2021届二轮复习 小题考法专训五概率统计统计案例 作业(全国通用)
展开小题考法专训(五) 概率、统计、统计案例
A级——保分小题落实练
一、选择题
1.从1,2,3,4,5中不放回地依次选取2个数,记事件A为“第一次取到的数是奇数”,事件B为“第二次取到的数是奇数”,则P(B|A)=( )
A. B.
C. D.
解析:选A 由条件概率公式,得P(B|A)===,故选A.
2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
解析:选B 因为支付方式只有现金和非现金两种,所以群体中的成员只有三类:只用现金、只用非现金和既用现金又用非现金,所以不用现金支付的概率即只用非现金支付的概率,即1减去另外两类概率的和,所以不用现金支付的概率为1-(0.45+0.15)=0.4.故选B.
3.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
解析:选A 根据相互独立事件的概率公式得,该同学通过测试的概率为P=0.6×0.6+C×0.4×0.62=0.648.故选A.
4.(2020届高三·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.100,20 B.200,20
C.200,10 D.100,10
解析:选B 由题图甲可知学生总人数是10 000,样本容量为10 000×2%=200,抽取的高中生人数是2 000×2%=40,由题图乙可知高中生的近视率为50%,所以高中生的近视人数为40×50%=20,故选B.
5.一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{an},若a3=8,且a1,a3,a7成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( )
A.13,12 B.13,13
C.12,13 D.13,14
解析:选B 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),a3=8,a1a7=a=64,(8-2d)(8+4d)=64,即2d-d2=0,又d≠0,故d=2,故样本数据为:4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,平均数为=13,中位数为=13.
6.在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80~100分的学生人数是( )
A.15 B.18
C.20 D.25
解析:选A 根据频率分布直方图,得第二小组的频率是0.04×10=0.4,∵频数是40,∴样本容量是=100,又成绩在80~100分的频率是(0.01+0.005)×10=0.15,∴成绩在80~100分的学生人数是100×0.15=15.
7.(2020·临沂模拟)5个车位分别停放了A,B,C,D,E 5辆不同的车,现将所有车开出后再按A,B,C,D,E的次序停入这5个车位,则在A车停入了B车原来的位置的条件下,停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选A 若C停在原来位置上,则剩下三辆车都不停在原来位置上,有3种可能,D,E同理,因此共有9种方法,故所求概率为=.故选A.
8.(2020·龙岩5月月考)如图,《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画,现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介:院角的枣树结实累累,小孩群来攀扯,枝桠不停晃动,粒粒枣子摇落满地,有的牵起衣角,有的捧着盘子拾取,又玩又吃,一片兴高采烈之情,跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈,舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作,四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作,则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选B 依题意,基本事件的总数为A=24,设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”,
①若甲模仿“扶”,则A包含1×A=6个基本事件;
②若甲模仿“捡”或“顶”,则A包含2×2×A=8个基本事件,综上A包含6+8=14个基本事件,
所以P(A)==,
故选B.
9.千年潮未落,风起再扬帆,为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础,某校积极响应国家号召,不断加大拔尖人才的培养力度,据不完全统计:
年份/届 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
学科竞赛获省级一等奖及以上的学生人数x | 51 | 49 | 55 | 57 |
被清华、北大等世界名校录取的学生人数y | 103 | 96 | 108 | 107 |
根据上表可得回归方程=x+中的为1.35,该校2020届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63,据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )
A.111 B.117
C.118 D.123
解析:选B 因为= 53,=103.5,所以=-=103.5-1.35×53=31.95,所以回归直线方程为=1.35x+31.95.当x=63时,代入解得=117,故选B.
10.若8件产品中包含6件一等品,在其中任取2件,则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 记事件A为“取出的2件中有1件不是一等品”,事件B为“取出的2件中,1件一等品,1件不是一等品”,则P(A)=+=+=,P(AB)==,∴P(B|A)===.故选D.
11.近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组,得到样本频率分布直方图如图,其中年龄在[30,40)岁的有2 500人,年龄在[20,30)岁的有1 200人,则m值为( )
A.0.013 B.0.13
C.0.012 D.0.12
解析:选C 由题意得,年龄在[30,40)岁的频率为0.025×10=0.25,则赞成高校招生改革的市民有=10 000人,因为年龄在范围[20,30)岁的有1 200人,则m==0.012.故选C.
