2021届二轮复习 刷题型选填题八理 作业（全国通用）

选填题(八)

一、选择题

1．(2020·山西晋城三模)已知全集U＝{x∈N|0<x<6}，A＝{3,4,5}，B＝{2,3}，则B∪(∁UA)＝(　　)

A．{1,2,3} B．{2,3,4}

C．{2,3} D．{2}

答案　A

解析　依题意，U＝{1,2,3,4,5}，则∁UA＝{1,2}，所以B∪(∁UA)＝{1,2,3}．故选A.

2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝(　　)

A．2 B．3

C．2 D．3

答案　A

解析　由题图可知，＝(－2，－1)，＝(0,1)，∴z1＝－2－i，z2＝i，z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2.故选A.

3．(2020·湖北部分重点中学新起点考试)命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是(　　)

A．∃x0≤1，x－x0≤0 B．∀x>1，x2－x≤0

C．∃x0>1，x－x0≤0 D．∀x≤1，x2－x>0

答案　C

解析　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x0>1，x－x0≤0”．故选C.

4．(2020·山东临沂2月教学质量检测)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”(四升五：4.5升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　)

A．2.2升 B．2.3升

C．2.4升 D．2.5升

答案　D

解析　设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9，则{an}是等差数列，设公差为d，由题意得解得a1＝1.6，d＝－0.1，∴中间两节的容积为a4＋a5＝(1.6－0.1×3)＋(1.6－0.1×4)＝2.5(升)．故选D.

5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C为正态分布N(2,1)的密度曲线)与直线x＝0，x＝1及y＝0围成的封闭区域内点的个数的估计值为(　　)

(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974)

A．2718 B．1359

C．430 D．215

答案　B

解析　曲线C与直线x＝0，x＝1及y＝0围成的封闭区域的面积S＝P(0≤X≤1)＝[P(2－2×1≤X≤2＋2×1)－P(2－1≤X≤2＋1)]＝×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以落入此封闭区域内点的个数约为10000×0.1359＝1359.

6．若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

答案　D

解析　因为f(x)＝ax－a－x＝ax－x在R上为减函数，所以0<a<1.

函数y＝loga(x－1)的图象如图所示．

因为y＝loga(|x|－1)＝

为偶函数，所以其图象为D项．

7．(2020·广东深圳模拟)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0,10)是增函数

B．奇函数，且在(0,10)是增函数

C．偶函数，且在(0,10)是减函数

D．奇函数，且在(0,10)是减函数

答案　C

解析　由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，又f(－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，因为函数y＝100－x2在(0,10)上单调递减，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0,10)上单调递减，故选C.

8．(2020·济南高三期末)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2 B．2

C．3 D．2

答案　B

解析　根据题意，圆柱的侧面展开图是长为16，宽为2的矩形DEFG，如图．

由其三视图可知，点A对应矩形DEFG中的D点，B点为EF上靠近E点的四等分点，则所求的最短路径长为|AB|＝ ＝2.

9．(2020·济南高三期末)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)

A．8 B．6

C．8 D．8

答案　C

解析　如图所示，∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，所以∠AC1B＝30°，又因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，

在Rt△ABC1中，BC1＝＝2，

在Rt△BC1B1中，

BB1＝＝ ＝2，

所以该长方体的体积V＝2×2×2＝8.

10．(2020·西安五校联考八校联考)已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则|F1F2|＝(　　)

A． B．

C．2 D．4

答案　C

解析　如图，由题意知抛物线的准线l过点F1，过A作AB⊥l于点B，作F2C⊥AB于点C，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF2|＝，

所以|F2C|＝|F1B|

＝

＝＝，

则|AC|＝＝＝，所以|F1F2|＝|BC|＝|AB|－|AC|＝2.故选C.

11．设函数f(x)＝sin，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，

设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y＝m过y＝f(x)的图象与y轴的交点时，直线为y＝，|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，即|x2－x1|>.当直线y＝m向下移动时，在满足题设的条件下，由图象可得|x2－x1|也大于，所以|x2－x1|>.

12．(2020·西安五校联考临川一中模拟)若函数f(x)＝x－－aln x在区间(1，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围为(　　)

A． B．

C．(0，＋∞) D．

答案　D

解析　因为函数f(x)＝x－－aln x，所以f′(x)＝1－－＝，令g(x)＝2x－－2a，因为g′(x)＝2－＝，当x∈(1，＋∞)时，4－1>0,2>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数，则g(x)>g(1)＝1－2a，当1－2a≥0时，g(x)>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f(x)>f(1)＝0，所以f(x)在(1，＋∞)上没有零点．当1－2a<0时，即a>，因为g(x)在(1，＋∞)上为增函数，则存在唯一的x0∈(1，＋∞)，使得g(x0)＝0，且当x∈(1，x0)时，g(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，所以当x∈(1，x0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x＝x0时，f(x)min＝f(x0)，因为f(x0)<f(1)＝0，当x趋于＋∞时，f(x)趋于＋∞，所以在x∈(x0，＋∞)内，f(x)一定存在一个零点，所以a∈.故选D.

二、填空题

13．(2020·河南重点中学联合质量检测)已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.

答案　

解析　由a＋b＋c＝0，得－c＝a＋b，所以|－c|＝|a＋b|，即c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＋2|a||b|·cos＝4＋9＋2×2×3×＝7，所以|c|＝.

14．已知n的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i是虚数单位，则展开式中的常数项为________．

答案　45

解析　n的展开式的通项

Tr＋1＝C(x2)n－rr＝C(－i)rx.

由题意得C(－i)4＋C(－i)6＝0，解得n＝10.

在Tr＋1＝C(－i)rx中，

令20－＝0，则r＝8，

所以展开式中的常数项为T9＝C(－i)8＝45.

15．(2020·湖南师大附中月考六)下列说法：①分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，②以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3，③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，④若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关，正确的个数是________．

答案　3

解析　根据独立性检验的原理，分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，①正确；∵y＝cekx，∴两边取对数，可得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx，∵z＝0.3x＋4，∴ln c＝4，k＝0.3，∴c＝e4，②正确；由残差图的意义可知③正确；变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，则变量x与y负相关，又变量y与z正相关，则x与z负相关，④错误；综上可知正确命题的个数是3.

16．(2020·湖北部分重点中学新起点考试)将正奇数按如图所示的规律排列：

则2020在第________行，从左向右第________个数．

答案　32　49

解析　根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数，…，可得第n行有2n－1个奇数，前n行总共有＝n2个奇数．当n＝31时，共有n2＝961个奇数，当n＝32时，共有n2＝1024个奇数，所以2020是第1010个奇数，在第32行第49个数．