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初一数学.春.直升班.教师版.第14讲 一次函数和几何综合（二）
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这是一份初一数学.春.直升班.教师版.第14讲 一次函数和几何综合（二），共20页。
第十四讲
一次函数和几何综合（二）
模块一 一次函数和将军饮马模型综合
模块二 一次函数与折叠问题
模块一：一次函数和将军饮马模型综合
“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察．
模型 = 1 \* ROMAN I：最小问题
模型 = 2 \* ROMAN II：最大问题
模块二：一次函数与折叠问题
一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系：
方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形）
模块一
一次函数和将军饮马模型综合
（树德期末改编）如图，已知三个顶点坐标分别为，，，点P在线段AC上移动．当点P坐标为时，请在y轴上找点Q，使周长最小，画出图形并求出Q点坐标．
∵，，∴直线AC的解析式为；
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为(1, m)，∴，
作P点关于y轴的对称点P′，连接交y轴于Q，此时，
根据两点之间线段最短，Q就是使周长最小的点；则
∴直线P′C的解析式为，∴Q点的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查最一般的将军饮马，基本思路：
（1）过定点作定直线的对称点；
（2）作对称的目的是转移线段．
如图，在直角坐标系中有四个点，，，，当四边形ABCD周长最短时，则__________，此时四边形ABCD的面积为__________．
作A点关于x轴对称点，作B点关于y轴对称点，连接，．
∵四边形ABCD周长最短，且AB长度一定，
∴必须使最短，即A、D、C、共线，设直线为，则，，将其代入直线中得：，，∴，
∵，，
则代入直线方程中，得：，，
因此，，通过四个点坐标易求出四边形ABCD面积为15．
【教师备课提示】这道题主要考查两个动点的将军饮马模型，思路一样，过定点作定直线的对称点．
（育才期末改编）如图，在直标系内，一次函数的图象分别与x轴、y轴和直线相交于A、B、C三点，直线与x轴交于点D．
（1）若点M在x轴上运动，当M运动到某个位置时，最小，试求出此时点M的坐标；
（2）若点G在直线CD上，点H在直线AB上，试问：在（1）条件下，是否存在某个合适的位置，使得取得最小值？如果存在请直接写出这个最小值和此时点H的坐标；如果不存在请说明理由．
（1）由条件：，，
如图，当时，最小为0，
故作线段BC的中垂线交x轴于M，交BC于N，点M就是符合题意的点，设点M的坐标为：，则：，
解得，∴；
（2）存在．如图，作点M关于直线CD的对称点M′，
过点作于H，交CD于G，则点G，H就是符合条件的点，，
直线解析式为：，与直线CD交点为点G：
与直线AB交点为点H：，解得：，∴H点坐标为：．
∴的最小值为．
【教师备课提示】这道题主要考查将军饮马+垂线段最短，相对较难．
模块二
一次函数与折叠问题
（1）如图4-1，矩形OABC在平面直角坐标系中，AC的解析式为，把沿AC对折，点B落在处，线段与x轴交于点D，则的面积为_______．
（2）（嘉祥期末）直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图4-2所示，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，直线AB的解析式为，将沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．则点D的坐标为__________．
图4-1 图4-2
（1）；
（2）过D作于G，
∵沿BE折叠O、D重合，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴D的坐标是：.
也可以用解析法，求点O关于直线BE的对称点D．
（1）如图5-1，直线与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上点处，则直线AM的解析式为__________．
（2）（实外期末）如图5-2，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为__________．
图5-1 图5-2
（1）（解析法）：当时，，即，
当时，，即，所以，即，
因为点B与关于AM对称，所以的中点为，
即在直线AM上，设直线AM的解析式为，
把，，代入可得．
（几何法）：直线与x轴，y轴分别交于点A和B，
∴，，
∴，
则，
设，
则，，
∴，解得，
∴又，
故直线AM的解析式为.
