初二数学.春.直升班.教师版.第2讲 二次函数的图象判断和几何变换

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二次函数的图象判断
和几何变换
模块一 二次函数的图象判断
模块二 二次函数的几何变换
模块一：二次函数的图象判断
1．二次函数图象与系数的关系
（1）a决定抛物线的开口方向
当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”
当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．
（3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置
当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴．
2．二次函数的图象信息
（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性．
（2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性．
（3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性．
（4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性．
（5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性．
（6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式．
（7）根据抛物线的顶点，判断的大小．
模块二：二次函数的几何变换
1．二次函数图象的平移
平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．
2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．
（1）关于x轴对称
关于x轴对称后，得到的解析式是．
关于x轴对称后，得到的解析式是．
（2）关于轴对称
关于y轴对称后，得到的解析式是．
关于y轴对称后，得到的解析式是．
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是．
关于原点对称后，得到的解析式是．
（4）关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是．
关于顶点对称后，得到的解析式是
（5）关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
3．二次函数图象的翻折
函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到．
具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方．
模块一 二次函数的图象判断
0
（1）二次函数的图象如图1-1，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）二次函数的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab、ac、、、、、中，其值为正的式子的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（3）二次函数的图象如图1-3，则_______0．（填“>”、“<”或“=”）．
图1-1 图1-2 图1-3
（1）B;（2）C；
（3）由题意得，，∴，，，
又当时，，当时，，
故原式
【教师备课提示】这道题主要讲解基本式子的正负性的判断，主要包括a，b，c，，，，，等的正负性的判断．
（1）如图2-1，二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________．（填序号）
（2）如图2-2，已知二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________．（填序号）
（3）（成外半期）二次函数的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）

图2-1 图2-2 图2-3
（1）①②④；（2）①②；
（3）由图象可知，，，，∴，故①准确；
当时，，即，故②错误；
由题意得，二次函数的对称轴为，
则和时的函数值一样的，
∴当时，，故③准确；
由图象知，二次函数的图像和x轴有两个不同的交点，故，故④准确；
由题意对称轴为，则，得,
所以，，
∴，故⑤准确.
故 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④ = 5 \* GB3 ⑤.
【教师备课提示】这道题主要讲解第二类常见式子的情况判断，，，b以及 及变形的式子.
（1）（嘉祥月考）已知二次函数的图像如图3-1所示，它与x轴两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有________．（填序号）
（2）如图3-2，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号）
（3）如图3-3，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，与y轴的交点B在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②；③；④；其中正确的结论是_________．（填序号）

图3-1 图3-2 图3-3
（1）③④；（2）①③；
（3）由题意得，，对称轴为直线，
∴另外一个交点为，
故①准确；
由题意得，对称轴为，
∴，，
故②准确；
由抛物线与x轴的两个交点坐标分别是，，
∴，
解得，
又，
∴，故③准确；
，
故，故④错误；
故选①②③．
【教师备课提示】这道题主要讲解通常题目中给定某些信息，然后去判断只含有a和b，a和c，b和c的式子的情况，消元．
（1）已知二次函数的图象如图4-1所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是____________．（填序号）
（2）二次函数的图象如图4-2所示，给出下列结论：①；②若，则；③；④，其中正确的结论有____________．（填序号）

图4-1 图4-2
（1）③④；（2）①②③．
模块二 二次函数的几何变换
0
（1）二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）．
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为________________．
（3）如果将抛物线向右平移a个单位后，恰好过点，那么a的值为__________．
（1）将配方得：，
要将二次函数的图象平移得到到，应选C．
（2）先将得到的函数转化为顶点式，则先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到原抛物线解析式，即．
（3）2或4．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的平移，二次函数的平移转化为顶点式，二次函数的平移即为顶点的平移，也可以按照平移的规律．
（1）如图6-1所示，已知抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标____________；将抛物线每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线、、、…、（n为正整数），则抛物线的解析式为___________．
（2）如图6-2，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为___________．

图6-1 图6-2

（1），.
（2）过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点，
∴平移后的抛物线对称轴为，
得出二次函数解析式为：，
将代入得：，解得：，
∴点P的坐标是，
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴．
已知二次函数，求：
（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为_____________________；
（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为_____________________；
（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________．
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称，二次函数的对称转化为顶点式，二次函数的对称即为顶点的对称，也可以按照对称的规律．
已知二次函数的图象是．
（1）求关于点中心对称的图象的解析式；
（2）设曲线、与y轴的交点分别为A，B，当时，求a的值．
（1）设上任意一点为，上关于中心对称的点为，
则有
由点在的图象上可知，，
即．
即．
故图象的解析式为：．
（2）令中，
可得，故；
令中，
可得，故．
又，
故或．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的对称,关于某点对称，可以按照顶点的对称，也可以按照点的对称规律．
作出的函数图象．
将位于x轴下方的图象翻折到x轴上方即可,如图；
（成外周考）已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
（1）由题意得，．
∴．∵k为正整数，∴，2，3．
（2）当时，方程有一根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
（3）设二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过A点时，可得；
当直线经过B点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
【教师备课提示】这道题主要讲解二次函数的翻折．
复习巩固
模块一 二次函数的图象判断
0
（1）二次函数的图象如图1-1，则一次函数的图象不经过第________象限．
（2）如图1-2，二次函数的图象经过点和，给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是________．
（3）二次函数的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的是________．

图1-1 图1-2 图1-3
（1）由图象可知，，，．
∴．
∴一次函数的图象不经过第四象限.
（2）②③④⑤；
（3）①②③⑤．
（1）已知二次函数的图象如图2-1所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是________．（填序号即可）
（2）如图2-2，抛物线的图象交x轴于、，交y轴正半轴于C，且．下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是________．

图2-1 图2-2
（1）①②④⑤；（2）②③④．
模块二 二次函数的几何变换
0
（1）（树德实验半期）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则a的值为________．
（3）如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线的顶点为，且过点：
①将抛物线向右平移2个单位得抛物线，则抛物线的解析式_____________；
②写出阴影部分的面积_____________．
（1）；
（2）2；
（3）①，②8．
已知二次函数．
（1）指出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）把这个二次函数的图像上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，求此时二次函数的解析式．
（1），
∴二次函数图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是．
（2）设此时二次函数的解析式为，此时，顶点坐标为．
由题意得：解得：，∴．
（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．
（2）已知二次函数的图象，将其函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线与这个新图象有两个公共点时，n的取值范围为__________．

（1）；（2）令，解得：，，
故A，B两点的坐标分别为，．
如图，当直线，经过A点时，可得，
当直线经过B点时，可得，∴n的取值范围为．