2021届二轮复习 　函数与方程思想 作业（全国通用） 练习

思想方法训练1　函数与方程思想

一、能力突破训练

1.已知向量a=(1,1),b=(3,m),若a⊥(a-b),则实数m的值是(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

2.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.1

3.已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是 (　　)

A. B.(-∞,)

C. D.

4.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=(n∈N*),则a2 020的值为(　　)

A.2 209 B.3 029 C.4 039 D.2 249

5.设等差数列{an}的公差为d(d≠0),其前n项和为Sn.若,2S12=S2+10,则d的值为　　　　　. 

6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为　　　　　. 

7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上,以点P为圆心,以PF为半径的圆P与y轴交于A,B两点,O为坐标原点.若=7,则圆P的半径r=　　　　　. 

8.设函数f(x)=cos2x+sin x+a-1,已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围.

9.在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知c=2,C=.

(1)若△ABC的面积等于,求a,b;

(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积.

10.如图,某地区要在一块不规则用地上规划建成一个矩形商业楼区,余下的作为休闲区,已知AB⊥BC,OA∥BC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲线OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果矩形的两边分别落在AB,BC上,且一个顶点在曲线OC段上,应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?并求出最大的用地面积.

二、思维提升训练

11.已知函数f(x)=sin2sin ωx-(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是 (　　)

A. B.

C. D.

12.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.

(1)求数列{an}的通项an;

(2)设数列{bn}的通项bn=,记Sn是数列{bn}的前n项和,若n≥3时,有Sn≥m恒成立,求m的最大值.

13.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

14.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.

思想方法训练1　函数与方程思想

一、能力突破训练

1.A

2.D　解析:因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,f(8)=0,同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5);而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.

3.B　解析:由已知得,与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=x2+e-x-(x>0).

令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-的图象,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.

当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则lna<,则0<a<.综上,a<.故选B.

4.C　解析:根据题意可设函数f(x)=,则a1=f(0)=1.

因为f(an+1)=(n∈N*),

所以,所以an+1=an+2.

故数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.

则an=2n-1,所以a2020=4039.

5.-10　解析:由,2S12=S2+10,得解得d=-10.

6.[1,+∞)　解析:以AB为直径的圆的方程为x2+(y-a)2=a,

由得y2+(1-2a)y+a2-a=0.

即(y-a)[y-(a-1)]=0,

则由题意得解得a≥1.

7.5　解析:设点P(x0,y0),则圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(x0+1)2.

令x=0,则yB=y0+,yA=y0-.

又=7,则y0+=7(y0-),

又x0=,联立得y0=±4,x0=4,

则r=x0+1=5.

8.解f(x)=cos2x+sinx+a-1=1-sin2x+sinx+a-1=-+a+.

因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=时,函数f(x)有最大值,且f(x)max=a+,

当sinx=-1时,函数f(x)有最小值,且f(x)min=a-2.

因为1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,所以f(x)max≤,且f(x)min≥1,即解得3≤a≤4,

故a的取值范围是[3,4].

9.解(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.

因为△ABC的面积等于,

所以absinC=,得ab=4.

联立解得a=2,b=2.

(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,

即sinBcosA=2sinAcosA,

当cosA=0时,A=,B=,a=,b=,

当cosA≠0时,得sinB=2sinA,

由正弦定理得b=2a,联立

解得a=,b=.

故△ABC的面积S=absinC=.

10.解以点O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=2py,

把C(2,4)代入得p=,所以曲线段OC的方程为y=x2(x∈[0,2]).

A(-2,0),B(-2,4),设P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,过P作PQ⊥AB于Q,PN⊥BC于N,

故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]).

S=-x3-2x2+4x+8,令S'=-3x2-4x+4=0,得x=或x=-2(舍去),

当x∈时,S'>0,S是关于x的增函数,

当x∈时,S'<0,S是关于x的减函数,

所以当x=时,S取得最大值,

此时|PQ|=2+x=,|PN|=4-x2=,

Smax=.

故该矩形商业楼区规划成长为,宽为时,用地面积最大,且最大为.

二、思维提升训练

11.D　解析:f(x)=sinωx-sinωx-cosωx=sin.

由f(x)=0,得ωx-=kπ,k∈Z,x=,k∈Z.

∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,

∴≥2π-π=π,且

由≥π,得T≥2π,0<ω≤1.

由

解得≤ω≤(k∈Z).

当k=-1时,-≤ω≤,

∵ω>0,

∴0<ω≤;当k=0时,≤ω≤;

当k≤-2或k≥1,且k∈Z时,不满足0<ω≤1.

综上,ω的取值范围是.

12.解(1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144,

∴S10=145.

∵S10=,

∴a10=28,

∴公差d=3.

∴an=3n-2(n∈N*).

(2)由(1)知bn==,

∴Sn=b1+b2+…+bn=,

∴Sn=.

∵Sn+1-Sn=>0,

∴数列{Sn}是递增数列.

当n≥3时,(Sn)min=S3=,

依题意,得m≤,故m的最大值为.

13.解(1)由题意得解得b=.

所以椭圆C的方程为=1.

(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

所以|MN|===.

因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=.

由,

解得k=±1.

所以k的值为1或-1.

14.解由(x≤-1)消去y,

得(k2-1)x2+2kx+2=0. ①

∵直线m与双曲线的左支有两个交点,

∴方程①有两个不相等的负实数根.

∴

解得1<k<.

设M(x0,y0),则

由P(-2,0),M,Q(0,b)三点共线,得出b=,

设f(k)=-2k2+k+2=-2,

则f(k)在区间(1,)上单调递减,

∴f()<f(k)<f(1),且f(k)≠0.

∴-(2-)<f(k)<0或0<f(k)<1.

∴b<--2或b>2.

∴b的取值范围是(-∞,--2)∪(2,+∞).