【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题24.3 正多边形和圆（含答案）


知识构建
1．正多边形及有关概念
只要把一个圆分成　 　的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的　
　 圆．
一个正多边形的外接圆的　 　叫作这个正多边形的中心，外接圆的　 　叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的　 　叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的　 　.
2．正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为　 　，中心角的度数等于　 　；正多边形的中心角与外角的大小　 　.
易错点：易把正多边形的内切圆的半径(即边心距)当作正多边形的半径．
知识参考答案：
1．相等 外接 圆心 半径 圆心角 边心距
2． 相等

重点掌握
重点
正多边形及有关概念
难点
正多边形的相关计算
易错
混淆正多边形和圆的有关概念
例题展示
一 圆内接正多边形的判断
证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：
（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.
（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.
技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.
已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．

【解析】连接BF，CE，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCF为正五边形．
二 正多边形的有关计算
正多边形的相关计算技巧：
（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；
（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍.
若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是___________ .
【答案】：2．

三 对正多边形的概念、性质理解模糊
判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
（1）各边相等的多边形是正多边形；（ ）
（2）圆内接菱形是正方形；（ ）
（3）各个角相等的圆内接多边形是正多边形；（ ）
（4）正多边形都是中心对称图形.（ ）
【易错提示】易因不理解正多边形的概念、性质而出错.
（1)菱形的各边相等，但它不一定是正方形；
（2）圆内接菱形的四个顶点将圆周4等分，所以它是正方形；
（3）圆内接矩形的各角都相等，但它不一定是正方形；
（4）当正多边形的边数为奇数时，该正多边形不是中心对称图形.
【正解】（1)×（2）√(3）×(4）×
四 混淆正多边形和圆的有关概念致错
求边长为a的正方形的半径.
【易错提示】正多边形有外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆.正多边形的半径是指它的外接圆的半径，不要误认为正多边形的半径是它的内切圆半径
【正解】作正方形ABCD的外接圆，连接OA,OB.
在△AOB中，AB=a,∠AOB==90°，OA=OB.
由勾股定理，得OA2+OB2=a2，
∴，即边长为a的正方形的半径为.


能力提升
1．正八边形的中心角是
A．45° B．135°
C．360° D．1080°
2．下列属于正n边形的特征的有
①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
3．正六边形的半径是6，则这个正六边形的面积为
A．24 B．54
C． D．
4．边长为的正六边形的边心距等于
A． B．
C． D．
5．一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，则边心距是 ______ .
6．下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．
7．如图，要拧开一个边长为a=6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？








8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48，试求正六边形的周长．





9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．













10．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于
A．120° B．6°
C．114° D．114°或6°
11．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是

A．ACE是等边三角形
B．ACE既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为

A．30° B．45°
C．50° D．60°
13．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为
A．1∶∶ B．∶∶1
C．3∶2∶1 D．1∶2∶3
14．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正六边形的面积为________．

15．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那么图中OAB的边长AB是______；ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

16．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．










17．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：ABG≌BCH；
（2）求∠APH的度数．











18．如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

求证：四边形CDEM是菱形；











19．如图，正ABC内接于⊙O，⊙O的半径为R，试分别计算ABC的边长、边心距及面积．










20．（浙江省湖州市2018）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连接OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是

A．r B．（1+）r
C．（1+）r D．r
21．（2018内蒙古呼和浩特市）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为____________．
22．（2018贵州省贵阳市）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是____________度．

23．（2018河北省）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是_____；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．
24．（2018湖南省株洲市）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.

25．（2018陕西省）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________.

26．（2018四川省宜宾市）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
27．（2017四川凉山州卷）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则 ∠POQ=______．




参考答案


得到ODE，
因为∠DOE=360°×=60°，
又因为OD=OE，
所以∠ODE=∠OED=（180°-60°）÷2=60°，
则三角形ODE为正三角形，
∴OD=OE=DE=6，
∴S△ODE=9．
正六边形的面积为6×9=54．
故选D．
4．【答案】A

在△OAM中，由勾股定理得：OM==a．
故选：A．
5．【答案】8 cm
【解析】一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，
∴设边心距是h cm，则×60×h=240，
解得：h=8（cm），
即边心距为8 cm.
故答案为：8 cm.
6．【答案】②
【解析】①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；
②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成n个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；
③错误，正奇数边形不是中心对称图形；
④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为120°，但不是正六边形；
⑤错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．
故答案为：②.
7．【解析】设正六边形的中心是O，其一边是AB，


8．【解析】 如图，连接OA，作OH⊥AC于点H，则∠OAH＝30°.

在OAH中，设OA＝R，则OH＝R，AH＝
＝
而ACE的面积是OAH面积的6倍，即6×× R×R＝48，解得R＝8，
即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.
9．【解析】（1）连接OB，OC，


10．【答案】D
【解析】如图，连接OA，OB，OC，
∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=，∠AOB==72°，
∵OA=OC=OB，
∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，
若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，
当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．
∴∠BAC=6°或114°．故选D.


11．【答案】B

12．【答案】B
【解析】∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
13．【答案】B
【解析】设圆的半径为R，
如图(一)，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°,,
故BC=2BD=R；
如图(二)，


14．【答案】
【解析】连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴，
，
∴⊙O的内接正六边形的面积为：6×=．
故答案为.
15．【答案】 r 3r 60°
【解析】∵∠C=60°，OB=OC，∴∠OBC=∠COB=60°，AB∥CD, ∠BOC=∠OBA=60°,易得，, ODA是等边三角形,所以AB=r,ODA的周长是3r.
16．【解析】（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．

17．【解析】（1）∵在正六边形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG与△BCH中
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，BG＝CH，
∴△ABG≌△BCH；
（2）由（1）知：ABG≌△BCH，
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BPG=∠ABG=120°，
∴∠APH=∠BPG=120°．
18．【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠D=108°，∠DCA=72°，
∴∠D+∠DCA=180°，


19．【解析】∵AD⊥BC,BD=CD=BC,∠OBD=∠ABC=×60°=30°，
即边心距OD=OB=R，
由勾股定理得：BD==R，
∴三角形边长为BC=2BD=R,AD=AO+OD=R+R=R，
则△ABC的面积=BC×AD=×R×R=R².
20．【答案】D
【解析】如图连接CD，AC，DG，AG．

∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在RtACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG=r，
故选：D．
21．【答案】


过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
22．【答案】72


23．【答案】 14 21
【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；
设∠BPC=2x，
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，
以∠APB为内角的正多边形的边数为：，
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，
根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，
当x越小时，周长越大，
∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，
则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，
故答案为：14，21．
24．【答案】48°

25．【答案】72°
【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为：72°．
26．【答案】
【解析】依照题意画出图象，如图所示．


27．【答案】72°．
【解析】连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，∵OB=OC，∠OBP=∠OCQ，BP=CQ，
∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．