【精品讲义】人教版 初中数学同步九年级 专题24.4 弧长和扇形面积（含答案）


知识构建
1．弧长公式
半径为R，圆心角为n°的弧长为　 　.
2．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作_____________.
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为　 　；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为　 　.
3．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个　 　面和一个　 　面围成的，我们把连接圆锥　 　点和底面圆周上　 　一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个　 　，这个扇形的半径等于圆锥的　 　，弧长等于圆锥底面圆的　 　.
4．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为.
知识参考答案：
1．
2．（1）扇形 （2）
3．底 侧 顶 任意 扇形 母线长 周长

重点掌握
重点
弧长公式、扇形及扇形面积公式
难点
圆锥及其侧面积和全面积
易错
对弧长公式及扇形面积公式中n的意义理解不充分致错



例题展示
一 直接用弧长公式求扇形的弧长、半径或圆心角
利用弧长公式进行计算的三种题型
弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n.对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一.
如图，⊙O半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是　 　．

【答案】π


二 扇形面积公式
（1））如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为.
（2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为.
一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】S===．故选：A.
三 圆锥的侧面积和表面积
与圆锥的侧面积计算相关的问题，关键就是要把握圆锥的“母线”和“底面圆的周长”以及展开扇形的“半径”和“弧长”之间的对应关系.
如图所示，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是_______cm．(结果保留根号)

【答案】
【解析】∵半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面,
∴圆锥的侧面展开图的弧长为4π cm,
∴圆锥的底面周长为4π cm,
∴圆锥底面的半径为4π÷2π=2 cm,
∴圆锥的高为: .
四 移动的点的轨迹长度
平面图形滚动问题的解题规律
（1）滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；
（2）图形滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线（轨迹）一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.
（3）解答平面图形滚动问题的关键是找到定点（所形成扇形的圆心）和动点，其中定点与动点之间的距离是所形成扇形的半径.
如图，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（ ）cm.

A．16π B．π
C．π D．π
【答案】D


五 用割补法求图形的面积
用割补法求图形的面积
根据图形的特点，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形是用割补法求图形面积的关键.
如图，在O中，直径AB=2，CA切 O于A，BC交O于D，若∠C=45°，则

（1）BD的长是_________________；
（2）求阴影部分的面积．


（2）连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD=1，
∴OD⊥AB，
∴,∴与弦BD组成的弓形的面积等于与弦AD组成的弓形的面积,
∴.
六 用等积变形法求图形的面积
用等积变形法求图形的面积
根据两个图形的面积相等，把一个图形的面积转换为另一个图形的面积以便于解题的方法就是等积变形法.对于三角形来说，等积的主要依据是“同底（等底）等高（同高）的三角形的面积相等”.
如图，已知五边形ABCDE是⊙O 的内接正五边形，且⊙O的半径为1．则图中阴影部分的面积是

A． B． 
C．  D．
【答案】B

七 混淆圆锥底面圆的半径和侧面展开扇形的半径致错
如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.求这个圆锥的底面圆的半径.

【易错提示】圆锥侧面展开扇形的半径是圆锥的母线，与圆锥底面圆的半径不是同一条线段.常因将侧面展开扇形的半径当成圆锥的底面圆的半径致错.
【正解】设圆锥的底面圆的半径为r cm，扇形的半径为R cm，
则，解得（取正值）.
∴，解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为1 cm.

能力提升
1．已知一个半径为6的扇形面积是4π，则这个扇形的圆心角是
A．30° B．40°
C．45° D．60°
2．圆锥体的高h＝2 cm，底面圆半径r＝2 cm，则圆锥体的全面积为
A．4π cm2 B．8π cm2
C．12π cm2 D．(4＋4)π cm2
3．如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是

A．2 B．
C． D．1
4．如图，ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为

A．1π B．1.5π
C．2π D．3π
5．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于

A．6π B．9π
C．12π D．15π
6．如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则弧BC的长为

A． B．
C．π D．
7．已知扇形的半径为4 cm，面积为π cm2，则该扇形的弧长等于________．
8．已知圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长是4 cm，则圆锥的侧面积是________cm2（结果保留π）．
9．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.
10．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5 cm，则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________．

11．如图，在ABC中，AB＝AC，⊙O是ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长.












12．如图,在半径为、圆心角为45º的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上．

（1）求正方形CDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积.










13．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为

A．3π B．
C． D．4π
14．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为

A．175π cm2 B．350π cm2
C．π cm2 D．150π cm2
15．在半径为50 cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80 cm，母线长为50 cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为
A．228° B．144°
C．72° D．36°
16．如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为

A．12π B．15π
C．30π D．60π
17．如图，等腰直角ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分的面积为（结果保留π）

A．24-4π B．32-4π
C．32-8π D．16
18．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.以点O为圆心，2为半径画弧交图中网格线于点A，B，则弧AB的长是________.

