初中数学冀教版九年级下册30.1 二次函数一等奖教学设计

这是一份初中数学冀教版九年级下册30.1 二次函数一等奖教学设计，共227页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，基础巩固，能力提升，拓展探究，答案与解析，学生活动等内容，欢迎下载使用。

第三十章　二次函数



1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.
2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.
3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.
4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.

1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知识与技能.
3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.
5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.

二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.

【重点】
了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.

1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力.
2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.
3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识.
4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.

30.1二次函数
1课时
30.2二次函数的图像和性质
3课时
30.3由不共线三点的坐标确定二次函数
1课时
30.4二次函数的应用
3课时
30.5二次函数与一元二次方程的关系
1课时
回顾与反思
1课时


30.1　二次函数





1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.
2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.

1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.
2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.
2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.
3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

【重点】
理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.
【难点】
经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P26~27.



导入一:
出示投篮图片:

【导入语】　如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.
[设计意图]　通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.
导入二:
思考:
1.什么是一次函数、反比例函数?
2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?y是x的函数吗?这个函数是我们前面学习过的函数吗?
3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?
[设计意图]　通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.

　　[过渡语]　我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.
一起探究
(课件展示)
1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.

思路一
教师引导学生思考并回答:
(1)设灰色瓷砖的总数为y块.
①用含n的代数式表示y,则y=　　　　. 
②y与n具有怎样的函数关系?
(2)设白色瓷砖的总数为z块.
①用含n的代数式表示z,则z=　　　　. 
②z是n的函数吗?说说理由.
【师生活动】　学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.
(板书)
(1)y=4n+6,一次函数.
(2)z=n2+n-6,z是n的函数.
思路二
思考:
(1)在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?
(2)设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?
(3)你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?
(4)y与n、z与n之间是函数关系吗?如果是,是什么函数关系?如果不是,请说明理由.
【师生活动】　学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.
(板书)
(3)y=4n+6,一次函数.
(4)z=n2+n-6,z是n的函数.
(课件展示)
2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.
思路一
教师引导分析:
(1)设第二季度的产值为y万元,则y=　　　　.设第三季度的产值为z万元,则z=　　　　. 
(2)y,z都是x的函数吗?它们的表达式有什么不同?
【师生活动】　学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
思路二
思考:
(1)设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?
(2)y,z都分别是x的函数吗?
【师生活动】　学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.
(板书)
(1)y=80x+80,一次函数.
(2)z=80x2+160x+80,z是x的函数.
[设计意图]　通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
形成概念
观察下面两个函数:
z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,
思考:
(1)这两个函数与我们学过的函数有什么不同?
(2)这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?
(3)你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?
(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
【师生活动】　学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.
(课件展示)
一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
思考:
(1)二次项系数能不能为0?一次项系数和常数项呢?为什么?
(2)如何判断一个函数是不是二次函数?
(3)二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?
(4)函数y=x2+2x+,y=-x2+x+5,y=3x2,y=-x2+6是不是二次函数?
【师生活动】　 学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:
(课件展示)
(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
[设计意图]　通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.
大家谈谈
(课件展示)
1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.
[设计意图]　通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.
例题讲解
　　[过渡语]　我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题..
(课件展示)
例1　(补充)若y=(m+1)是二次函数,则m的值为　　　　. 
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.
解:∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.
【易错点】　常忽略二次项系数不为0.
做一做
新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.

(1)请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.
(2)若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?
教师引导分析:
全班共有　　　　人,每个人要与　　　　人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手　　　　次,则y与m的函数关系式为　　　　. 
【师生活动】　学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.
[设计意图]　通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.
[知识拓展]　1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:
(1)正确辨别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.
2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.
3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式.
4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.
5.在y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数.
6.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.

1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数满足的条件:(1)函数表达式的右边是整式形式;(2)自变量的最高指数是2;(3)二次项系数不为0.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.
4.根据实际问题写出函数表达式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.

1.下列各式中,y是x的二次函数的是 (　　)
　　A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+2 D.y=ax(a≠0)
解析:选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 (　　)
A.1,-3,5 B.1,3,5
C.5,3,1 D.5,-3,1
解析:二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.
3.若y=(m+2) 是二次函数,则m的值为　　　　. 
解析:根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.
4.若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为　　　　. 
解析:把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.
5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y(台)与x的函数关系式.
解:(1)S=6a2,二次函数.
(2)y=π=,二次函数.
(3)y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.
(4)y=30(1+x%)2,二次函数.

