初二数学.寒.直升班.教师版.第3讲 圆（一）

这是一份初二数学.寒.直升班.教师版.第3讲 圆（一），共20页。


圆（一）
模块一 圆的基本概念
模块二 垂径定理
模块三 圆周角定理
模块一 圆的基本概念
模块二 垂径定理
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．
2．垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.
模块三 圆周角定理
模块一 圆的基本概念
0
判断下列正误．
（1）半径相等的两个圆是等圆 （ ）
（2）过圆心的线段是直径 （ ）
（3）半圆所对的弦是直径 （ ）
（4）直径是圆中最大的弦 （ ）
（5）半圆是弧 （ ）
（6）长度相等的弧是等弧 （ ）
（7）两个端点能够重合的弧是等弧 （ ）
（8）圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧 （ ）
（9）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （ ）
正确的是（1）（3）（4）（5）（9）．
【教师备课提示】这道题主要考查圆的基本概念．
（1）如图2-1，AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，若，，__________．
（2）如图2-2，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为__________．

图2-1 图2-2
（1）（连结OD即可）
（2）如图，连三条半径，由已知小正方形半径为4cm，
设大正方形半径为2x，
则，
整理得，
解得，（舍去）
∴大正方形半径为8cm，则半圆的半径为．
【教师备课提示】这道题主要考查对圆的概念的理解，圆上所有点到圆心的距离都等于半径，连半径是一个很好的思路．
模块二 垂径定理
0
（1）如图3-1，CD为的直径，于E，，，则__________．
（2）如图3-2，矩形ABCD与圆心在AB上的交于点G、B、F，，，，则_________．
（3）（安徽芜湖中考）如图3-3，在内有折线OABC，其中，，，则的长为______．

图3-1 图3-2 图3-3
（1）8cm；
（2）过O点作于H．
由题意得：，，则，
∵，∴，∴．
（3）20．
【教师备课提示】这道题主要考查垂径定理的应用，作垂线，连半径是求弦长，求半径，求弦心距的常见思路．
（1）如图4-1，过内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，则OM长为_________．
（2）如图4-2，点P是半径为5的内一点，且，在过点P的所有的弦中，弦的长度为整数的条数有___________．

图4-1 图4-2
（1）cm；
（2）4条.
【教师备课提示】这道题主要考查最短弦的问题．
（1）直径为50cm的中，弦AB//弦CD，又，，则AB和CD两弦的距离为________．
（2）（郴州中考）已知在中，半径，AB、CD是两条平行弦，且，，则AC的长为_______．
（1）22cm或8cm
（2）此题要分四种情况讨论，不仅要讨论弦AB、CD在圆心的同、异侧，还要讨论A、C两点在两弦垂直平分线的同、异侧．如下图
连接半径，作出垂径，求解是不困难的．
图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中
∴AC的长为或或．
【教师备课提示】这道题主要考查平行线的问题，注意分类讨论．
如图，P为外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M，N分别是，的中点，连接MN交AB，CD与E，F．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）探究：当点P在上或内时其它条件不变，结论还成立吗?

图6-1 图6-2 图6-3
（1）连结OM，ON，分别交AB，CD于G，H.
∵M，N分别是，的中点，∴，，即.
又∵，∴，由此得，
即，∴，即为等腰三角形.
（2）依旧是等腰三角形，证明方法和（1）类似.
【教师备课提示】这道题是利用垂径定理证明等量关系,也是垂径定理经典应用之一.
模块三 圆周角定理
0
（1）已知A、B为圆周上任意两点，C是优弧上一点，请你判断与的大小关系．

根据上面的推理，可以发现_________________________________________．
（2）若点D是优弧上任意一点，试判断与的大小关系．根据上面的推理，可以发现：___________________________________．
（3）如果点D在劣弧上，此时和的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？

（1）应分为三种情况：

辅助线如图所示，证明过程不再赘述．
可以发现：在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半．
（2）由（1）可知，，可以发现：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
（3）如图，与互补．可以得到：圆内接四边形的对角互补．
【教师备课提示】这道题主要是用于各位老师讲解圆周角定理的证明时候用的一道题，不用自己画图了．
（1）一条弦分圆为两部分，则这条弦所对圆周角的度数为__________．
（2）如图8-1，A、B、C、D是上的点，直径AB交CD于点E，已知，，则________．
（3）如图8-2，AB为的弦，的两边BC、AC分别交于D、E两点，，，则________．
（4）如图8-3，内接于，AB是直径，，，CD平分，则弦BD的长为________．

