初二数学.春.直升班.教师版.第5讲 二次函数的线段最值和面积最值

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二次函数的线段最值
和面积最值
模块一：二次函数的线段最值
1．定点在同侧，需要对称转化为异侧；
2．动线段端点不重合，需要平移转化到同一点．
模块二：二次函数的面积最值
1．铅垂法：．
分三步走：（1）过动点作铅垂线，交另外两个定点连成的直线于一点；
（2）设出点坐标，表示线段长；
（3）利用二次函数配方求最值．
2．切线法：直线与抛物线相切，即联立解析式使．
模块一 二次函数的线段最值
0
如图，已知抛物线经过点和.
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点与点Q均在抛物线上（其中），且这两点关于抛物线对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；
（3）在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得的周长最小．
（1）由题意得，，∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由点在抛物线上得，
，即，
∴或（舍去），∴，
∵点P，Q关于对称轴对称，∴；
（3）连接AQ，AP，直线AP与对称轴相交于点M，
由于P，Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，
此时的交点M，能够使得的周长最小.
设直线PA的解析式，∴，∴，
∴直线PA的解析式为：，
设点，则有
此时点能够使得的周长最小．
【教师备课提示】这道题主要讲解线段最值的方法及基本的计算．
如图，已知二次函数的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且．
（1）求c的值；
（2）若的面积为3，求该二次函数的解析式；
（3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）令，则，
即，设，，
则，，又，且，得，
∴，又∵，∴；
（2），
当时，，得，又，
∴，∴该二次函数的解析式为，
（3）过B作并延长BE到F使，连续DF，交直线AC于点P，则所作的点P满足的周长最小．由题意得，，，，
∴，，，
∵，，
∴，∴，
∴，，∴，
同理，由得，，，
∴，，
∴，∴，
∴DF的解析式为：，又AC的解析式为，
由，得，
∴点为所求．
【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点——计算．
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，把绕点O按顺时针方向旋转，得到．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方)，且，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

（1）由旋转的性质可知：，．
∴C点的坐标是，D点的坐标是.
（2）设所求抛物线的解析式为.
由题意，得，解得，，.
∴所求抛物线的解析式为.
（3）如图，只需求最短，抛物线的对称轴为.
将点A向上平移至，则，作关于对称轴的对称点，
连接，与对称轴交于点E，E为所求.
可求得的解析式为. 当时，.
∴点E的坐标为，点F的坐标为，
此时周长的最小值为．
【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点——变形．
模块二 二次函数的面积最值
0
如图，已知抛物线经过点、、三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN//y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（1）设抛物线的解析式为：，则：
，；
∴抛物线的解析式：．
（2）设直线BC的解析式为：，则有：
，解得；
故直线BC的解析式：．
则、；
∴故．
（3）如图；∵，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为．
【教师备课提示】这道题主要讲解铅垂线法，三步走．
如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O逆时针旋转，得到，抛物线经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使得面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（1）在中，∵，∴，
由题意得，，，，
∴A、B、C的坐标分别为，，．
设抛物线解析式为，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，即；
（2）设直线CD的解析式为，
由题意得，解得，∴直线CD的解析式为，
过点P作PM//y轴交CD于M，如图2，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，∴当时，有最大值，最大值为．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们自己练习下，铅垂线的方法求面积．
如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（1）∵，∴；∵，∴；
∵过、，
∴；解得，∴抛物线的解析式为：，
（2）过点D作DM//y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，
在中，令，得方程，
解这个方程，得，，∴，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴AC的解析式为：，
∵，
设，，，
当时，DM有最大值3，
此时四边形ABCD面积有最大值．
【教师备课提示】这道题可以讲解另外一种方法，切线法，让孩子们灵活运用．
复习巩固
模块一 二次函数的线段最值
0
已知抛物线经过点和点．
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值．
（1）依题意：，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）点关于y轴的对称点的坐标是，
点关于x轴的对称点的坐标是.
由对称性可知，
由勾股定理可求，．
所以，四边形ABCD周长的最小值是．
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，，，过点B作，交OA于点D．将绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

（1）由题意得、、.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为.
则，解得，
∴．
（2）由．
∴顶点坐标为．
过G作，垂足为H．
则，．
∵，，
∴EA//GH，
∴GH是的中位线．
∴．
过B作，垂足为M．则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上
平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点，
得点的坐标为．可求出直线的解析式为．
直线与对称轴的交点即为点Q，坐标为．
点P的坐标为．
模块二 二次函数的面积最值
0
已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为，点，点，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在x轴下方且在抛物线上有一动点F，求四边形OBFC的面积最大值．

（1）由A、B关于对称轴对称，对称轴为，点，得．
将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得，解得．
故抛物线的解析式为；
（3）如图，
过F作轴于H点，交BC于G点．
设，G点坐标为，
．
，
当时，．