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初一数学.春.直升班.教师版.第11讲 函数初步及一次函数
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这是一份初一数学.春.直升班.教师版.第11讲 函数初步及一次函数，共20页。
第十一讲
函数初步及一次函数
模块一 函数初步
模块二 一次函数图像、性质及解析式
模块一：函数初步
1．常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量．
2．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．
例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量．
3．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
4．关于函数的关系式（解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数．
（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
5．函数图象：
（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；
（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；
（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象．
6．函数解析式与函数图象的关系：
①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式．
模块二：一次函数图像、性质及解析式
1．正比例函数
（1）定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
（3）性质：
2．一次函数
（1）定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点．
（4）性质：
（5）一次函数的解析式
= 1 \* GB3 ①待定系数法：
因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解．
= 2 \* GB3 ②点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率．
模块一
函数初步
判断下列式子中，y是否是x的函数．
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（1）（2）（3）（4）（6）（8）中，y是x的函数；（5）（7）中，y不是x的函数．
【教师备课提示】这道题主要考查函数的基本概念，函数判断：对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数．
求下列函数中自变量的取值范围．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（1）x为任意实数；
（2）；
（3），且；
（4）；
（5）由，解得；
（6）由，解得，且．
【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式中，自变量x的取值范围的求法：
（1）分母不为0；（2）偶次根号下非负；（3）代数式有意义．
（1）三角形的周长是y cm，三边长分别为4cm，6cm，x cm，则以x为自变量表示y的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是__________．
（2）矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_______________．
（3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（）之间的关系式为__________，若该月交水费元，则这个月的实际用水__________立方米．
（1），；
（2），；
（3），16．
【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式的理解，y用x来表示或者y与x的函数关系式都是指的函数关系式，注意自变量x的取值范围．
（1）下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）
A B C D
（2）下面的曲线不表示y是x的函数的是（ ）．
（3）如图，在等边中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（ ）
A B C D
（1）C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断；（2）B；（3）B．
模块二
一次函数图像、性质及解析式
（1）若函数是正比例函数，则m的值是__________．
（2）下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）
A． B．
C．（为常数） D．
（3）若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则m的取值范围是__________．
（4）一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点及，则这个正比例函数为__________．
（1）且，所以；
（2）D；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数的基本概念，正比例函数的判定：
形如（k为常数，）的函数，叫做正比例函数．
（1）下列函数中，①（p为常数）；②；③；④；⑤，其中是一次函数的是_____________．
（2）当_____时，函数表示一次函数，其表达式是_________．
（3）当__________时，函数是一次函数．
（1）②③⑤；（2）；；
（3）由定义可知：或，∴或．
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的基本概念，一次函数的判定：
形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
（1）已知一次函数为，其与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________．
（2）已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
（3）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第________象限；直线经过第__________象限．
（4）如果一次函数不经过第一象限，那么ab______0．
（5）一次函数不经过第一象限，则k的取值范围是__________．
（1），；
（2）B（k和b同号）；（3）一、二、三，二、四；
（4）．此题有两种情况：①，；②，；
（5）由题意得，∴.
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数中和的作用：
（1）的正负性决定一次函数的上下坡趋势，①时，一定经过一三象限；②时，一定经过二四象限；
（2）的正负性决定一次函数与y轴交点位置．
（1）（石室联中期末）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ）
（2）下列图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（ ）
A B C D
（3）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是（ ）
A B C D
（1）B；（2）D；（3）B．
【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数和一次函数图象的判断．
（1）若点，点是直线（k为常数）上的点，则m、n的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
（2）（嘉祥期末）在函数的图像上有、、三个点，则、、从小到大排列为___________．
（3）三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图象如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是__________．
（1）A；
（2）；
（3）．
（有个简便的判断斜率大小的方法：在轴正方向的远端（一定要足够远）画一条垂直于轴的判定线，观察并比较直线与判定线交点的纵坐标大小，就可以得到斜率的大小关系.记住判断方法可以帮助我们更快更准确比较斜率大小）
【教师备课提示】 = 1 \* GB3 ①时，y随x的增大而增大，一定经过一三象限；②时，y随x的增大而减小，一定经过二四象限．
求下列一次函数解析式：
（1）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________．
（2）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________．
（3）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________．
（4）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________．
（1）法一：设一次函数为，将点代入，，
解得：，则解析式为：．
法二：，设一次函数为，
将任意一个点代入，可得，则解析式为：．
（2）．
（3）．
（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的解析式的求法：待定系数法，通过这道题总结斜率公式，．并让学生们使用另外一种方法：点斜式重新练习下并快速写出解析式．
一次函数，当时，对应的y值为，求一次函数的解析式．
①若，所以当时，；当时，；
则，解得，，；
②若，所以当时，；当时，；
则，解得，，．
【教师备课提示】这道题结合增减性来考查一次函数的解析式，分类讨论．
复习巩固
模块一
函数初步