图8-1 图8-2 图8-3
（1）或；（2）；（3）；（4）．
【教师备课提示】圆周角定理是圆中倒角的一个基础工具，需要注意灵活应用,这道题主要是用于大家练习圆周角定理．
如图，是的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设，．猜想与之间的关系，并给予证明．
与之间的关系是．
证一：连接OB，则．．
∴．
∴．
∴．
证二：连接OB，则．
∴．
过O作于点D，则OD平分．
∴．
在中，，∴
证三：延长AO交于E，连接BE，则．
∵AE是的直径，∴．
∴，∴．
【教师备课提示】例8和例9主要练习下孩子们的圆周角定理的倒角能力．
模块一 圆的基本概念
复习巩固
如图，CD是的直径，，AE交于B，且，求的度数．

连结OB，∵，，∴，
设，则.∴.
∵，∴.
∴，∴，即.
（1）如图2-1，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设，，，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
（2）（河南中考）如图2-2，在半径为，圆心角等于的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留）__________．

图2-1 图2-2
（1）选B（连接OM、OA、OD即可）；
（2）（连接OF即可）．
模块二 垂径定理
（1）如图3-1，是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为___________米．
（2）如图3-2，已知C是弧AB的中点，半径OC与弦AB相交于点D，如果，，那么__________．
（3）（安徽中考）如图3-3，过点．圆心在等腰直角的内部，，，，则的半径为_____________．

图3-1 图3-2 图3-3
（1）0.4；（2）；（3）．
（1）过内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于_________．
（2）已知的直径是10cm，的两条平行弦，，则弦AB与CD间的距离为_________．
（1）；
（2） = 1 \* GB3 ①AB，CD在圆心O的同侧，当AB，CD在圆心O的同侧时，作于F，交CD于E如右图所示．
∵，∴，由垂径定理知：，．连结OA与OC，．
∴，，∴AB与CD之间的距离；
= 2 \* GB3 ②AB，CD在圆心O的两侧如右图所示，AB与CD之间的距离．综上所述，距离为7cm或1cm．
（湖北中考）如图，AB是的直径，且，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为，，则等于________．
解法一：设AB、MN相交于P，
过O点作于H，连接NO．
由垂径定理，，∴，
∵，，，∴，
∴，，即，，∴，
当P点在O点左侧时，，
当P点在O点右侧时，，
∴．
解法二：极端假设法
（1）当N点运动到与A点重合时，，，
此时是直角三角形，，∴．
（2）当MN与AB垂直时，，，
∵，由垂径定理知，∴，
∴，，∴．
解法三：连接EO并延长交BF于G，
易证，∴，∴，
由解法一可知，∴，
当MN在圆心O的另外一侧时，，
∴．
解法四：连接BE，作于H，延长HO交BE于I，
易得I是BE的中点，则，，
∴，
∴．
解法五：延长BF交于G，连接AG，作于H交AG于J，
易证，，
∴，
∴．

如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是的中点，于N，试判断MN与AC的数量关系并证明．
．
解法一：连结OM，交AC于D，∵M是的中点，∴，
即，，
∵，，∴，
∴，∴．
解法二：补全圆，延长MN交于E，
由垂径定理可知，，即，
∴，又∵M是的中点，
∴，∴，∴，∴．
模块三 圆周角定理
（1）（四川成都中考）如图7-1，内接于，，，AD为的直径，，那么_________．
（2）（四川南充中考）如图7-2，AB是的直径，点C、D在上，，，则（ ）．
A． B． C． D．
（3）（山东泰安中考）如图7-3，的半径为1，AB是的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为__________．

图7-1 图7-2 图7-3
（1）；（2）D；（3）或．
定 义
示例剖析
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
由圆的定义可知：
（1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
（2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
表示为“”
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
能够重合的两个圆叫做等圆．

弦和弧：
1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
表示：劣弧
优弧或
圆心角和圆周角：
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
扇形和弓形
1．一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，．
2．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

定理
示例
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半．
如图，．
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）．
如图，是半圆（AB是直径），则
推论2：圆内接四边形的对角互补．
如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即．