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初二数学.春.直升班.教师版.第3讲 二次函数的区间最值及应用
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这是一份初二数学.春.直升班.教师版.第3讲 二次函数的区间最值及应用，共20页。
二次函数的区间
最值及应用
模块一 二次函数的区间最值
模块二 二次函数的应用
模块一：二次函数的区间最值
1．定轴定区间
对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2．动轴或动区间
对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
模块二：二次函数的应用
1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为：
（1）经济利润类问题；
（2）方案选择类问题；
（3）行程问题；
（4）数学建模类问题；
（5）工程问题。
2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。
模块一 二次函数的区间最值
0
分别求出在下列条件下，函数的最值：
（1）x取任意实数；（2）当时；（3）当时；（4）当时．
（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值；
（2）∵在右侧，
∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值；
（3）∵在左侧，
∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值；
（4）∵，且，
∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图．
试求在的最值．
令，则有
∵当时，的取值范围是，
∴原题转化为当时，求的最大值和最小值．
∵，故当时，．而当解得：，
又∵，∴当时，．
当时，；当时，，而，
∴当时，即时，．
【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值.
已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式．
二次函数的对称轴是，
= 1 \* GB3 ①当时，对称轴在左边，∴；
②当，即时，最小值s在顶点处取得，∴；
③当，即时，对称轴在右边，∴．
综上所述：．
【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图，（3）分类讨论．
已知函数在区间有最大值，求实数a的值．
因为，，它的对称轴是直线，
（1）当时，即时，y在区间随着x的增加而减少，
这时，当时，函数的最大值是，
∴．得．因，故．
（2）当时，即时，这时，当时，函数的最大值是，
∴得，这与矛盾．
（3）当，即时，y在区间随着增加而增加，
这时，当时，函数的最大值是，
∴，得．因为，故．
综上所述，满足题意的为或．
【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法，和动区间最值求法一样．
若函数在区间上的最小值为2a，最大值为2b．求a、b的值．
函数的对称轴为，下面分三种情况加以讨论：
（1）若时，即函数在区间上单调递减，有
，解得．
（2）若时，则由函数图象知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在处有最大值2b，即，得．
而函数的最小值在或处取得，
又由于，并且当时，，
故函数的最小值在处取得，则有，
解得或（舍去）．
从而．
（3）当时，即函数在区间上单调递增，有
．
由于a、b是方程的两个根，又因为两根之积为负数，
即两根异号，这与矛盾，故不存在．
综上所述，得或．
【教师备课提示】例题5和例题6是在动轴或动区间的基础上添加计算量，锻炼孩子们分类讨论的能力和综合计算的能力．
设，当时，y的最小值不小于0，求实数a的取值范围．
，对称轴是．
= 1 \* GB3 ①当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，得，这与矛盾，此时a不存在．
②当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，此时．
③当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，得，此时．
综上所述，a的取值范围是．
模块二 二次函数的应用
0
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，当销售单价定为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？
设销售单价应定为x元，销售利润为y元，根据题意可得：
，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴，
解得：，
即时，销量为300件，此时利润最大为：（元），
故销售单价应定为40元时，销售利润最大，最大为6000元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们提取信息的能力，每每问题也是各学校的高频考点．
九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
（1）当时，，
当时，，
综上所述：；
（2）当时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共30天；
当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们分类讨论及综合计算能力．
复习巩固
模块一 二次函数的区间最值
0
（1）求函数的最小值；
（2）若，求的最大值、最小值；
（3）若，求的最大值、最小值；
（4）若，求的最大值、最小值．
（1）当时，的最小值是；
（2）由图像可知：当时，函数单调递增，当时，y最小，且，当时，y最大，且．
（3）由图像可知：当时，函数是先减后增，∴当，y最小，且．∵当时，当时， ，∴当时，y最大，且．
（4）由函数图像开口向上，且，故当时，y取最大值为11，当时，y取最小值为1．
已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式．
二次函数的对称轴是，
= 1 \* GB3 ①当时，对称轴在左边，∴；②当，即时，最小值s在顶点处取得，∴；③当，即时，对称轴在右边，∴．
综上所述：．
已知函数在上有最大值2，求a的值．
按对称轴进行讨论：
当对称轴时，如左图所示．
当时，y有最大值，，
∴，即，且满足，∴．
当对称轴时，如中图所示，
当时，y有最大值，．
∴．解得（∵，舍去）．
当对称轴时，如右图所示．
当时，y有最大值，，且满足，∴．
综上可知：或．
模块二 二次函数的应用
0
（16年成都中考）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
（3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．
（1）由题意得：，解得：．
故y与x之间的函数关系式为：，
∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，∴；
（2），∵抛物线开口向下，∴当时，w随x的增大而增大，而，故当时，．
答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元．
（3）∵该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程，
∴，当，则，
解得：，，而，故，
即所获利润不低于450万元，此时销售单价的范围是：．
时间x（天）
售价（元/件）
90
每天销量（件）
二次函数的区间
最值及应用
模块一 二次函数的区间最值
模块二 二次函数的应用
模块一：二次函数的区间最值
1．定轴定区间
对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．
（2）若，如图②，当，；当，．
（3）若，如图③，当，；当，．
（4）若，，如图④，当，；当，．
2．动轴或动区间
对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．
模块二：二次函数的应用
1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为：
（1）经济利润类问题；
（2）方案选择类问题；
（3）行程问题；
（4）数学建模类问题；
（5）工程问题。
2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。
模块一 二次函数的区间最值
0
分别求出在下列条件下，函数的最值：
（1）x取任意实数；（2）当时；（3）当时；（4）当时．
（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值；
（2）∵在右侧，
∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值；
（3）∵在左侧，
∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值；
（4）∵，且，
∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图．
试求在的最值．
令，则有
∵当时，的取值范围是，
∴原题转化为当时，求的最大值和最小值．
∵，故当时，．而当解得：，
又∵，∴当时，．
当时，；当时，，而，
∴当时，即时，．
【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值.