30.1　二次函数
一起探究
形成概念
大家谈谈
例题讲解
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第27页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第28页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数是二次函数的是 (　　)
A.y=2x2+9 B.y=mx2+2x-1
C.y=2x2++1 D.y=
2.若y=(m2+m)-1是关于x的二次函数,则 (　　)
A.m=-1或m=3 B.m≠-1且m≠0
C.m=-1 D.m=3
3.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为 (　　)
A.1 B.-2 C.7 D.-6
4.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为 (　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.
5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　. 
6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是　　　　. 
7.菱形的两条对角线长度的和为26 cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为　　　　. 
8.若 y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,求m的值.
9.在如图所示的一张长、宽分别为 50 cm 和 30 cm 的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为 x cm,长方体铁皮箱的底面积为 y cm2.

(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式;
(2) 写出自变量 x 的取值范围;
(3)当 x=5 cm时,求铁皮箱的底面积.
【能力提升】
10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是 (　　)
A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D.圆的周长与半径之间的关系
11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现: 这种商品的销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?
【拓展探究】
12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面, 请观察下列图形并解答有关问题:

(1)在第n个图形中,每一横行共有　　　　块瓷砖,每一竖列共有　　　　块瓷砖(均用含n的代数式表示); 
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中 的n的函数关系式;
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.
【答案与解析】
1.A(解析:B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选A.)
2.D(解析:由题意,得m2-2m-1=2且m2+m≠0,解得m=3.故选D.)
3.B(解析:∵二次项系数为2,常数项为-4,∴2+(-4)=-2.故选B.)
4.C(解析:由题意有4x2+1=5,解得x=±1.故选C.)
5.2　-2　0(解析:化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.)
6.a≠1(解析:因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.)
7.S=-x2+13x(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.)
8.解:∵ y=(m+1)-2x+3 是y关于x的二次函数,∴m+1≠0且m2+1=2,∴m=1.
9.解:(1)根据题意,有y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500.　(2)根据实际意义2x<30,即x<15.又x>0,所以自变量的取值范围是0 10.C(解析:设矩形周长为a,其中一边长为x,则另一边长为-x,则面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选C.)
11.解:由题意可知,该商品每件的利润为(x-30)元.则依题意,得 y=(162-3x )(x-30),即y=-3x2+252x-4860 ,由此可知y是x的二次函数.
12.解:(1)(n+3)　(n+2)　(2)由题意有,y=(n+3)(n+2),整理得y=n2+5n+6.　(3)由题意,得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,∴n的值为20.


本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景——建立数学模型——归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.

本节课经历从实际问题中建立函数模型,形成二次函数的概念,由于前面的学习经历了一次函数、反比例函数概念的形成过程,误认为学生类比前面的探究思路,通过自主学习会掌握二次函数的有关概念,所以在一起探究二次函数的知识形成时,过于急躁,造成概念中的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏了学习数学知识的严谨性.所以课堂上要重视探究知识的过程,淡化某个问题的结论.

二次函数是一种常见的函数,许多实际问题往往可以建立二次函数的模型加以研究. 在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程,让学生在探究过程中亲自去“做”,在“做”中感悟这类函数的特征,从而掌握二次函数的概念.在探究过程中给学生交流的时间和空间,培养学生与他人合作的精神,提高分析问题、解决问题的能力.例题的讲解教师要放手让学生思考、交流、展示,让学生成为课堂的主人.

练习(教材第27页)
1.解:(1)a=-5,b=3,c=1.　(2)因为y=(x+1)2-1=x2+2x,所以a=1,b=2,c=0.　(3)a=-1,b=0,c=6.
2.解:y=x(x-2)=x2-2x,y是x的二次函数,且a=1,b=-2,c=0.
习题(教材第27页)
A组
1.解:(1)(2)(5)(6)是二次函数.
2.解:y=x2,y是x的二次函数.
3.y=120(1-x)2=120x2-240x+120.
B组
1.解:如下表所示:
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2+2x+3
18
11
6
3
2
3
6
11
18
y=-2x2
-4x+9
-21
-7
3
9
11
9
3
-7
-21
2.解:当x=4或x=-6时,y的值是27.


