初三数学教师版. 三轮复习 第2讲 中考直升60分专练（二）

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中考
三轮复习系列丛书
第二讲
中考/直升60分专练（二）
成都中考三轮复习系列丛书
例
1
已知AB为的直径，CD为的一条弦，顺次连接AC、CB、BD、DA．
（1）当（如图1-1）时，求证：；
（2）当（如图1-2）时，线段CA、CB、CD间的数量关系为_____________；
（3）在（2）的条件下，在上移动点C（保持AB与CD相交），过A点作，交射线CB于点E，以B为顶点另作一个，使得，设直线FB与直线AE交于点G，若，，求EG的长．

图1-1 图1-2
答案
如图1，过点A作，过点O作，连接OC、OD．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．
理由：如图2所示，作，垂足为E，，垂足为F，连接OD．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴，即．
故答案为：即．
（3）∵，，
∴．
又∵，
∴．
解得：或．
∴当，或，．
当，时，如图3所示：
∵，，
∴．
又∵，
∴，．
由，得：．
解得：．
∴．
在中，．
∵，，
∴．
∴．
又∵，∴．
又∵．∴．
∴，即．
解得：．∴．
当，时，如图4所示：
∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得：．
∴．
∴．
∵，，∴．
∵，，∴．
又∵，∴．
∴，即．解得：．
在中，．∴．
综上所述，EG的长为或．
例
2
（1）设，，且，则________．
（2）从、、、0、1这五个数字中，随机抽取一个数，记为a，则使得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组至少有三个整数解的概率是________．
（3）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为______________．
（4）如图，平行四边形ABCD中，，，BC边上的高，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连接DE、DF．有下面三个结论：
①；
②当点E在线段BC上运动时，和的周长之和为24；
③当时，的面积为，其中正确结论的序号是_______________．
（5）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点，，，…，都是和谐点．若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围为_______________．
答案
（1）；（2）；（3）24；（4）①②③；（5）．
例
3
红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格(元/件)与时间t(天)的函数关系式为（且t为整数），后20天每天的价格(元/件)与时间t(天)的函数关系式为（且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大，求a的取值范围．
答案
（1）设一次函数为，
将和代入一次函数中，
有，∴．
∴．
经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，
故所求函数解析式为；
（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．
由


，
∵，
∴当时，有最大值578（元）．
由
．
∵，此函数对称轴是，
∴函数在上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当时，有最大值为（元）．
∵，故第14天时，销售利润最大，为578元；
（3）
对称轴为．
∵，且t为整数，
，解得，
又∵，
∴．
例
4
如图，在中，，，，，BD平分交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且，AE与BD相交于点G．
（1）求证：；
（2）设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．

答案
（1）证明：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
，
，
∴．
∵，，
∴．
∴．
（2）解：作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，如图2，
则有．
在中，，则．
∵MN垂直平分FC，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
（3）解：①，如图3，
∵（已证），
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
整理得：．
则有．
解得：（舍），．
②，
过点F作，垂足为H，如图4，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
∴．
整理得：．
则有．∴，．
∵，∴．
综上所述：当是以AE为腰的等腰三角形时，BE的长为1或6.4．
例
5
如图5-1，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，为的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物的解析式；
（2）求的值和的半径；
（3）如图5-2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足，请求出所有符合条件的点N的坐标．

图5-1 图5-2
答案
（1）将，代入抛物线可得抛物线为；
（2）由抛物线得，，所以，所以，，连接、，则由圆周角定理，，在中，，，所以可得的半径为．
（3）由抛物线得，抛物线和圆的对称轴都为，故点D和点C关于对称轴对称，所以，
又可以得到，，
由题意得，
又得，，，
所以，即，
得，
其中一个N点是把BC顺时针旋转，在放大倍得到BN，作轴于点Q，所以，，得到.
同样的点N关于直线BD对称的点也满足题意，设，
由题可得，，
直线BD为，
则由题意得，
解得，所以，
综上所述，或．
时间t(天)
1
3
6
10
36
…
日销售量m(件)
94
90
84
76
24
…