核心素养系列（六）数学抽象、数学运算-函数奇偶性的扩广性质与应用 试卷

核心素养系列（六）数学抽象、数学运算——函数奇偶性的拓广性质及应用函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用．一．若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.【典例1】已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝(　　)A．－5　　　　　　　　 B．－1C．3  D．4【素养指导】首先确定自变量之间的关系，然后结合奇函数的性质整理计算即可求得最终结果．【答案】C【解析】设g(x)＝ax3＋bsin x，则f(x)＝g(x)＋4，且函数g(x)为奇函数．又lg(lg 2)＋lg(log210)＝lg(lg 2·log210)＝lg 1＝0，所以f(lg(lg 2))＋f(lg(log210))＝2×4＝8，又f(lg(log210))＝5，所以f(lg(lg 2))＝3.故选C.【素养点评】由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用．【素养专练】对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)A．4和6  B．3和1C．2和4  D．1和2【答案】D【解析】设g(x)＝asin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D.二．已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.【典例2】设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．【素养指导】函数化简f（x）=1→g（﹣x）g（x）→求出M+m＝2．【答案】2【解析】显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.【素养点评】利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.【素养专练】（2020·河南平顶山·月考（文））已知函数，若，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为是奇函数，又，故可得∴.故选C.三．若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．【典例3】（2018•大荔县模拟）设函数f（x）＝ln（1+|x|），则使得f（x）＜f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　）A．（，1） B．（﹣∞，）∪（1，+∞） C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）【素养指导】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，化简不等式推出结果即可．【答案】B可得3x2﹣4x+1＞0，解得x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．故选B．【素养点评】本例结合函数的偶函数性质f(x)＝f(|x|)减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量．【素养专练】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)A．{x|x<－2或x>4}  B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6}  D．{x|x<－2或x>2}由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.所以由已知条件可知f(x－2)>0⇒f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4.故选B.   所以：f（x）＜f（2x﹣1），可得|x|＜|2x﹣1|，即x2＜（2x﹣1）2，