核心素养系列（一）数学抽象——妙用直线系求直线方程 试卷

核心素养系列（一）数学抽象——妙用直线系求直线方程在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解．而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率．类型一　平行或垂直的直线系方程的应用【典例1】（1）求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程．（2）已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0，x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0，求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．【素养指导】设出直线系方程→利用平行或垂直列方程→求参数确定直线方程【解析】（1）设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知，2×1＋3×(－4)＋c＝0，所以c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.（2）设2x－y＋4＝0与x＋y－7＝0交点的直线系方程为2x－y＋4＋λ(x＋y－7)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋(4－7λ)＝0，因为和2x－7y－14＝0垂直，可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0，解得λ＝，所以所求高所在的直线方程为7x＋2y－19＝0.【素养点评】利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可．在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数．平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；【素养专练】1.已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1和x轴，y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程．【解析】设直线l1的方程为x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有＝8，c＝±4所以l1的方程是x－3y±4＝0.2.求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.3.已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．【解析】正方形的中心G到已知边的距离为d＝.设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x＋3y＋c＝0，则d＝，[来源:Z#xx#k.Com]解得c＝7或c＝－5(舍去)．故所求一边的直线方程为x＋3y＋7＝0.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3x－y＋m＝0.则d＝＝，解得m＝9或m＝－3.因此正方形另两边所在的直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.类型二　过交点的直线系方程的应用【典例2】在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，设P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为，求直线OF的方程．【素养指导】设出直线系方程→代入原点坐标→求参数确定直线方程【解析】由截距式可得直线AB：，直线CP：，点F为直线AB与直线CP的交点，故过F点的直线系方程可设为l：＋λ＝0.又直线l过原点(0,0)，代入方程得λ＝－1，故所求直线OF的方程为.【素养点评】过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)，通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简捷．【素养专练】1.已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【解析】设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.2.求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得＝，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.类型三　过定点的直线系方程的应用【典例3】已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围．【素养指导】设出直线系方程→确定定点→画出草图→确定a的范围【解析】直线方程化为(3x－y)a－(x－2y＋1)＝0.由得[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]即无论a为何实数，直线总过定点P.设直线的斜率为k，直线OP的斜率为kOP.[来源:学.科.网Z.X.X.K]由图象可知，当直线的斜率k满足k≥kOP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限．故由k≥kOP，解得a∈(2，＋∞)．又当a＝2时满足题意，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．【素养点评】过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数，过定点P(a，b)的直线系方程可设为m(x－a)＋(y－b)＝0(m为参数)．本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出．【素养专练】1，点(1,1)到直线+y-3=0的最大距离为(　　) A．1  B．2         C．      D．【解析】因为直线ax+y-3=0过定点(0,3),点(1,1)到直线ax+y-3=0的最大距离即为点(1,1)与点(0,3)之间得距离d=，故选C。2.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 A．0<m<5   B．1≤m<5             C．m≥1    D．0<m≤5【解析】y=kx+1过定点(0,1)，椭圆焦点在x轴上, ∴0<m<5①y=kx+1与椭圆总有公共点, ∴定点(0,1)在椭圆内部或者在椭圆上∴x=0,y=1时，, 解得m≥1②由①②得 1≤m<5, 即m范围为[1,5)