初二数学.春.直升班.教师版.第8讲 托勒密定理

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托勒密定理
（托勒密定理）四边形ABCD内接于圆，求证：．
如图，在BD上取一点P，使其满足．
∵，∴，，
即 ①
又，，
∴，，． ②
= 1 \* GB3 ①+②，有．
即，故．
【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆．
（1）如图2-1，点P为等边外接圆的上一点，线段PA、PB、PC间的数量关系为____．
（2）如图2-2，AB为⊙O的直径，∠ABD=45°，点为外接圆的上一点，线段CA、CB、CD间的数量关系为____________．
（3）如图2-3，，点为外接圆的上一点，线段DA、DB、DC间的数量关系为_____________．

图2-1 图2-2 图2-3
（1）；（2）；（3）．
【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的Y字模型，建议讲2中方法．
如图，的直径AB的长为10，直线EF经过点B，且，连接AD．
（1）求证：直线EF是的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，，求CD的长．
（1）∵AB是的直径，
∴即，
∵，，
∴，即，
∴∴EF是的切线；
（2）法1：作，垂足是G，
由题，∴，
∵，∴，
∴，∴．
法2：由托勒密定理，，∴．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习哈，注意书写过程．
（1）（13年成外直升）如图4-1，内接于，；当动点P在上从点B出发，按逆时针方向向点C运动时，的值（ ）．
A．保持不变 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．无法判断
（2）（2013成都中考）如图4-2，A，B，C为上相邻的三个n等分点，，点E在弧BC上，EF为的直径，将沿EF折叠，使点A与重合，点B与重合，连接，EC，.设，，．先探究b，c，p三者的数量关系：发现当时，．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当时，__________；当时，__________．
（参考数据：，）

图4-1 图4-2
（1）A；（2）；．
【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理中考和直升考试中的应用，等腰三角形的Y字模型．
如图，过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：．
连接PQ、PR、QR．
在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得．
又∵，，∴，于是．
设上面的比值为k，并考虑到有，，，
于是可推得．
【教师备课提示】这道题主要考查托勒密定理和相似综合．
如图，圆G过坐标原点，交y轴于点A，交x轴于点B，点C为圆上一点，且OC平分交AB于点F．轴于E交AB于点H，连接EG．
（1）求证：；
（2）请探究OE、AE和EG这三条线段之间的数量关系，写出你的结论并证明．
（1）证明：∵OC平分，
∴，，
∴，∵（公共角），
∴；
（2）法1：连接CG，则，∴，
∴A、E、C、G四点共圆，由托勒密定理，又，
∴；
法2：在CE上截取，连接GC、GQ，EG．
∵，∴，∴，
∵轴，∴，∵，∴，
∴，∴，，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，又，，
∴；∴．
【教师备课提示】这道题主要考查要用托勒密定理，先证四点共圆．
复习巩固
已知AB为的直径，CD为的一条弦，顺次连接AC、CB、BD、DA．
（1）当（如图1-1）时，线段CA、CB、CD间的数量关系为_____________；
（2）当（如图1-2）时，求证：．
图1-1 图1-2
（1）；
（2）如图，过点A作，过点O作，连接OC、OD．
∵，，∴．
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴为等边三角形．∴．
∵，，∴．
在和中，，
∴．∴．∴．
∵，∴．
∴．
另解：直接用托勒密定理．
如图，A，P，B，C是上的四个点，，过点A作的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）证明：作的直径AE，连接PE，
∵AE是的直径，AD是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2），
证明：在线段PC上截取，连接BF，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
另解：直接利用托勒密定理．
点D为边BC延长线上一点，点E在边AC上，点M、N分别为线段AB、AE的中点，连接DE、DA，，．
（1）若，如图3-1，求证：；
（2）在（1）的条件下，连接BE并延长BE交线段AD于点F，连接FC，如图3-2，请你判断线段FE、FC与线段FD之间的数量关系．
图3-1 图3-2
（1）∵，，，
∴，，
在和中，，
∴，∴，
∵点M、N分别为线段AB、AE的中点，∴，∴；
（2）∵，∴，∵，
∴，∴A、B、C、F共圆，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，，
∴，∴，
∵，，∴，
∵在中，，∴，∴；
另解：直接利用托勒密定理．