初一数学.寒.直升班.教师版.第4讲 角平分线的性质、判定和模型

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第四讲
角平分线的性质、判定和模型
模块一 角平分线的性质和判定
模块二 角平分线模型
模块一 角平分线的性质和判定
模块二 角平分线模型
模型 = 1 \* ROMAN I：角平分线加平行线必出等腰三角形．
模型 = 2 \* ROMAN II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．
→
模型 = 3 \* ROMAN III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．
模块一
角平分线的性质和判定
（1）如图，在中，，AD是角平分线，，，，则__________．
（2）（14—15年嘉祥期末）在中，，，，，若点P是的三条角平分线的交点，则点P到边BC的距离是_____________．
（1）8cm；
（2）1（提示：过点P作三边的垂线，利用面积进行求解）．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的性质．
（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．
（2）（14年—15年金牛区期末）如图，的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若，则____________．
（1）如图，在中，
设、的平分线的交点为I，
过I点作于D，于E，
于F，连接IC．
∵AI、BI都是角平分线，
∴，，
∴，
∴CI是的平分线，
∴三角形三个角的平分线交于一点．
（2）50°（提示：过点P向三边作垂线，证明AP是的外交角平分线）
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的判定，结合角平分线的性质．
模块二
角平分线模型
（1）如图3-1，在中，BD、CD分别平分和，．如果，则的周长为__________．
（2）（14—15年武侯区期末）如图3-2，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．
（3）（15—16年武侯期末）如图3-3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②；③；④ ，其中正确的结论有_____________（只填序号）

图3-1 图3-2 图3-3
（1）6；（2）3cm；（3）①③④．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加平行线必出等腰三角形的模型．
（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．
（2）如图4-2，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________．
图4-1 图4-2
（1）5；
（2）4cm；4cm．
过E作EH垂直BC交BC于H点，
易证；
由角度分析易知，
即，则有；
又可证，
则，
则，．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．
如图，在中，，，．求证：．
过D作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线第一种辅助线．
如图所示，在中，，，BE平分，．
求证：．
延长CE、BA相交于F，
在和中，
∴
∴
∵，∴
同理，∴
在和中，
∴
∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第二种辅助线．
（14—15年嘉祥月考）如图，在中，，AD、CE分别平分、，AD、CE交于O．（1）求的度数；（2）求证：．
（1）；
（2）在AC上截取AT，使，连接OT，
在和中，
∴，∴，∴
在和中，
∴，∴，
∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第三种辅助线，同时可以得出．
已知等腰，，的平分线交AC于D．求证：．
解法一：如图，在BC上截取，连接DE，
过D作DF//BC，交AB于F，则，．
又∵，∴，故．
显然FBCD是等腰梯形．
∴，．
∵，
，
∴，
∴，∴，．
又∵，∴．
解法二：如图，延长BD到E，使，在BC上截取．
∵，BD为公共边，∴，，．
∵，
∴．
∴，故，．
∵，∴．
∴，．
∵，
∴．∵，∴，
故．∴，故．
∵，∴．
解法三：如图，延长BD到E，使．
延长BA到F，使．连接CE、EF、DF．
∵，BD公共，∴ ．
∴，．
又∵，
，∴．
∵，．∴，
∴．
而．
∴．又FD公共，∴．
∴．∴．
【教师备课提示】这道题结合截长补短，较难，实际上可以看成是上道题．
例题9
（14—15年育才期末、嘉祥半期）如图，中，，，，垂足为D，AE平分，交BC于点E．在外有一点F，使，．
（1）求证：；
（2）在AB上取一点M，使，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①；②．
（1）由题意得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）①作于点T，则，
∴，，
∴，，，
∴
②由①得，，，
∴AD//ME，∴，
∴，∴CM平分，
即，
在和中，
∴
∴．
【教师备课提示】这道题主要是综合考查角平分线的模型．
复习巩固
模块一
角平分线的性质和判定
（1）如图1-1，的周长是，OB，OC分别平分和，于D，且，求的面积．
（2）如图1-2，的、的外角平分线交于点D．求证：AD是的平分线．
图1-1 图1-2
（1）∵O点为的两内角平分线的交点，
∴O点到三边距离相等．
∴
．
（2）分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，
垂足分别为E、F、G，
∵BD平分，，，
∴．
同理，
∴，
∴点D在平分线上，
∴AD是的平分线．
模块二
角平分线模型
（1）（14—15年青羊区期末）如图2-1，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为_____．
（2）如图2-2，BD平分，CD平分外角．DE//BC交AB于E，交AC于F．线段EF与BE、CF有什么关系?

图2-1 图2-2
（1）9；
（2）如图所示中仍有两个等腰三角形、，
从而，，又，故．
如图，在四边形ABCD中，，的角平分线AE交DC于E，BE是的角平分线．求证：（1）；（2）．
（1）∵，∴
∴，∴．
（2）在AB上截取AF，使，连接EF，
在和中，
∴
∴，
∵，∴
∵，∴
在和中，
∴，
∴，∴，
∴．
如图所示，在中，，，．求证：．
延长BE交AC于M．
∵，，
∴，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，∴，
∴．
如图，中，，，BD平分交AC于D点．求证：．
方法一：在BC上截取E点使，连结DE．
∵BD平分，∴．
在与中
∵，，，
∴，∴，
∵，∴，∴．
又∵，
∴，∴，∴，
∵，∴．
方法二：如图，延长CA到F，使，连结BF．
∵，且，
∴．
∵，∴．
∴．∴．
∵，
∴．又∵,
∴．
∴．∴．
如图，中，，，垂足为D．AF平分，交CD于点E，交CB于点F．
（1）求证：．
（2）将图6-1中的沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图6-1 图6-2
（1）相等
（2）如图，过点E作于G．
又∵AF平分，，∴．
由平移的性质可知：，∴．
∵．∴，
∵于D．∴∴,
在与中，
∵，，，
∴，∴，
由（1）可知．
角平分线
解释
示例
性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，若射线OC是的角平分线，则．
判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，若，则OC是的角平分线．