初二数学.春.直升班.教师版.第6讲 四点共圆（一）

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四点共圆（一）
模块一 辅助圆思想
模块二 四点共圆的判定（一）
模块一：辅助圆思想
平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．
模块二：四点共圆的判定（一）
模块一 辅助圆思想
0
（1）如图1-1，四边形ABCD中，，若，，则_____，__________．
（2）如图1-2，已知四边形ABCD，AB//CD，，，且，求BD的值．

图1-1 图1-2
（1）以A为圆心，AB为半径作辅助圆，则C、D均在上，
∴，．
（2）以A为圆心，以a为半径作圆．则点B、C、D都在圆上，
延长BA交于E点，连接ED，
∵AB//CD，∴
∵，∴∴
在和中，
∴，∴,
∵是直径，∴，
由勾股定理得
∴
【教师备课提示】这道题主要讲解时，辅助圆思想．
（1）如图2-1，平面上有四个点A、O、B、C，其中，，，，则__________．
（2）如图2-2，在中，，，点P为外一点（P与C在直线AB异侧），且．设点P关于AB的对称点为E，连接PE、CE，试判定线段AB与CE的数量关系，并给予证明．

图2-1 图2-2
（1）2；
（2）∵点P、点E关于AB对称，
∴，
∵，，
∴A、B、E在以C为圆心的圆上，
∴，
∵，
∴，
【教师备课提示】这道题主要讲解，时，辅助圆思想．
如图，E，B，A，F四点共线，点D是等边三角形ABC的边AC的中点，点P是直线AB上异于A，B的一个动点，且满足，则（ ）
A．点P一定在射线BE上
B．点P一定在线段AB上
C．点P可以在射线AF上，也可以在线段AB上
D．点P可以在射线BE上，也可以在线段AB上

取中点及点关于的对称点，
分别以O、为圆心，OC、长度为半径作圆，
两圆与直线EF有两个交点（如图），一个是点B，另外一个是线段AB的中点，
所以满足条件的P点一定在线段AB上，应选B．
【教师备课提示】这道题主要是对辅助圆思想的练习和拔高．
模块二 四点共圆的判定（一）
0
如图，AB是的直径，CD是弦，且于K．E为劣弧AC上的一点，连接AE交DC延长线于F．求证：E、F、B、K四点共圆．

连接BE、BF，
∵AB是的直径，∴，
∵，∴，
∴E、F、B、K四点共圆．
（1）如图5-1，四边形ABCD内接于，P、Q、R分别是AB、BC、AD的中点．连接PQ与DA的延长线交于S，连接PR与CB延长线交于T．求证：S、T、Q、R四点共圆．
（2）如图5-2，中，以AB为直径作圆，交BC于H，交的平分线于D，作于K，M为BC中点．求证：D、M、K、H四点共圆．

图5-1 图5-2
（1）连接AC、BD，
∵P、Q、R都是中点，∴PQ//AC，PR//BD，
∴，，
∵，∴，
∴S、T、Q、R四点共圆．
（2）延长CK交AB于P，连接DH，
∵AD平分，，
∴，∴，
∵M是BC的中点，∴MK//AB，∴，
∵，∴，
∴D、M、K、H四点共圆．
【教师备课提示】例4和例5主要考查同侧张角相等去判断四点共圆，建议老师们讲一道练一道．
（1）如图6-1，，，且BC、DE相交于G．H为AE延长线上的一点，．求证：B、G、E、H四点共圆．
（2）如图6-2，P为内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F也四点共圆．

图6-1 图6-2
（1）∵，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴B、G、E、H四点共圆．
（2）连接PE、PF、PD，
∵A、E、P、F四点共圆，∴，
∵C、D、P、E四点共圆，∴，
∴，∴B、D、P、F四点共圆．
【教师备课提示】这道题主要考查对角互补的四边形是圆内接四边形，建议老师们讲一道练一道．
AD、BE、CF是的三条高，相交于垂心H，在A、B、C、D、E、F、H七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？
（1）A、E、H、F四点共圆，圆心是AH的中点；
（2）B、D、H、F四点共圆，圆心是BH的中点；
（3）C、D、H、E四点共圆，圆心是CH的中点；
（4）A、B、D、E四点共圆，圆心是AB的中点；
（5）B、C、E、F四点共圆，圆心是BC的中点；
（6）A、C、D、F四点共圆，圆心是AC的中点．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们综合练习，找全四点共圆．
复习巩固
模块一 辅助圆思想
0
在中，，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ．线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明.

如图，连接PC，可得，，
于是以点P为圆心，以PA长为半径作，则点A、C、Q都在上，
∴，又，∴．
平面上有四个点A、O、B、C，其中，，，则满足题意的OC长度的整数的值可以是____________．
整数值可以是2，3，4.
如图，OC长为长度的最小值，长为长度的最大值．
模块二 四点共圆的判定（一）
0
如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：
= 1 \* GB3 ①当时，M、E、N、F四点共圆．
②当时，M、E、N、F四点共圆．
③当，且时，M、E、N、F四点共圆．
其中正确的是_____________．
②③．
如图，PA、PB切于A、B两点，过P作割线交于C、D，过B作BE//CD，连接AE交PD于M，求证：A、M、O、P四点共圆．

连接OA、OM、OP，∵BE//CD，∴，
∵PA、PB都是切线，∴，
∴，∴，∴A、M、O、P四点共圆．
过两圆交点A、B之一的点A，引两条直线CAD、PAQ，分别与两圆交于C、D、P、Q，设CP与DQ的交点为R，求证：B、C、R、D四点共圆．
∵四边形ABDQ是圆内接四边形，∴．①
又∵P、C、A、B共圆，∴．②
由①、②，得，
∴．
因此四点B、D、R、C在同一圆周上．
几何条件：．
辅助圆：以O为圆心、OA为半径作圆．
∵，∴点B、C在上．
几何条件：,．
辅助圆：以O为圆心、OC为半径作圆．
∵，，∴点A、D在上．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
证明条件：线段同侧张角相等．
若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
证明条件：1．四边形对角互补；
2．四边形外角等于内对角．