________________________；
②归缪：___________________________；
③下结论：___________________________.
2．直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d______r
d
（2）切线的性质与判定
a.切线的性质
（1）切线与圆只有_________个公共点．
（2）切线到圆心的距离________圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
b．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线长及切线长定理
①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的_____________.
②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_______________两条切线的夹角.
（4）三角形的内切圆及内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离_____________．
知识参考答案：
1．（1）d＞r d＝r d＜r （2）无数 无数 在线段AB的垂直平分线 一个 （3）三个顶点 垂直平分线 一个 无数个 （4）假设命题结论不成立 从设出发，经过推理论证，得出矛盾
由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立
2．（1）= （2）一 等于 切线长 平分 相等
重点掌握
重点
点和圆的位置关系、圆的确定、直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长及切线长定理
难点
反正法、三角形的外接圆、三角形的内切圆及内心
易错
圆的确定、切线的判定
例题展示
一 判断点和圆的位置关系
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.
已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．故选C．
二 垂径定理及其推论的有关计算与证明
利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24 cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12 cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0 cm＜r＜12 cm．
三 有关三角形外接圆的计算和证明
如图，点O是ABC外接圆的圆心，连接OB，若∠1=37°，则∠2的度数是
A．52° B．51°
C．53° D．50°
【答案】C
【解析】连接OC，
∵∠1=37°，∴∠BOC=2∠1=74°．
∵OB=OC，
∴∠2==53°．
故选C．
四 过不在同一直线上的三点作圆
平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
五 用反证法证明
（1）当一个命题直接证明很困难时，可考虑运用反证法证明.证明时要弄清楚反证法的思想及一般步骤，还要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定.
（2）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键.“一定”“可能”，“全都是”的否定分别为“不一定”“不可能’“不全是”；特别注意“一定”的否定不是“一定不”.
如图,已知:AB ,CD 是⊙O 内非直径的两弦,求证：AB 与CD 不能互相平分.
【解析】设 AB ,CD 交于点P ,连接 OP.
假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP，
∵AB，CD是圆O 内非直径的两弦，
∴OP⊥AB，OP⊥CD.
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立.
所以AB 与CD 不能互相平分.
六 直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到直线的距离为3 cm，则直线与⊙O的位置关系是
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】由题意，得⊙O的半径r=3 cm，圆心O到直线的距离d=3 cm，所以，即直线与⊙O相切，故选：A.
七 切线的性质与判定
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙的直径交底边于，于．
求证：（1）；（2）为⊙的切线．
【解析】（1）如图，连，
如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是
A．40° B．50°
C．25° D．115°
【答案】C
【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，
∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
八 三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
如图，⊙O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
（1）求ABC的面积；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AF的长．
【答案】（1）6；（2）⊙O的半径为1；（3） 3.
设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
则EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，
解得x＝1.即⊙O的半径为1；
（3）∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
九 对圆的切线判定方法理解不透彻
已知，如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点,D与OA相切于点E.
求证：直线OB与D相切.
证明：设F为OB与D的公共点，分别连接DF，DE.
∵OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∵OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，
∴∠EOD=∠FOD,DE=DF.
又∵OD=OD,.△ODE≌△ODF,
∴∠DEO=∠DFO=90°，即DF⊥OF,∴OB与D相切.
以上证明过程正确吗？若不正确，请给出正确的证明过程.
[易错提示】本题易错误地默认直线OB与D有交点.
正解：不正确.
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.
∵直线OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∴DF⊥OB，点D是∠AOB的平分线上一点，
∴DE=DF,∴直线OB与D相切.
能力提升
1．在中，，，．若以点为圆心，画一个半径为的圆，则点与的位置关系为
A．点在内 B．点在外
C．点在上 D．无法判断
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．
3．如图 ，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是
A．4 B．8
C．6 D．10
4．如图 ，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于
A．5 B．8
C．10 D．12
5．如图，ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
6．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A． B．
C．2 D．
7．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．
A． B．
C． D．
8．在ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为__________.
9．已知ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.
（1）以C为圆心，2 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（2）以C为圆心，4 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（3）如果以C为圆心的圆和直线AB相切，则半径长为_________.
10．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
11．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．
求证：∠A=∠C；
12．如图，在ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
13．如图：已知点，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是
A．r>4 B．r>4且r≠5
C．r>3 D．r>4且r≠5
14．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝28°，则∠C的度数是
A．72° B．62°
C．34° D．22°
15．如图，⊙O为ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则CDE的周长为
A．9 B．7
C．11 D．8
16．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，则∠P的度数为
A．35° B．45°
C．60° D．70°
17．在ABC中，∠A=90°，AB=3 cm，AC=4 cm，若以A为圆心，3 cm为半径作⊙O，则直线BC与⊙O的位置关系是
A．相交 B．相离
C．相切 D．不能确定
18．在中，．，，是斜边中线，以为圆心以长为半径画圆，则、、三点在圆外的是__________，在圆上的是__________．
19．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D两点，已知PCD的周长等于10 cm，则PA= __________ cm.
20．如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8 cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
21．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________．
22．城市的正北方向的处，有一无线电信号发射塔．已知，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为，是一条直达城的公路，从城发往城的班车速度为．
（1）当班车从城出发开往城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了的时候接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？（离发射塔越近，信号越强）
（2）班车从城到城共行驶了，请你判断到城后还能接收到信号吗？请说明理由．
23．如图，在ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求ACD外接圆的直径．
24．（2018湖北省宜昌市）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为
A．30° B．35°
C．40° D．45°
25．（2018广东省深圳市）如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是
A．3 B．
C． D．
26．（2018年浙江省舟山市）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
27．（2018山东省泰安市）如图，与相切于点，若，则的度数为
A． B．
C． D．
28．（2018湖南省益阳市）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度.
29．（2018湖南省长沙市）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=_____度．
30．（2018四川省内江市）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
31．（2018江苏省连云港市）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
32．（2018江苏省扬州市）如图，已知的半径为2，内接于，，则__________．
33．（2018湖南省娄底市）如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
34．（2018辽宁省葫芦岛市）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
35．（2018湖北省黄石市）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
36．（2017江苏南通）如图，ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
参考答案
1．【答案】B
【解析】如图所示：
2．【答案】D
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B， ∴PA=PB，∠1=∠2， ∴选项A、B正确；
∵PA=PB，∠1=∠2， ∴OP⊥AB，∴选项C正确；根据已知不能得出，故选项D符合题意； 故选D．
3．【答案】B
【解析】∵PA和PB为⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠P=60°，∴△PAB为等边三角形，
∴AB=PA=8，故选B．
4．【答案】C
【解析】根据圆外切四边形的两组对边和相等得AB+CD=20÷2=10．故选C．
5．【答案】A
【解析】如图作直径AM，连接BM．
∵AM是直径，EF是切线，
6．【答案】A
【解析】如图所示：
点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=x，
∴AD=x，
∵点E是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠EBD=30°，
∴AE=BE=2ED，
∴AE=x，
∴等边三角形外接圆的半径BE等于边长AB的倍．
故选C.
8．【答案】
9．【答案】相离 相交 cm
【解析】由已知可得，BC=,
所以，斜边上的高CD=,
（1）因为2<,所以，以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相离；
（2）因为4>,所以，以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相交；
(3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为 cm.
故答案为：（1）相离；（2）相交；（3）cm.
10．【答案】80°
11．【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C.
12．【解析】（1）连接OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
13．【答案】B
【解析】如图所示，作PA⊥x轴，垂足为A，连接OP，
14．【答案】C
【解析】∵OA=OB，∴∠A=∠ABO=28°，∴∠COB=∠A+∠ABO=56°，
又∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，则∠OBC=90°，
∴∠C=90°-∠COB=90°-56°=34°．
故选C．
15．【答案】C
【解析】如图：
设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得
CN=CM=x，BM=BP=9-x，AN=AP=10-x．
则有9-x+10-x=8，
解得：x=5.5．
所以CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11．
故选C．
16．【答案】D
【解析】根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
17．【答案】A
18．【答案】B，M
【解析】∵∠ACB=90，AC=2 cm，BC=4 cm，
∴AB= cm，
∵CM是中线，
∴CM=AB=cm，
∵2<<4，
∴在圆外的是点B，在圆上的是点M.
故答案为：B；M.
19．【答案】5
【解析】设DC与⊙O的切点为E.
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，
∴PA=PB.
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5 cm，
故答案为5．
20．【答案】2
21．【答案】99°
【解析】如图，连接OB，OC，AC，
∵EB、EC是⊙O的两条切线，∠E=46°，∠DCF=32°，
∴∠DAC=∠DCF=32°，∠BAC=（360°-90°-90°-46°）=67°，
∴∠BAD=32°+67°=99°.
故答案为99°．
22．【解析】（1）过点作于点，
设班车行驶了的时候到达点．
根据此时接受信号最强，则，
又，
23．【解析】（1）∵RtABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD，∠ACB=∠AED，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CB=8，
∴，
∵由（1）知，AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=90°，
∴设CD=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=10-6=4，
在RtBDE中， ，即，解得x=3．
在RtACD中，即，解得AD=.
24．【答案】D
【解析】∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
25．【答案】D
26．【答案】D
【解析】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
27．【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．
故选A．
28．【答案】45
29．【答案】50
【解析】∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为：50．
30．【答案】
31．【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°
32．【答案】
33．【答案】＜
【解析】∵点P是ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
34．【解析】（1）连接OC，
35．【解析】（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
36．【解析】连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC-FC=BC-OD=3-2=1，
∴BE=2BF=2．
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