（1）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A B C D
（2）下列图形中的曲线不表示y是的函数的是（ ）．
A B C D
（3）边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）．
A B C D
（1）D，y有唯一值与x对应．（2）C．
（3）选择A，当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的，所以选择A，C的描述比例不符合．
判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围．
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）．
（3）（5）不是，其余均是.其中：
（1）任意实数；（2）；（4）任意实数；（6）；
（7）且；（8）任意实数．
模块二
一次函数图像、性质及解析式
（1）函数是正比例函数，则m的值是为_______．
（2）当______时，函数是一次函数．
（3）若一次函数，y随x增大而减小，m的值为_______．
（1）或；（2）由且，得；（3）．
（1）函数的图象在第一，三，四象限，那么k，b的符号同时正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2）若一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ）
A．， B．， C．，D．，
（1）D；（2）D．
（1）已知一次函数的图象如图所示，则a的取值范围是__________．
（2）一次函数图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．
（3）若，则一次函数的图象必定经过第_______象限．
（1）由题意可得：，解得；
（2）由题意可得：，解得；
（3）由题意知，或，从而判断一定过一、二象限．
（1）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A B C D
（2）函数①和②在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
（1）B；（2）D．
（1）已知一次函数的图象经过点和点，点是一次函数的图象与轴的交点，则这个一次函数的表达式是__________．
（2）已知：一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点，且一次函数的图象与y轴的交点Q的纵坐标为4．正比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________．
（1）；（2），．
已知一次函数，当时，对应的y值为．求kb的值．
由题意可得：将k分为两种情况：
= 1 \* GB3 ①若，则当时，；
当时，，则，
解得，，；
②若，则当时，；
当时，，则，
解得，，；
综上所述，kb的值为14或．
示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）
经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
y随x的增大而减小
y随x的减小而增大
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、二、三
从左向右
上升
y随x的增大而增大，
y随x的减小而减小
一、三、四
一、二、四
从左向右
下降
y随x的增大而减小，
y随x的减小而增大
二、三、四
第十一讲
函数初步及一次函数
模块一 函数初步
模块二 一次函数图像、性质及解析式
模块一：函数初步
1．常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量．
2．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．
例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量．
3．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
4．关于函数的关系式（解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数．
（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
5．函数图象：
（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；
（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；
（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象．
6．函数解析式与函数图象的关系：
①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式．
模块二：一次函数图像、性质及解析式
1．正比例函数
（1）定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
（3）性质：
2．一次函数
（1）定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点．
（4）性质：
（5）一次函数的解析式
= 1 \* GB3 ①待定系数法：
因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解．
= 2 \* GB3 ②点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率．
模块一
函数初步
判断下列式子中，y是否是x的函数．
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
（1）（2）（3）（4）（6）（8）中，y是x的函数；（5）（7）中，y不是x的函数．
【教师备课提示】这道题主要考查函数的基本概念，函数判断：对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数．
求下列函数中自变量的取值范围．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（1）x为任意实数；
（2）；
（3），且；
（4）；
（5）由，解得；
（6）由，解得，且．
【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式中，自变量x的取值范围的求法：
（1）分母不为0；（2）偶次根号下非负；（3）代数式有意义．
（1）三角形的周长是y cm，三边长分别为4cm，6cm，x cm，则以x为自变量表示y的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是__________．
（2）矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_______________．
（3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（）之间的关系式为__________，若该月交水费元，则这个月的实际用水__________立方米．
（1），；
（2），；
（3），16．
【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式的理解，y用x来表示或者y与x的函数关系式都是指的函数关系式，注意自变量x的取值范围．
（1）下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）
A B C D
（2）下面的曲线不表示y是x的函数的是（ ）．
（3）如图，在等边中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（ ）
A B C D
（1）C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断；（2）B；（3）B．
模块二
一次函数图像、性质及解析式
（1）若函数是正比例函数，则m的值是__________．
（2）下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）
A． B．
C．（为常数） D．
（3）若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则m的取值范围是__________．
（4）一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点及，则这个正比例函数为__________．
（1）且，所以；
（2）D；（3）；（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数的基本概念，正比例函数的判定：
形如（k为常数，）的函数，叫做正比例函数．
（1）下列函数中，①（p为常数）；②；③；④；⑤，其中是一次函数的是_____________．
（2）当_____时，函数表示一次函数，其表达式是_________．
（3）当__________时，函数是一次函数．
（1）②③⑤；（2）；；
（3）由定义可知：或，∴或．
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的基本概念，一次函数的判定：
形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
（1）已知一次函数为，其与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________．
（2）已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
（3）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第________象限；直线经过第__________象限．
（4）如果一次函数不经过第一象限，那么ab______0．
（5）一次函数不经过第一象限，则k的取值范围是__________．
（1），；
（2）B（k和b同号）；（3）一、二、三，二、四；
（4）．此题有两种情况：①，；②，；
（5）由题意得，∴.
