初一数学.春季.直升班.教师版.第4讲 勾股定理　

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第四讲
勾股定理
模块一 勾股定理及证明
模块二 勾股定理逆定理及应用
模块一：勾股定理及证明
1．勾股定理：
如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，那么．
即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
注：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边．
2．勾股定理的证明：
（1）弦图证明

内弦图 外弦图

∴ ∴
（2）“总统”法（半弦图）
如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

∴
3．勾股数：
满足的三个正整数，称为勾股数．
（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．
（2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数.
（3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等
（4），，（n为大于1的自然数）
（5），，（，且m和n均为正整数）
模块二：勾股定理逆定理及应用
1．勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在中，如果，那么是直角三角形．
2．勾股定理的常见题型．
模块一
勾股定理及证明
（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC的三边长为a，b，c（c为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明．

（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________．
（1）如上图可知：，
，，
∴，同理，∴．
（2）49cm2．
【教师备课提示】这道题考查勾股定理证明和勾股树．
（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．
（3）下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，,2mn（m，n均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形的三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
（1）B；
（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12；
（3）B；容易知道①错误②正确，对于③，由
，，
所以．
所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B．
【教师备课提示】这道题主要考查常见的勾股数，常见的勾股数五种境界要了解．
中，，，．若，如图3-1，根据勾股定理，则．若不是直角三角形，如图3-2，；如图3-3，．请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

图3-1 图3-2 图3-3
图2猜想：．
证明：过点A作于D，设，，
，
即，故．
图3猜想：．
证明：过B作，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有．
根据勾股定理，得．
即，
∵，，∴，∴．
模块二
勾股定理的逆定理及应用
（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．
（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为________．
（3）（七初半期）若，则以a、b为边的直角三角形的第三边为________．
（1）3或；（2）8或10；（3）或．
【教师备课提示】题型：已知直角三角形的两边求第三边，A卷填空必考题，也是易错点，在斜边不确定的情况下，切记要分类讨论，以斜边讨论．
在中，，，高，则三角形的周长是_________．
32或42．
【教师备课提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．
（1）如图6-1，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
（2）如图6-2，在四边形ABDC中，，，，，，求该四边形面积．

图6-1 图6-2
（1）；
（2）96．四边形ABDC的面积为96．
连接BC，根据勾股定理可得，
因为，所以为直角三角形，
故四边形ABDC的面积．
【教师备课提示】题型：利用直角三角形求不规则四边形面积，即为直角三角形的构造．
（1）如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置，BD长0.5米，则梯子顶端A下落了________米．
（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（ ）
A．等于1米 B．大于1米 C．小于1米 D．以上结果都不对
（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不确定
（1）0.5；（2）C；
（3）选B，设米，
由勾股定理得：，
化简得，．
【教师备课提示】题型：扶梯问题，相对较简单，主要是理解．
（1）（成外半期）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于________．
（2）（西川半期）如图，中，，于点D，若，，请求出的周长．
（1）；
（2），解得，．
【教师备课提示】题型：直角三角形与知二推二综合，各校B卷高频考点．
（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，求EC的长．
（2）如图9-2，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，则DE的长度为________．
（3）如图9-3，矩形纸片ABCD的长，宽，沿EF将其折叠，使点D与点B重合，则折痕EF的长为________cm．

图9-1 图9-2 图9-3
（1）由题意得，．
在中，应用勾股定理得，．
所以．
在中，应用勾股定理，设，
得．解得，即．
（2）设，因为，
则，，
在中，由勾股定理可得：
，∴，即．
（3）设，因为，
则，
根据勾股定理得：，即，解得：；
∴，∴，∴，∴，
根据勾股定理得：(cm)；
【教师备课提示】题型：翻折问题，对应边相等，对应角度相等．
非常挑战
若，且，求：的最小值．
如下图，不妨设，，，，，

P为线段AB上的动点，，于是，，，则问题转化为求点C，D之间距离的最小值．当P，C，D三点不共线时，有；当P，C，D共线时，．
于是点C，D之间距离的最小值为．
【教师备课提示】数形结合，几何构造，将军饮马．
复习巩固
模块一
勾股定理及证明
如图1-1，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则不难证明．（正三角形面积是边长平方的）
（1）如图1-2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么、、之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图1-3，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的关系并加以证明．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）设BC、CA、AB长分别为a、b、c，则，；
（2）．证明如下：显然，，，，
∴．
【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用、、表示，则（设斜边所做图形面积为）．
已知a，b，c是三角形的三边长，，，（n为大于1的自然数），试说明为直角三角形．
因为，
．
所以，所以为直角三角形．
模块二
勾股定理的逆定理及应用
如图，四边形ABCD中，，，，，且，则四边形ABCD的面积是（ ）cm2．
A．336 B．144
C．102 D．无法确定
答案：B．连接AC，运用勾股定理逆定理．
如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？
设竹篙顶端下滑1米到点，底端向外滑行到点．
由题意得，，
在中：，
在中：，
，
即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米．
（1）（石室期末）在中，，高，则_______．
（2）（育才期末）如图，中，，于点D，若，，则的周长为________．
（1）24或84（分类讨论：行外高和行内高，对应例5）
（2）．（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）．
（1）如图6-1，已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是________．
（2）如图6-2，矩形ABCD中，，，如图所示折叠矩形纸片ABCD，使D点落在边AB上一点E处，折痕端点G、F分别在边AD、DC上，则当折痕端点F恰好与C点重合时，AE的长为________cm．

图6-1 图6-2
（3）若，且，则的最小值是________．
（1）由题意可得：
第1个等腰直角三角形，中，斜边长，；
第2个等腰直角三角形，中，斜边长；
第3个等腰直角三角形，中，斜边长；
依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为．
（2）F点与C点重合时（如图），
∵在矩形ABCD中，，，
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴．
（3）答案：25（对应例题10，几何构造）．