2021届二轮复习 小题考法专训八函数的图象与性质 作业（全国通用）

小题考法专训（八）  函数的图象与性质

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．3

C．2  D．1

解析：选A　因为f(x)＝所以f(－2)＝－(－2)＝2，所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.

2．(2020·长春质监)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝22－x  B．y＝

C．  D．y＝－x2＋2x＋a

解析：选A　A中，y＝22－x，令t＝2－x，∵t＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，∴t∈(－∞，2)，y＝2t在(－∞，2)上单调递增，∴y＝22－x在(0，＋∞)上单调递减；

B中，y＝＝1－，令t＝x＋1，∵t＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴t∈(1，＋∞)，y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，∴y＝在(0，＋∞)上单调递增；

C中，y＝log＝log2x在(0，＋∞)上单调递增；

D中，y＝－x2＋2x＋a图象的对称轴为直线x＝1，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故选A.

3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5的定义域和值域都是[1，a]，则a＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2，所以f(x)在[1，a]上是减函数，又f(x)的定义域和值域均为[1，a]，所以即解得a＝2.

4．设函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，则实数m的值为(　　)

A．－1  B．1

C．2  D．－2

解析：选A　因为函数f(x)＝x3(ax＋m·a－x)(x∈R，a＞0且a≠1)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，

所以－x3(a－x＋m·ax)＝x3(ax＋m·a－x)，

即x3(1＋m)(ax＋a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，

所以1＋m＝0，即m＝－1.

5．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　)

A．－  B．3

C．－或3  D．－或3

解析：选A　当a＞0时，若f(a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.

6．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

解析：选A　由题意得，f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，排除选项C、D；又f(1)＝＜0，所以排除选项B.故选A.

7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是(　　)

A．增函数  B．减函数

C．先增后减的函数  D．先减后增的函数

解析：选D　根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

8．(2020届高三·南昌调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)

A．减函数且f(x)＞0  B．减函数且f(x)＜0

C．增函数且f(x)＞0  D．增函数且f(x)＜0

解析：选D　当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)＞0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)＜0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)＜0.

9．已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]  B．(－∞，3)

C．(3，＋∞)  D．[1,3)

解析：选D　由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]＞0，得函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1≤a＜3.故选D.

10．在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)

A．0.5  B．1.5

C．2.5  D．3.5

解析：选C　由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5，故选C.

11．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝cos＋＋1，则f(x)的最大值与最小值的和为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．4

解析：选C　由已知得f(x)＝sin 2x＋＋1，因为y＝sin 2x，y＝都为奇函数，所以不妨设f(x)在x＝a处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f(x)在x＝－a处取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin 2a＋＋1＋sin(－2a)＋＋1＝2.故选C.

12．已知函数f(x)＝x3＋2x＋sin x，若f(a)＋f(1－2a)＞0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(－∞，1)

C.  D．

解析：选B　∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2＋cos x＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f(a)＋f(1－2a)＞0，得f(a)＞f(2a－1)，a＞2a－1，解得a＜1，故选B.

二、填空题

13．设函数f(x)＝则f(5)的值为________．

解析：由题意，得f(5)＝f(2)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝1－＝.

答案：

14．已知函数f(x)＝4|x|，g(x)＝2x2－ax(a∈R)．若f(g(1))＝2，则a＝________.

解析：由已知条件可知f(g(1))＝f(2－a)＝4|2－a|＝2，所以|a－2|＝，得a＝或.

答案：或

15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．

解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，

∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝，

∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.

答案：

16．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，f为偶函数，当0＜x≤时，f(x)＝－x，则f(2 018)＋f(2 019)＝________.

解析：依题意，f(－x)＝－f(x)，

f＝f，

所以f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝f(x)，

所以f(x)是以6为周期的奇函数，且f(0)＝0，

所以f(2 018)＝f(2)＝f＝f＝f(1)＝－1，f(2 019)＝f(3)＝f(0)＝0，

所以f(2 018)＋f(2 019)＝－1.

答案：－1

B级——拔高小题提能练

1．函数f(x)＝sin x·的部分图象大致为(　　)

解析：选B　由f(x)＝sin x·可知ex－1≠0，因此函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f(－x)＝sin(－x)·＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，排除A、C.又因为当x→0＋时，＞0，且sin x＞0，所以f(x)＝sin x·＞0，故选B.

2．(2020·银川质检)已知f(x)为定义在R上的偶函数，g(x)＝f(x)＋x2，且当x∈(－∞，0)时，g(x)单调递增，则不等式f(x＋1)－f(x＋2)＞2x＋3的解集为(　　)

A.  B．

C．(－∞，－3)  D．(－∞，3)

解析：选B　由2x＋3＝(x＋2)2－(x＋1)2，可得f(x＋1)＋(x＋1)2＞f(x＋2)＋(x＋2)2，即g(x＋1)＞g(x＋2)．因为f(x)为偶函数，所以g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝f(x)＋x2＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数．又当x∈(－∞，0)时，g(x)单调递增，所以由g(x＋1)＞g(x＋2)，可得|x＋1|＜|x＋2|，即(x＋1)2＜(x＋2)2，解得x＞－，即不等式的解集为.故选B.

3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)

A．f＜f＜f

B．f＜f＜f

C．f＜f＜f

D．f＜f＜f

解析：选C　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，作出f(x)的草图如图所示，由图可知f＜f＜f，选C.

4．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________．

解析：∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，

又f＝0，知f＝－f＝0.

故原不等式f(logx)＞0可化为

f(logx)＞f或f＜f(logx)＜f，

∴logx＞或－＜logx＜0，

解得0＜x＜或1＜x＜3.

所以原不等式的解集为.

答案：

5．已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0,2]上是增函数，则

①函数f(x)的一个周期为4；

②直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴；

③函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；

④函数f(x)在[0,100]上有25个零点．

其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)

解析：令x＝－2得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，得f(－2)＝0，由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，故①正确．由于函数f(x)为偶函数，故f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴．故②正确．根据前面的分析、结合函数在区间[0,2]上是增函数，可画出函数的大致图象如图所示．由图可知，函数在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，所以f(x)在[0,100]上共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的命题有①②④.

答案：①②④