2021届二轮复习 刷题型选填题三理 作业（全国通用）

选填题(三)

一、选择题

1．(2020·辽宁沈阳市郊联体一模)设a为的虚部，b为(1＋i)2的实部，则a＋b＝(　　)

A．－1 B．－2

C．－3 D．0

答案　A

解析　因为＝－i，所以a＝－1，又(1＋i)2＝2i，则b＝0，所以a＋b＝－1，故选A.

2．(2020·湖北黄冈2月联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|x>0}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)

A．(－1,1) B．(0,1]

C．(－1,0) D．(－1,0]

答案　D

解析　由题意得A＝{x|x≥1或x≤－1}，则∁UA＝{x|－1<x<1}，∁UB＝{x|x≤0}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝(－1，0]，故选D.

3．(2020·安徽安庆二模)为了计算S＝1－＋－＋…＋－，设计如下图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2

C．i＝i＋3 D．i＝i＋4

答案　B

解析　当i＝1时，N＝1，T＝.若空白框中填i＝i＋1，则N＝1＋，T＝＋，显然不符合题意．若空白框中填i＝i＋2，则N＝1＋，T＝＋，如此下去，当i＝2021时，S＝N－T＝1－＋－＋…＋－.故选B.

4．(2020·乌鲁木齐第一次诊断)2020年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r)·.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)

A． R B． R

C． R D． R

答案　D

解析　由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)·，整理得＝.又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈ ，∴r＝αR≈ R.故选D.

5．已知(ax＋b)6的展开式中x4的系数与x5的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为(　　)

A．－1 B．1

C．32 D．64

答案　D

解析　由二项展开式的通项公式可知x4的系数为Ca4b2，x5的系数为Ca5b，则由题意可得解得或所以a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64，选D.

6．(2020·重庆八中5月适应性考试)小明和小波约好在周日下午4：00～5：00之间在某处见面，并约定好若小明先到，最多等小波半小时；若小波先到，最多等小明15分钟，则小明和小波两人能见面的概率为(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　设小明到达时间为x，小波到达时间为y，x，y∈(0,1)，则由题意可列出不等式画出图象如图所示，计算阴影部分面积与正方形的面积的比值为.故选C.

7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A． B．

C．2 D．

答案　A

解析　设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1中得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝，选A.

8．(2020·西安五校联考九江二模)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则该几何体的表面积为(　　)

A．8π B．8π＋4

C．6π D．6π＋4

答案　D

解析　直观图如图所示，几何体是上下底面是半径为1的4段的圆弧，柱体的高为3，所以几何体的表面积为4××2π×1×3＋2×＝6π＋4.故选D.

9．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)

A．250 B．200

C．150 D．100

答案　D

解析　因为an＋1＋(－1)n＋1an＝2，

所以a2＋a1＝2，

a4＋a3＝2，

a6＋a5＝2，

…

a100＋a99＝2.

以上50个等式相加可得，

数列{an}的前100项和为2×50＝100.

10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若方程f(x)＝a在上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由题中函数f(x)的部分图象可得，函数f(x)的最小正周期为π，最小值为－，所以A＝，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点的坐标代入f(x)得，sin＝－1，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.若f(x)＝a在上有两个不等的实根，即在上，函数f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，结合图象(略)，得f＝－≤a<f＝，－≤a<，故选B.

11．已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集为(　　)

A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)

C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)

答案　B

解析　因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f[f(x)]<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f[f(x)]<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.

12．(2020·广东高三北京朝阳期末模拟)已知函数f(x)＝e|x|－ax2，对任意x1<0，x2<0，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))<0，则实数a的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由题意可知，函数f(x)是(－∞，0)上的单调递减函数，且当x<0时，f(x)＝e－x－ax2，f′(x)＝－－2ax＝－≤0，则2axex＋1≥0，即a≤恒成立，令g(x)＝xex(x<0)，则g′(x)＝ex(x＋1)，得函数g(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(－1)＝－，则min＝，所以实数a的取值范围是.故选B.

二、填空题

13．在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝________.

答案　－5

解析　设菱形ABCD的对角线交于点M，则＝＋，⊥，＝－，又＝(3，－1)，所以·＝(＋)·＝－2＝－5.

14．曲线f(x)＝xln x在点P(1,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．

答案　

解析　f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，

∴在点P(1,0)处的切线斜率为k＝1，

∴在点P(1,0)处的切线l为y－0＝x－1，即y＝x－1.

∵y＝x－1与坐标轴交于(0，－1)，(1,0)．

∴切线y＝x－1与坐标轴围成的三角形面积为S＝×1×1＝.

15．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：

在最合理的安排下，获得的最大利润为________．

答案　62元

解析　设该货运员运送甲种货物x件，乙种货物y件，获得的利润为z元，则由题意得

即

z＝8x＋10y，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z＝8x＋10y经过点(4,3)时，目标函数z＝8x＋10y取得最大值，zmax＝62，所以获得的最大利润为62元．

16. 如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：

①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；

②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；

③曲线C所围区域的面积必小于36；

④曲线C的总长度不大于6π.

其中正确命题的序号为________．

答案　②③

解析　对于①，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错误；对于②，联立两个椭圆的方程，得得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错误．故答案为②③.