建立数学模型,类比归纳概念
二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的、重要的函数,不仅和学生以前学过的一元二次方程有着密切的联系,而且对培养学生理解“数形结合”的数学思想具有重要作用.而二次函数的概念是以后学习二次函数的基础,在整个教材体系中起着承上启下的作用.本节课要学习的内容是二次函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成二次函数的初步认识,本节课的重点是经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.对于九年级的学生来说,前边已经学习了一次函数和反比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,所以引导学生用类比的方法探究二次函数的有关概念.本节课依据教材实例引导学生分析、思考,通过自主探索与合作交流,得到相关的函数表达式,分析所得到的关系式存在的共同特点,由学生归纳,得到二次函数的概念和一般形式,这样很自然地突破了本节课的难点,学生经历知识的形成过程,培养创新意识和实践能力,提高数学的应用意识.

　已知y=(m2+m)+2x-1.
(1)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数?
(2)当m为何值时,y=(m2+m)+2x-1是一次函数?
解:(1)由m2+m≠0,得m≠0且m≠-1.
由m2-2m-1=2,得m=3或m=-1.
所以当m=3时,y=(m2+m)+2x-1是二次函数.
(2)由m2+m=0,得m=0或m=-1.
由m2-2m-1=1且m2+m≠-2,得m=1±.
由m2-2m-1=0,得m=1±.
所以m=0,-1,1±,1±时,y=(m2+m)·+2x-1是一次函数.

30.2　二次函数的图像和性质





1.知道二次函数的图像是一条抛物线,会用描点法画二次函数的图像.
2.能根据二次函数的图像理解和掌握二次函数的性质.
3.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
4.能应用二次函数的图像和性质解决有关问题.

1.通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法,经历体验二次函数性质的探究过程,渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法.
2.通过二次函数的图像探究二次函数的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.经历探究抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的图像的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.
4.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,进一步感悟函数思想,增强对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
5.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

1.通过观察二次函数的图像,归纳其性质,培养学生观察、分析、抽象、概括的能力.
2.经历观察、推理、交流等过程,获得研间究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
3.通过学生的合作交流探究二次函数的图像和性质的过程,提高学生的合作意识,感受与领悟数学发现的成功感.
4.通过动手画图,观察不同函数图像的区别和联系,感受这些图像如何互相转化,提高学习数学的兴趣.
5.通过探究二次函数的性质及应用,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.

【重点】
用描点法画二次函数的图像;探究二次函数图像的特点和性质;二次函数图像之间的平移;应用二次函数的图像和性质解决有关问题.
【难点】
探究二次函数图像的特点和性质的过程;二次函数图像之间的平移;应用二次函数的图像和性质解决有关问题.
第课时



1.会用描点法画出函数y=ax2的图像,知道二次函数的图像是一条抛物线.
2.能根据二次函数y=ax2的图像理解和掌握二次函数y=ax2的性质.

1.经历探索和发现二次函数y=ax2的图像的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.经历探究二次函数y=ax2的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的解决问题的方式,进一步感悟函数思想.
3.通过函数y=ax2的图像探究函数y=ax2的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

1.通过观察二次函数y=ax2的图像,归纳其性质,培养学生观察、分析、抽象、概括的能力.
2.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法和经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
3.在数学学习过程中,感受解决数学问题的成功感,激发学习的乐趣.

【重点】
用描点法画二次函数y=ax2的图像;探索二次函数y=ax2的图像的特点和性质.
【难点】
探究二次函数的图像的特点和性质的过程.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　三个平面直角坐标系、预习教材P29~31.


导入一:
(欣赏图片)

【导入语】　图中的拱桥是什么曲线?投出的篮球在空中划过的路线是什么形状?这些曲线有什么特点?通过本节课的学习,大家一定会解决这些问题.
[设计意图]　以石拱桥的图片导入新课,让学生感受数学与生活息息相关,激发学生学习本节课的兴趣.
导入二:
复习提问:
1.一次函数、反比例函数的图像分别是什么形状?
(一条直线、双曲线.)
2.画函数图像的基本步骤是什么?
(列表、描点、连线.)
3.探究一次函数、反比例函数的性质的基本思路是怎样的?
(先画出一次函数的图像,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.)
4.类比探究一次函数、反比例函数性质的思路来研究二次函数的性质,所以我们应该先探究什么内容?
(先画出二次函数的图像.)
[设计意图]　通过复习探究一次函数、反比例函数的基本思路,启发学生用类比的思想探究新知识,降低本节课的学习难度.