19．如图，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为 _____

20．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为8，那么所围成的圆锥的高为 ．

21．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E，
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若EA=BO=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）









22．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将AOB绕点O逆时针旋转90°后得到A1OB1．

（1）画出A1OB1；
（2）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．












23．（2018湖南省益阳市）如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是

A． B．
C． D．
24．（2018辽宁省抚顺市）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是

A． B．
C．π D．2π
25．（2018年山西省）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为

A．4π﹣4 B．4π﹣8
C．8π﹣4 D．8π﹣8
26．（2018四川省广安市）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为

A．π﹣2 B．π﹣
C．π﹣2 D．π﹣
27．（2018浙江省宁波市）如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为

A． B．
C． D．
28．（2018湖北省十堰市）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是

A．12π+18 B．12π+36
C．6π+18 D．6π+36
29．（2018四川省巴中市）如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为　 　．

30．（2018广西壮族自治区梧州市）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．

31．（2018黑龙江省龙东地区）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____________．
32．（2018云南省昆明市）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为________________（结果保留根号和π）．

33．（2018四川省攀枝花市）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF=∠DAC．














34．（2018贵州省贵阳市）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．









35．（2018湖南省怀化市）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．








36．（2018吉林省长春市）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．
（1）求∠B的度数．
（2）求的长．（结果保留π）







37．（2018江苏省淮安市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．










参考答案
1．【答案】B

2．【答案】C
【解析】底面圆的半径为2，
∵底面圆的半径为2 cm、高为2 cm，
∴圆锥的母线长为=4 cm，
∴侧面面积=π×2×4=8π；
底面积为=π×22=4π，
全面积为：8π+4π=12π cm2．
故选C．
3．【答案】D
【解析】如图所示，

S阴影=S△AOB=S正方形=×2×2=1．
故选D．
4．【答案】C

5．【答案】D
【解析】已知在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，根据勾股定理求得AC=4，又因AB=3，可得底面的周长是6π，所以圆锥的侧面积为 ×6π×5=15π，故选D．
6．【答案】B
【解析】连接CO，∵AB=2，∴OB=1，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠COB=120°，∴的长为=π，故选B．

7．【答案】π cm
【解析】因为扇形面积的推导公式,将半径r=4,扇形面积为π代入公式可求得弧长等于 π,故答案为: π.
8．【答案】8π
【解析】底面圆的半径为2，则底面周长，侧面面积故答案为：

11．【解析】（1）∵AB=AC，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，


12．【解析】（1）连接OF，设正方形的边长为a.

在中,
解得a=1.
答：正方形的边长为1；
（2）阴影部分的面积
13．【答案】C
【解析】如图，


14．【答案】B
【解析】S扇形BAC=πr2=π×252=π，
S扇形DAE=πr2=π×(25－15)2=π，
S贴纸=(π－π) ×2=350π cm2.故选B.
15．【答案】C
【解析】80π=，解得n=288°，这是剩下的度数，则剪去的度数就是360°﹣288°=72°．故选C．
16．【答案】B
【解析】由勾股定理得AB=5，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π.故选B．
17．【答案】A
【解析】连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，


18．【答案】
【解析】如图，连接OA，OB，

则OC=OB，
∴∠OBC=30°，
∵BC∥OE，
∴∠BOE=30°，
同理∠DOA=30°，
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°，
∴弧的长度=，
故答案为．
19．【答案】8-2π
【解析】如图，连接CO，


20．【答案】
【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=2，
所以所围成的圆锥的高=.
21．【解析】（1）如图所示：连接OD、OC，

∵点D在圆上，B为切点，
∴OD=OB，OB⊥BC
在△COD和△COB中，

22．【解析】（1）A1OB1如图所示；

（2）由勾股定理得，OA＝＝，
∵AB所扫过的面积＝＋－－＝－，
BO扫过的面积＝，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和
＝－＋
＝
＝
＝．
23．【答案】B

24．【答案】B
【解析】∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是：，
故选B．
25．【答案】A
【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4，
故选A．
26．【答案】C
【解析】连接OB和AC交于点D，如图所示：


27．【答案】C
【解析】，，，
，，
的长为，
故选C．
28．【答案】C
【解析】如图，连接OD，
∵点C为OB的中点，


29．【答案】8﹣2π．
【解析】∵半圆的直径AD=4，且与BC相切，
∴半径为2，AB=2，
∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣•π•22=8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
30．【答案】4
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
31．【答案】
【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=1，
所以此圆锥的高=，
故答案为：．
32．【答案】﹣

∴扇形ABF的面积=，
∴图中阴影部分的面积=-，
故答案为：-．
33．【解析】（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，



∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵点D在上，
∴DF是⊙O的切线；
（3）连接BE，


34．【解析】（1）∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，
∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°.
（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，


35．【解析】（1）∵AB=4，∴OB=2.
∵∠COB=60°，∴S扇形OBC=.
（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC
∵点C在圆O上，
∴CD是⊙O的切线.
36．【解析】（1）∵AC切⊙O于点A，


37．【解析】（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，

∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，