（2）或．
（成外期末）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当点E，连接CE，将沿CE折叠，如图．
（1）若矩形OABC的边长，，如图6-1，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG//x轴交CD于点H，交BC于点G．设，用含n的代数式表示m为__________；
（2）如图6-2，将矩形OABC变为正方形，，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT长度．
图6-1 图6-2
（1）m与n之间的关系式为：；
（2）（几何法）
解：（如图②）连接ET，由题意可知，，，，
是AO中点，．
．
在和中，，
．
．
设，则，，
在中，，
即，
解得，
即．
（解析法）：先求O点关于CE的对称点D，再求CD解析式，最后求T点坐标．
复习巩固
模块一
一次函数和将军饮马模型综合
（1）在平面直角坐标系中，x轴上一动点P到定点、的距离分别为AP和BP，那么当最小时，P点坐标为_______________．
（2）已知点P坐标是，点Q坐标是，在直线上找一点M，使得的周长最小，则点M的坐标为_____________________．
（1）；（2）．
（1）在直角坐标系中，有四个点、、、，当四边形ABCD的周长最小时，mn的值为_________．
（2）如图，在直角坐标系中有线段AB，，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为___________
（1）由A、B两点固定可知，AB的线段长度固定，故只需考虑的长度，
取点B关于轴的对称点，点A关于轴的对称点，
易知当、D、C、四点共线时，的长度最小，最小值为．
易知直线的解析式为：，此时、，故．
（2）．
模块二
一次函数与折叠问题
（树德期末）如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x的正半轴上，，，在OA上取一点E，将沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，则直线CE的解析式为__________．
．
（嘉祥期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把沿AC对折，点B落在点处，
与x轴交于点D，求直线解析式．
（1）根据题意得，，，
∵四边形OABC为矩形
∴，
故，，
（2）法一：计算出，
设直线的解析式为，
过点和，
有，
解得
所以．
法二：利用B点坐标和的斜率。因为AC与垂直，则斜率乘积为．
（1）如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为__________．
（2）如图5-2，长方形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，点E的坐标为．现将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在AB上的点处，则的坐标为__________．
图5-1 图5-2
（1）D的坐标为：
法一：几何法，，，设，则，用勾股定理．
法二：解析法，求出AC的解析式，那么点D就是点B关于直线AC的对称点．
（2）∵将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点处，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
也可以用解析法，求点C关于直线DE的对称点．角度
斜率
第十四讲
一次函数和几何综合（二）
模块一 一次函数和将军饮马模型综合
模块二 一次函数与折叠问题
模块一：一次函数和将军饮马模型综合
“将军饮马”问题比较经典，近两年常出现在压轴题的第2、3问，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”模型和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试，综合考察．
模型 = 1 \* ROMAN I：最小问题
模型 = 2 \* ROMAN II：最大问题
模块二：一次函数与折叠问题
一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系：
方法：解析法（根据折叠前后图像对称）、几何法（解直角三角形）
模块一
一次函数和将军饮马模型综合
（树德期末改编）如图，已知三个顶点坐标分别为，，，点P在线段AC上移动．当点P坐标为时，请在y轴上找点Q，使周长最小，画出图形并求出Q点坐标．
∵，，∴直线AC的解析式为；
∵点P在线段AC上移动，点P坐标为(1, m)，∴，
作P点关于y轴的对称点P′，连接交y轴于Q，此时，
根据两点之间线段最短，Q就是使周长最小的点；则
∴直线P′C的解析式为，∴Q点的坐标为．
【教师备课提示】这道题主要考查最一般的将军饮马，基本思路：
（1）过定点作定直线的对称点；
（2）作对称的目的是转移线段．
如图，在直角坐标系中有四个点，，，，当四边形ABCD周长最短时，则__________，此时四边形ABCD的面积为__________．
作A点关于x轴对称点，作B点关于y轴对称点，连接，．
∵四边形ABCD周长最短，且AB长度一定，
∴必须使最短，即A、D、C、共线，设直线为，则，，将其代入直线中得：，，∴，
∵，，
则代入直线方程中，得：，，
因此，，通过四个点坐标易求出四边形ABCD面积为15．
【教师备课提示】这道题主要考查两个动点的将军饮马模型，思路一样，过定点作定直线的对称点．
（育才期末改编）如图，在直标系内，一次函数的图象分别与x轴、y轴和直线相交于A、B、C三点，直线与x轴交于点D．
（1）若点M在x轴上运动，当M运动到某个位置时，最小，试求出此时点M的坐标；
（2）若点G在直线CD上，点H在直线AB上，试问：在（1）条件下，是否存在某个合适的位置，使得取得最小值？如果存在请直接写出这个最小值和此时点H的坐标；如果不存在请说明理由．
（1）由条件：，，
如图，当时，最小为0，
故作线段BC的中垂线交x轴于M，交BC于N，点M就是符合题意的点，设点M的坐标为：，则：，
解得，∴；
（2）存在．如图，作点M关于直线CD的对称点M′，
过点作于H，交CD于G，则点G，H就是符合条件的点，，
直线解析式为：，与直线CD交点为点G：
与直线AB交点为点H：，解得：，∴H点坐标为：．
∴的最小值为．
【教师备课提示】这道题主要考查将军饮马+垂线段最短，相对较难．
模块二
一次函数与折叠问题
（1）如图4-1，矩形OABC在平面直角坐标系中，AC的解析式为，把沿AC对折，点B落在处，线段与x轴交于点D，则的面积为_______．
（2）（嘉祥期末）直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图4-2所示，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，直线AB的解析式为，将沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．则点D的坐标为__________．
图4-1 图4-2
（1）；
（2）过D作于G，
∵沿BE折叠O、D重合，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴D的坐标是：.
