2021届二轮复习 小题考法专训六直线与圆 作业（全国通用）

小题考法专训（六）  直线与圆

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．0

C．－或0  D．2

解析：选C　由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.经检验，当a＝0或a＝－时均有l1∥l2，故选C.

2．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)

A．2x＋3y－12＝0  B．2x－3y－12＝0

C．2x－3y＋12＝0  D．2x＋3y＋12＝0

解析：选D　由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，∴所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.

3．(2020·开封定位考试)已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为(　　)

A．4  B．6

C．8  D．10

解析：选D　圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为(2,0)，半径为3，所以过点M的最长弦的长为6，最短弦的长为2＝4，所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10，故选D.

4．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)

A．1∶2  B．1∶3

C．1∶4  D．1∶5

解析：选A　(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A.

5．已知直线3x＋ay＝0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为(　　)

A.  B．

C．2  D．2

解析：选B　由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即＝，得a＝.

6．已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是(　　)

A.  B．－

C．±  D．－2

解析：选B　依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有＝1，|a|＝.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－，故选B.

7．已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为(　　)

A．－6±2  B．6±2

C．2±6  D．6±4

解析：选B　因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2.

8．(2020·石家庄模拟)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为(　　)

A．8  B．2

C．5  D．

解析：选D　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)，

∴∴a＋b－2＝0.①

又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b|.②

由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为，故选D.

9．若点P(1,1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)

A．2x＋y－3＝0  B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0  D．2x－y－1＝0

解析：选D　由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D.

10．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(　　)

A．1  B．±1

C.  D．±

解析：选D　圆的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0,3)，半径为，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝，所以圆心C(0,3)到直线y＝ax的距离d＝×＝，所以＝⇒2＝⇒a＝±.

11．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选B　圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.

12．已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(　　)

A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0

B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0

C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0

D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

解析：选D　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，)，Q(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，则圆心到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2，S△OPQ＝×|PQ|×d＝×2×d＝ ≤＝，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝时，S△OPQ取得最大值，因为2＜，所以S△OPQ的最大值为，此时＝，解得k＝－1或k＝－7，此时直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故选D.

二、填空题

13．已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________．

解析：由题意，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为______________________，圆C被x轴截得的弦长为________．

解析：将已知圆化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.

答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0　8

15．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为_______．

解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.

答案：

16．(2020·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k＞0)关于y轴对称，则k的最小值为________．

解析：由圆C过点(0,1)，(0,3)知，圆心的纵坐标为＝2，又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x＝＝，即圆心为(，2)，所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4.因为k＞0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，可得2＝，即k2－4k＝0，解得k＝4(k＝0舍去)．

答案：4

B级——拔高小题提能练

1．[多选题]若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　)

A.的最大值为  B．的最小值为－

C.的最大值为  D．的最小值为－

解析：选CD　由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1,0)连线的斜率，易知，最大值为，最小值为－.

2．(2020·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是x轴正半轴和y＝x(x＞0)图象上的两个动点，且|MN|＝，则|OM|2＋|ON|2的最大值是(　　)

A．4－2  B．

C．4  D．4＋2

解析：选D　直线y＝x的倾斜角为，所以由题意知∠MON＝，则在△MON中，|MN|2＝|OM|2＋|ON|2－2|OM|·|ON|cos∠MON，即2＝|OM|2＋|ON|2－|OM|·|ON|≥|OM|2＋|ON|2－·，整理，得|OM|2＋|ON|2≤＝4＋2，当且仅当|OM|＝|ON|＝时，等号成立，即|OM|2＋|ON|2的最大值为4＋2，故选D.

3．已知A(－，0)，B(，0)，P为圆x2＋y2＝1上的动点，＝，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，若点M的横坐标为x，则|x|的取值范围是(　　)

A．|x|≥1  B．|x|＞1

C．|x|≥2  D．|x|≥

解析：选A　由题意，设P(cos θ，sin θ)，则Q(2cos θ＋，2sin θ)，所以kAP＝，所以直线PM的方程为(cos θ＋)x＋ysin θ－cos θ－1＝0，直线BQ的方程为xsin θ－ycos θ－sin θ＝0，联立解得x＝＝＋，因为1－≤1＋cos θ＜0或0＜1＋cos θ≤1＋，所以x≤－1或x≥1，即|x|≥1，故选A.

4．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．

解析：因为直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.

动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为＝，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2＝2.

答案：0或2　2

5．已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是____________．

解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，

所以圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝1，

即|m＋n|＝，两边平方并整理得m＋n＋1＝mn≤2，

即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，

解得m＋n≥2＋2，

所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞)．

答案：[2＋2，＋∞)