12.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为,,,那么三人中恰有两人合格的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选C 三人中恰有两人合格的概率P=××+××+××=,故选C.
二、填空题
13.(2020·威海二模)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成一个两位数,则这个两位数能被3整除的概率为________.
解析:从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为:12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共计12个基本事件,
其中能被3整除的有:12,21,24,42,共有4个基本事件,
所以这个两位数能被3整除的概率为P==.
答案:
14.(2020·石家庄摸底)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到2×2列联表:
| 理科 | 文科 | 总计 |
男 | 13 | 10 | 23 |
女 | 7 | 20 | 27 |
总计 | 20 | 30 | 50 |
已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据,得到K2=≈4.844,则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________.
解析:由K2=4.844>3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.
答案:5%
15.我国古代的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著有着丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.小陈拟从这10部专著中选择3部学习,则所选3部专著中至少有2部是产生于魏晋南北朝时期的专著的概率为________.
解析:从这10部专著中选择3部有C种不同的选法,所选3部专著中至少有2部是产生于魏晋南北朝时期的专著的选法有(C+CC)种,所以所选3部专著中至少有2部是产生于魏晋南北朝时期的专著的概率为P==.
答案:
16.2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策,某收费站在统计了2020年清明节前后车辆通行数量,发现该站近几天每天通行车辆的数量ξ服从正态分布ξ~N(1 000,σ2),若P(ξ>1 200)=a,P(800<ξ<1 000)=b,则+的最小值为________.
解析:由ξ~N(1 000,σ2),P(ξ>1 200)=a,P(800<ξ<1 000)=b得a=0.5-b,所以a+b=,则+=2(a+b)=2≥2=32,所以+的最小值为32.
答案:32
B级——拔高小题提能练
1.[多选题]甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球,2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2,A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,下列结论正确的是( )
A.事件B与事件A1不相互独立
B.A1,A2,A3是两两互斥的事件
C.P(B|A1)=
D.P(B)=
解析:选ABC 由题意A1,A2,A3是两两互斥事件,
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,
P(B|A1)===,P(B|A2)=,
P(B|A3)=,
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=×+×+×=.所以D不正确.
2.如图是2020年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中正确的是( )
①2020年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个;
②与去年同期相比,2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;
③去年同期的GDP的总量前三位是D省、B省、A省;
④2017年同期A省的GDP总量也是第三位.
A.①② B.②③④
C.②④ D.①③④
解析:选B ①2020年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个,B省和C省的GDP总量和增速分别同居第一位和第四位,故①错误;由图知②正确;由图计算2017年同期五省的GDP总量,可知前三位为D省、B省、A省,故③正确;由③知2017年同期A省的GDP总量是第三位,故④正确,故选B.
3.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,由质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选D 根据题意,质点P移动五次后位于点(1,0),其中向左移动2次,向右移动3次,其中向左平移的2次有C种情况,剩下的3次向右平移,则其概率为C23=,故选D.
4.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的.A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断出其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)的值为________.
解析:设A学生答对题的个数为m,得分5m,则m~B,D(m)=12××=,∴D(X)=25×=.设B学生答对题的个数为n,得分5n,则n~B,D(n)=12××=,∴D(Y)=25×=.∴D(Y)-D(X)=-=.
答案:
5.某篮球比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4局,则此队获胜,比赛就此结束.由于参加比赛的两队实力相当,每局比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一局比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每局比赛门票收入比上一局增加10万元,则组织者在此次比赛中获得的门票收入不少于390万元的概率为________.
解析:依题意,每局比赛获得的门票收入组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{an},则易知首项a1=40,公差d=10,故Sn=40n+×10=5n2+35n.由Sn≥390,得n2+7n≥78,所以n≥6.所以要使获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6局.①若比赛共进行6局,则P6=C×5=;②若比赛共进行了7局,则P7=C×6=.所以门票收入不少于390万元的概率P=P6+P7==.
答案: