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初一数学.春季.直升班.教师版.第3讲 二次根式（二）
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这是一份初一数学.春季.直升班.教师版.第3讲 二次根式（二），共20页。
第三讲
二次根式（二）
模块一 二次根式的大小比较
模块二 二次根式的配方
模块三 双重二次根式的化简
模块一：二次根式的大小比较
1．估算法：，，．
2．平方法：若（且），则．
3．带分母的二次根式比较大小：
（1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小．
（2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小．
4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小．
模块二：二次根式的配方
配方：
．
模块三：双重二次根式的化简
1．配方法：
（1）类型：
将表示成形式，利用待定系数法得：，求得a和b，
则；
（2）类型：
将改写成，转化成（1）的类型即可；
（3）类型：
将改写成，转化成（1）的类型即可．
2．平方法．
模块一
二次根式的大小比较
比较大小：（1）________2； （2）________；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
（1）>；（2）>；（3）<；（4）>；（5）<；（6）<；（7）<；（8）<．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的大小比较，常见方法：
（1）估算法：，，，如（1）、（2）．
（2）平方法：若（且），则．如（1）、（2）、（3）、（4）．
（3）带分母的二次根式比较大小：
①分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小．如（5）、（6）．
②分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小．如（7）、（8）．
对于（5）、（6）还可以使用作差法，变成（3）、（4）的形式．
（1）比较大小：与．
（2）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（3）已知，，，，比较x，y，z的大小．
（1）估算法：；
也可使用平方法，但是注意负数平方后大小相反．
（2）∵，，，，
∴，选D．
（3）分子有理化可直接得到答案，易得．（也可使用作差法）
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的大小比较，让学生们练习下，选择最合适最快的方法比较二次根式的大小．
模块二
二次根式的配方
（1）（成外半期）若，则的值为________．
（2）已知，则的值为________．
（1），，原式=；（2）由条件：，原式．
【教师备课提示】这道题主要考查最简单的二次根式的配方．
（1）已知，则________．
（2）已知，则________．
（3）已知，则________，________．
（4）已知，则________，________．
（1）由题， ∴，∴2．
（2）由题，∴，∴．
（3）由题，
∴，∴，．
（4）整理得：，
则，．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的配方，两次配方．配方前，所有式子往左移，让等式右边为0．二次根式配方：一般是把二次根式项作为中间项，进行配方．
（1），则________．
（2）（成外半期）若实数x，y，z满足：，则的值为________．
（3）如果．那么的值是________．
（1）移项配方后可得，，，；所有．
（2）原等式变形为：，
∴，
∴且且，
解得，，，∴．
（3）由题得，
∴，
∴且且，
解得，，，∴．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的配方，三次配方．
模块三
双重二次根式的化简
（1）计算下列各式：
①；②；③；④；⑤．
（2）计算下列各式：
①；②；③．
（3）化简：的结果是________．
（1）①设原式，
则可知：，，可得：，，
∴原式；
②；③；④；⑤（开方后需要化简）；
（2）①原式，则，，
可得：，
∴原式；②；③；
（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查和的化简．
（1）计算下列各式：
①；②．
（2）代数式________．
（1）解法一（配方法）：原式
解法二（平方法）：令，
则
因为，所以．
解法三（换元法）：令，，则，．
又因为，所以．因为，
所以．所以．
（2），方法同（1）．
（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查共轭类型，建议这道题三种方法都讲，让孩子选择自己喜欢的方法（Yu chse yu like），但是每个方法都必须掌握．
（1）若，，求xy．
（2）设M，x，y均为正整数，且，则的值是________．
（1）由已知可得：，，
故，．
（2）由得：，
∵M、x、y均为正整数，
∴，，．
又由题设知，∴，，∴，故．
【教师备课提示】这道题主要考查利用平方法化简双重二次根式．
化简：．
设，，∴，
，
∴，
∴，即：原式
【教师备课提示】当配方行不通时，考虑平方法和换元法（换元法换元后需要寻找两个x、y的式子（一般是和xy，最后运用知二推二））．
复习巩固
模块一
二次根式的大小比较
（1）比较大小：
①___3；②____8；③_____；④
（2）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（1）①；②；③；④>；
（2）∵，
∴
∴，
∴，选B．
模块二
二次根式的配方
已知非零实数a、b满足等式，求的值．
两边同时乘以ab，
则有，所以，
所以，，．
设a，b，c是实数，若，则________．
由已知得：，
∴，，，
∴，，，
∴．
模块三
双重二次根式的化简
计算：
原式
．
代数式：（1）________．
（2）________．
（1）（配方，平方，换元均可）；
（2）．
第三讲
二次根式（二）
模块一 二次根式的大小比较
模块二 二次根式的配方
模块三 双重二次根式的化简
模块一：二次根式的大小比较
1．估算法：，，．
2．平方法：若（且），则．
3．带分母的二次根式比较大小：
（1）分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小．
（2）分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小．
4．作差作商：作差和0比较大小，作商和1比较大小．
模块二：二次根式的配方
配方：
．
模块三：双重二次根式的化简
1．配方法：
（1）类型：
将表示成形式，利用待定系数法得：，求得a和b，
则；
（2）类型：
将改写成，转化成（1）的类型即可；
（3）类型：
将改写成，转化成（1）的类型即可．
2．平方法．
模块一
二次根式的大小比较
比较大小：（1）________2； （2）________；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
（1）>；（2）>；（3）<；（4）>；（5）<；（6）<；（7）<；（8）<．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的大小比较，常见方法：
（1）估算法：，，，如（1）、（2）．
（2）平方法：若（且），则．如（1）、（2）、（3）、（4）．
（3）带分母的二次根式比较大小：
①分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小．如（5）、（6）．
②分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小．如（7）、（8）．
对于（5）、（6）还可以使用作差法，变成（3）、（4）的形式．
（1）比较大小：与．
（2）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（3）已知，，，，比较x，y，z的大小．
（1）估算法：；
也可使用平方法，但是注意负数平方后大小相反．
（2）∵，，，，
∴，选D．
（3）分子有理化可直接得到答案，易得．（也可使用作差法）
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的大小比较，让学生们练习下，选择最合适最快的方法比较二次根式的大小．
模块二
二次根式的配方
（1）（成外半期）若，则的值为________．
（2）已知，则的值为________．
（1），，原式=；（2）由条件：，原式．
【教师备课提示】这道题主要考查最简单的二次根式的配方．
（1）已知，则________．
（2）已知，则________．
（3）已知，则________，________．
（4）已知，则________，________．
（1）由题， ∴，∴2．
（2）由题，∴，∴．
（3）由题，
∴，∴，．
（4）整理得：，
则，．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的配方，两次配方．配方前，所有式子往左移，让等式右边为0．二次根式配方：一般是把二次根式项作为中间项，进行配方．
（1），则________．
（2）（成外半期）若实数x，y，z满足：，则的值为________．
（3）如果．那么的值是________．
（1）移项配方后可得，，，；所有．
（2）原等式变形为：，
∴，
∴且且，
解得，，，∴．
（3）由题得，
∴，
∴且且，
解得，，，∴．
【教师备课提示】这道题主要考查二次根式的配方，三次配方．
模块三
双重二次根式的化简
（1）计算下列各式：
①；②；③；④；⑤．
（2）计算下列各式：
①；②；③．
（3）化简：的结果是________．
（1）①设原式，
则可知：，，可得：，，
∴原式；
②；③；④；⑤（开方后需要化简）；
（2）①原式，则，，
可得：，
∴原式；②；③；
（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查和的化简．
（1）计算下列各式：
①；②．
（2）代数式________．
（1）解法一（配方法）：原式
解法二（平方法）：令，
则
因为，所以．
解法三（换元法）：令，，则，．
又因为，所以．因为，
所以．所以．
（2），方法同（1）．
（3）．
【教师备课提示】这道题主要考查共轭类型，建议这道题三种方法都讲，让孩子选择自己喜欢的方法（Yu chse yu like），但是每个方法都必须掌握．
（1）若，，求xy．
（2）设M，x，y均为正整数，且，则的值是________．
（1）由已知可得：，，
故，．
（2）由得：，
∵M、x、y均为正整数，
∴，，．
又由题设知，∴，，∴，故．
【教师备课提示】这道题主要考查利用平方法化简双重二次根式．
化简：．
设，，∴，
，
∴，
∴，即：原式
【教师备课提示】当配方行不通时，考虑平方法和换元法（换元法换元后需要寻找两个x、y的式子（一般是和xy，最后运用知二推二））．
复习巩固
模块一
二次根式的大小比较
（1）比较大小：
①___3；②____8；③_____；④
（2）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（1）①；②；③；④>；
（2）∵，
∴
∴，
∴，选B．
模块二
二次根式的配方
已知非零实数a、b满足等式，求的值．
两边同时乘以ab，
则有，所以，
所以，，．
设a，b，c是实数，若，则________．
由已知得：，
∴，，，
∴，，，
∴．
模块三
双重二次根式的化简
计算：
原式
．
代数式：（1）________．
（2）________．
（1）（配方，平方，换元均可）；
（2）．
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