也可以用解析法，求点O关于直线BE的对称点D．
（1）如图5-1，直线与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上点处，则直线AM的解析式为__________．
（2）（实外期末）如图5-2，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为__________．
图5-1 图5-2
（1）（解析法）：当时，，即，
当时，，即，所以，即，
因为点B与关于AM对称，所以的中点为，
即在直线AM上，设直线AM的解析式为，
把，，代入可得．
（几何法）：直线与x轴，y轴分别交于点A和B，
∴，，
∴，
则，
设，
则，，
∴，解得，
∴又，
故直线AM的解析式为.
（2）或．
（成外期末）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当点E，连接CE，将沿CE折叠，如图．
（1）若矩形OABC的边长，，如图6-1，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG//x轴交CD于点H，交BC于点G．设，用含n的代数式表示m为__________；
（2）如图6-2，将矩形OABC变为正方形，，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT长度．
图6-1 图6-2
（1）m与n之间的关系式为：；
（2）（几何法）
解：（如图②）连接ET，由题意可知，，，，
是AO中点，．
．
在和中，，
．
．
设，则，，
在中，，
即，
解得，
即．
（解析法）：先求O点关于CE的对称点D，再求CD解析式，最后求T点坐标．
复习巩固
模块一
一次函数和将军饮马模型综合
（1）在平面直角坐标系中，x轴上一动点P到定点、的距离分别为AP和BP，那么当最小时，P点坐标为_______________．
（2）已知点P坐标是，点Q坐标是，在直线上找一点M，使得的周长最小，则点M的坐标为_____________________．
（1）；（2）．
（1）在直角坐标系中，有四个点、、、，当四边形ABCD的周长最小时，mn的值为_________．
（2）如图，在直角坐标系中有线段AB，，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为___________
（1）由A、B两点固定可知，AB的线段长度固定，故只需考虑的长度，
取点B关于轴的对称点，点A关于轴的对称点，
易知当、D、C、四点共线时，的长度最小，最小值为．
易知直线的解析式为：，此时、，故．
（2）．
模块二
一次函数与折叠问题
（树德期末）如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x的正半轴上，，，在OA上取一点E，将沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，则直线CE的解析式为__________．
．
（嘉祥期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把沿AC对折，点B落在点处，
与x轴交于点D，求直线解析式．
（1）根据题意得，，，
∵四边形OABC为矩形
∴，
故，，
（2）法一：计算出，
设直线的解析式为，
过点和，
有，
解得
所以．
法二：利用B点坐标和的斜率。因为AC与垂直，则斜率乘积为．
（1）如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为__________．
（2）如图5-2，长方形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点A在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，点E的坐标为．现将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在AB上的点处，则的坐标为__________．
图5-1 图5-2
（1）D的坐标为：
法一：几何法，，，设，则，用勾股定理．
法二：解析法，求出AC的解析式，那么点D就是点B关于直线AC的对称点．
（2）∵将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点处，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
也可以用解析法，求点C关于直线DE的对称点．角度
斜率
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