初一数学.寒.直升班.教师版.第6讲 等腰三角形和垂直平分线

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第六讲
等腰三角形和垂直平分线
模块一 等腰三角形和等边三角形
模块二 垂直平分线
模块一 等腰三角形
1．等腰三角形
2．等边三角形和等腰直角三角形
模块二 垂直平分线
模块一
等腰三角形
（1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________．
（2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________．
（3）等腰三角形两内角的度数之比为，则该三角形底角的度数为__________．
（4）等腰三角形一个角为，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____．
（5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________．
（1）24；（2）4cm或6cm；（3）或；（4）或；
（5）①；，腰长为10；
②；，腰长为8．
【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．
（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______．
（2）已知BD是等腰一腰上的高，且，则的底角为_______．
（1）或（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；
（2）或或；
若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为，，；
若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为，，；
若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为，，．
【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．
（1）如图3-1，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；……，按此做法进行下去，第n个三角形中以为顶点的内角的度数为_____________．
（2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若，则C的度数是___________．

图3-1 图3-2
（1）；（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．
（1）如图4-1，中，，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且，，G是EF的中点，求证：.
（2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在中，，，点M、N分别在边AB、AC上，，点D是BC的中点，连接AD．
①求证：；
②求证：，且．

图4-1 图4-2
（1）连接ED、DF，
，，
在和中
，，
是EF的中点，∴．
（2）①，，

点D是BC的中点，
，，
②由①知
在和中
，，，
，．
【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．
（1）如图，中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：是等腰三角形．
（2）如图，中，AD是的角平分线，AD是BC边上的高，求证：是等腰三角形．
（3）如图，中，AD是的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：是等腰三角形．

（1）AD为BC中垂线，所以，所以是等腰三角形
（2）和中，
∴，∴，
∴是等腰三角形
（3）过点D作于点F，作于点E，
∵AD是的角平分线，，，∴，
∵AD为中线，∴，
∵，，
∴，∴是等腰三角形．
【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．
（1）如图6-1，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，于点E，于点F，于点D，求证：．
（2）如图6-2，如果P为等腰三角形ABC的底边BA延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE，PF和AD三边满足的关系．
（3）如果P为等腰三角形ABC的底边AB延长线上的任意一点，请直接写出PE，PF和AD三边满足的关系．
（4）如图6-3，如果是等边三角形，点P为三角形ABC内任意一点，于点E，于点F，于点G，于点D．PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系，并说明理由．

图6-1 图6-2 图6-3
（1）连接CP．
∵，
即，
而，∴；
（2）连接CP，由，
得：
又∵，
∴；
（3）；
（4）连接CP、AP、BP，
∴，
∴，
而，
∴．

【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．
模块二
垂直平分线
（1）如图7-1，，，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，周长为28cm，，则的周长为__________，__________．
（2）如图7-2，的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若，则的度数为___________．

图7-1 图7-2
（1）18cm，；
（2）．
【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．
（1）如图8-1，已知：在中，，边AB的垂直平分线交BC于D，于F，交BC边上的高于G．求证：．
（2）如图8-2，中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将沿EFCE在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，则为____________．

（1）连接AD，∵D为AB的垂直平分线上一点，
∴，，∴，
∴，，∴，
∴，，，
又∵，∴，
在和中
，
∴．
（2）如图，连接OB、OC，
∵，AO为的平分线，
∴，又∵，
∴,
∵DO是AB的垂直平分线，
∴，∴，
∴，
∵DO是AB的垂直平分线，AO为的平分线，∴点O是的外心，∴，∴，∵将沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴，∴，在中，．
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．
如图，在中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，
由垂直平分线的性质可知：，，
∴，∴点O在BC的垂直平分线上，
∴三角形三边的垂直平分线交于一点．
复习巩固
模块一
等腰三角形
（1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______．
（2）等腰三角形的一个外角为，则顶角为__________．
（3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________．
（4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角为______．
（1）10cm或11cm；（2）或；（3）8；（4）或．
（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）如图，是一个钢架，且，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH、HI，且有，则__________．
（3）如图，AD是等边三角形ABC的中线，，则（ ）度．
A．30B．20C．25D．15
（1）C；（2）；（3）D．
如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
（1），，
在和中：
，
，是等腰三角形．
（2），，，
由（1）知，，．
（1）如图4-1：已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：M是BE的中点．
（2）如图4-2，等边三角形ABC中，E，D分别在AC，BC上，且，求AD与BE所夹锐角的度数．
图4-1 图4-2
（1）连接BD，
∵为等边三角形，D为AC中点，
∴，
∵，∴，
又∵等边中，
∴,
∴，∴，
又∵，∴M为BE中点．
（2）．
模块二
垂直平分线
（1）（15年育才期末）如图5-1，在中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若的周长为7，，则BC的长为（ ）．
A．4cm B．5cm C．3cm D．以上答案都不对
（2）（15年嘉祥半期）如图5-2，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______________．
图5-1 图5-2
（1）B；（2）．
如图，在中，D为BC中点，交的平分线于点E，于F，的延长线于G．求证：．
连接BE、CE．
垂直平分BC，，
平分，，，
，又，
，
．等腰三角形
解 释
定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．
性质
（1）两腰相等、两底角相等．
（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．
判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．
等边三角形
等腰直角三角形
1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．
2．性质：三边都相等，三角都是．
3．判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形．
2．性质：两个底角为．
3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形．
垂直平分线
解释
示例
定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．
如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．
性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
如图，已知直线是线段的垂直平分线，则．
判定
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
如图，若，则点在线段的垂直平分线上．