核心素养系列（二）逻辑推理——转化与化归在一元二次不等式中的应用 试卷

核心素养系列（二）逻辑推理——转化与化归在一元二次不等式中的应用转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．类型一　“三个二次”的相互转化【典例1】(2020·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1,0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________．【素养指导】由f(x)>0的解集→f(x)＝0的根→韦达定理求b，c；由f(x)＋t≤4恒成立→分离参数→求g(x)＝2x2－4x－2的值域→利用最小值列式求解【答案】4　(－∞，－2]【解析】由不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1,0]．令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1,0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1,0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.【素养解读】本题的解法充分体现了转化与化归思想，不等式的解集转化为一元二次方程的根，可求出b，c的值，不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．【素养专练】1.(2020·日照调研)关于的不等式的解集为，则 _____________.【答案】-1【解析】由题意，方程有一个根为1，得，则不等式为，其解集为，得，，所以答案为-1.2.(2020·青岛高三模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9【解析】由题意知f(x)＝x2＋ax＋＝＋b－.因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝，又因为f(x)<c，所以<c，即－－<x<－＋.所以②－①得2＝6，所以c＝9.类型一　“主元”的相互转化【典例2】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)A.(－∞，2)∪(3，＋∞)   B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)   D.(1，3)【素养指导】构造函数→看作是关于的一元一次不等式→保证线段两个端点都在x轴上方→列不等式组求解【答案】C【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3.【素养解读】解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．【素养专练】1.（2020•浙江校级模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）＝x0成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点，对于任意实数b，函数f（x）＝ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点，实数a的取值范围是　　．【答案】9【解析】由题意可得）函数f（x）＝ax2+bx﹣b总有两个相异的不动点，即关于x的方程f（x）＝x有两个不等根．化简f（x）＝x得到ax2+（b﹣1）x﹣b＝0．所以（b﹣1）2+4ab＞0，即b2+（4a﹣2）b+1＞0恒成立，所以（4a﹣2）2﹣4＜0．解之得：0＜a＜12.函数f (x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当a∈时，f (x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．【解析】(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是(2)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈时，h(a)≥0恒成立．只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．