已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式．
二次函数的对称轴是，
= 1 \* GB3 ①当时，对称轴在左边，∴；
②当，即时，最小值s在顶点处取得，∴；
③当，即时，对称轴在右边，∴．
综上所述：．
【教师备课提示】这道题讲解动区间最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图，（3）分类讨论．
已知函数在区间有最大值，求实数a的值．
因为，，它的对称轴是直线，
（1）当时，即时，y在区间随着x的增加而减少，
这时，当时，函数的最大值是，
∴．得．因，故．
（2）当时，即时，这时，当时，函数的最大值是，
∴得，这与矛盾．
（3）当，即时，y在区间随着增加而增加，
这时，当时，函数的最大值是，
∴，得．因为，故．
综上所述，满足题意的为或．
【教师备课提示】这道题主要讲解动轴最值的求法，和动区间最值求法一样．
若函数在区间上的最小值为2a，最大值为2b．求a、b的值．
函数的对称轴为，下面分三种情况加以讨论：
（1）若时，即函数在区间上单调递减，有
，解得．
（2）若时，则由函数图象知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在处有最大值2b，即，得．
而函数的最小值在或处取得，
又由于，并且当时，，
故函数的最小值在处取得，则有，
解得或（舍去）．
从而．
（3）当时，即函数在区间上单调递增，有
．
由于a、b是方程的两个根，又因为两根之积为负数，
即两根异号，这与矛盾，故不存在．
综上所述，得或．
【教师备课提示】例题5和例题6是在动轴或动区间的基础上添加计算量，锻炼孩子们分类讨论的能力和综合计算的能力．
设，当时，y的最小值不小于0，求实数a的取值范围．
，对称轴是．
= 1 \* GB3 ①当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，得，这与矛盾，此时a不存在．
②当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，此时．
③当，即时，二次函数在时取得最小值．
由，得，此时．
综上所述，a的取值范围是．
模块二 二次函数的应用
0
某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，当销售单价定为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少元？
设销售单价应定为x元，销售利润为y元，根据题意可得：
，
∵超市要完成不少于300件的销售任务，
∴，
解得：，
即时，销量为300件，此时利润最大为：（元），
故销售单价应定为40元时，销售利润最大，最大为6000元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们提取信息的能力，每每问题也是各学校的高频考点．
九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
（1）当时，，
当时，，
综上所述：；
（2）当时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共30天；
当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们分类讨论及综合计算能力．
复习巩固
模块一 二次函数的区间最值
0
（1）求函数的最小值；
（2）若，求的最大值、最小值；
（3）若，求的最大值、最小值；
（4）若，求的最大值、最小值．
（1）当时，的最小值是；
（2）由图像可知：当时，函数单调递增，当时，y最小，且，当时，y最大，且．
（3）由图像可知：当时，函数是先减后增，∴当，y最小，且．∵当时，当时， ，∴当时，y最大，且．
（4）由函数图像开口向上，且，故当时，y取最大值为11，当时，y取最小值为1．
已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式．
二次函数的对称轴是，
= 1 \* GB3 ①当时，对称轴在左边，∴；②当，即时，最小值s在顶点处取得，∴；③当，即时，对称轴在右边，∴．
综上所述：．
已知函数在上有最大值2，求a的值．
按对称轴进行讨论：
当对称轴时，如左图所示．
当时，y有最大值，，
∴，即，且满足，∴．
当对称轴时，如中图所示，
当时，y有最大值，．
∴．解得（∵，舍去）．
当对称轴时，如右图所示．
当时，y有最大值，，且满足，∴．
综上可知：或．
模块二 二次函数的应用
0
（16年成都中考）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
某集团公司试销一种成本为每件60元的节能产品，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数图象如图．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）设该集团公司销售这种节能产品获得利润为W（万元），试求出利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出当销售单价定为多少元时，公司可获得最大利润，最大利润是多少万元？
（3）该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程．若除去捐款后，所获利润不低于450万元，请你确定此时销售单价的范围．
（1）由题意得：，解得：．
故y与x之间的函数关系式为：，
∵成本为每件60元的产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，∴；
（2），∵抛物线开口向下，∴当时，w随x的增大而增大，而，故当时，．
答：当销售价定为84元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是864元．
（3）∵该公司决定每销售一件产品，就抽出5元钱捐给希望工程，
∴，当，则，
解得：，，而，故，
即所获利润不低于450万元，此时销售单价的范围是：．
时间x（天）
售价（元/件）
90
每天销量（件）
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