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数中和的作用：
（1）的正负性决定一次函数的上下坡趋势，①时，一定经过一三象限；②时，一定经过二四象限；
（2）的正负性决定一次函数与y轴交点位置．
（1）（石室联中期末）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ）
（2）下列图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（ ）
A B C D
（3）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是（ ）
A B C D
（1）B；（2）D；（3）B．
【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数和一次函数图象的判断．
（1）若点，点是直线（k为常数）上的点，则m、n的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
（2）（嘉祥期末）在函数的图像上有、、三个点，则、、从小到大排列为___________．
（3）三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图象如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是__________．
（1）A；
（2）；
（3）．
（有个简便的判断斜率大小的方法：在轴正方向的远端（一定要足够远）画一条垂直于轴的判定线，观察并比较直线与判定线交点的纵坐标大小，就可以得到斜率的大小关系.记住判断方法可以帮助我们更快更准确比较斜率大小）
【教师备课提示】 = 1 \* GB3 ①时，y随x的增大而增大，一定经过一三象限；②时，y随x的增大而减小，一定经过二四象限．
求下列一次函数解析式：
（1）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________．
（2）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________．
（3）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________．
（4）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________．
（1）法一：设一次函数为，将点代入，，
解得：，则解析式为：．
法二：，设一次函数为，
将任意一个点代入，可得，则解析式为：．
（2）．
（3）．
（4）．
【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的解析式的求法：待定系数法，通过这道题总结斜率公式，．并让学生们使用另外一种方法：点斜式重新练习下并快速写出解析式．
一次函数，当时，对应的y值为，求一次函数的解析式．
①若，所以当时，；当时，；
则，解得，，；
②若，所以当时，；当时，；
则，解得，，．
【教师备课提示】这道题结合增减性来考查一次函数的解析式，分类讨论．
复习巩固
模块一
函数初步
（1）下列各图中，是函数图象的是（ ）
A B C D
（2）下列图形中的曲线不表示y是的函数的是（ ）．
A B C D
（3）边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）．
A B C D
（1）D，y有唯一值与x对应．（2）C．
（3）选择A，当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的，所以选择A，C的描述比例不符合．
判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围．
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）．
（3）（5）不是，其余均是.其中：
（1）任意实数；（2）；（4）任意实数；（6）；
（7）且；（8）任意实数．
模块二
一次函数图像、性质及解析式
（1）函数是正比例函数，则m的值是为_______．
（2）当______时，函数是一次函数．
（3）若一次函数，y随x增大而减小，m的值为_______．
（1）或；（2）由且，得；（3）．
（1）函数的图象在第一，三，四象限，那么k，b的符号同时正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
（2）若一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ）
A．， B．， C．，D．，
（1）D；（2）D．
（1）已知一次函数的图象如图所示，则a的取值范围是__________．
（2）一次函数图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．
（3）若，则一次函数的图象必定经过第_______象限．
（1）由题意可得：，解得；
（2）由题意可得：，解得；
（3）由题意知，或，从而判断一定过一、二象限．
（1）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A B C D
（2）函数①和②在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
（1）B；（2）D．
（1）已知一次函数的图象经过点和点，点是一次函数的图象与轴的交点，则这个一次函数的表达式是__________．
（2）已知：一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点，且一次函数的图象与y轴的交点Q的纵坐标为4．正比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________．
（1）；（2），．
已知一次函数，当时，对应的y值为．求kb的值．
由题意可得：将k分为两种情况：
= 1 \* GB3 ①若，则当时，；
当时，，则，
解得，，；
②若，则当时，；
当时，，则，
解得，，；
综上所述，kb的值为14或．
示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）
经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
y随x的增大而减小
y随x的减小而增大
示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）
一、二、三
从左向右
上升
y随x的增大而增大，
y随x的减小而减小
一、三、四
一、二、四
从左向右
下降
y随x的增大而减小，
y随x的减小而增大
二、三、四
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