　　[过渡语]　像研究一次函数和反比例函数的性质那样,我们应该先画二次函数的图像,再借助此图像来探究二次函数的性质.
一起探究
思路一
已知二次函数y=x2,我们可按下列步骤画出它的图像.
(课件展示)
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
　　(2)描点:如图(1)所示,在直角坐标系中描出相应的点.

(3)连线:如图(2)所示,用平滑曲线顺次连接各点,得到二次函数y=x2的图像.
【师生活动】　教师放课件的同时帮助学生回忆画函数图像时的注意事项,学生观察画y=x2的图像的过程.
思路二
动手操作:
在准备的平面直角坐标系中,画出函数y=x2的图像.
(课件展示)
思考:
(1)自变量x的取值范围是什么?
(2)若选7个点画图,你准备怎样选?
【师生活动】　学生思考回答问题后,独立完成画图,小组内交流答案,教师在巡视过程中及时发现学生画图时出现的错误,并及时帮助学生改正,归纳总结学生画图过程中的常见错误.
(课件展示)
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
　　(2)描点:在直角坐标系中描出相应的点.

(3)连线:用平滑曲线顺次连接各点,得到二次函数y=x2的图像.
[设计意图]　通过课件演示或动手操作画函数图像的过程,掌握画二次函数图像时选点的技巧,进一步了解用描点的方法画图像的基本步骤,为后面画其他函数的图像奠定基础.
观察与思考
(课件展示)
观察二次函数y=x2的图像,回答下列问题:
(1)若将y=x2的图像沿着y轴对折,y轴两侧的部分能够完全重合吗?y=x2的图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(2)y=x2的图像有最低点吗?如果有,那么最低点的坐标是什么?
【师生活动】　先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考问题,交流中教师及时帮助有困难的学生.
做一做
1.在如图(1)所示的直角坐标系中,已画出了y=x2的图像,请再画出函数y=-x2的图像.

　　　　　 (1)　　　　　　　　　(2)
2.在如图(2)所示的直角坐标系中,已画出了y=2x2的图像,请再画出函数y=-2x2的图像.
【师生活动】　学生先独立完成,然后小组内交流答案,教师在巡视中及时发现并纠正学生出现的错误,并课件展示画图结果.
[设计意图]　通过独立完成画图,进一步熟悉描点法画函数图像的一般步骤,在同一坐标系下画出两个函数的图像,为探究二次函数y=ax2的性质做好铺垫.
大家谈谈
思路一
思考:
对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,类比探究一次函数、反比例函数的性质的方法,你能得到二次函数的哪些性质?
【师生活动】　学生小组内合作交流,共同归纳有关性质,小组代表展示,教师鼓励学生发表自己的意见,并归纳有关概念和性质.
(课件展示)
二次函数y=ax2的图像是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线,曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴,抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
二次函数y=ax2的图像和性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的变
化情况
最大(或
最小)值
y=ax2
(a>0)
向上
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0
y=ax2
(a<0)
向下
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0
　　思路二
对比函数y=x2与y=-x2,y=2x2与y=-2x2的图像,就二次函数y=ax2回答以下问题:
(1)你能描述图像的形状吗?
(2)图像与x轴有公共点吗?如果有公共点,公共点的坐标是什么?
(3)图像是不是轴对称图形?如果是,那么它的对称轴是哪条直线?
(4)图像的开口方向和它的最高(或最低)点与a的符号具有怎样的关系?
(5)根据图像,说明y的值随x的值增大而变化的情况.
【师生活动】　先由学生独立思考,再小组内交流,教师提示学生可以通过表格和图像两个方面思考解决问题,交流中教师及时帮助有困难的学生,小组代表展示后,教师归纳有关概念及性质.
(课件展示)
同思路一.
注意
为方便起见,我们把y轴记为直线x=0,把过点(a,0)且垂直于x轴的直线记为直线x=a;把x轴记为直线y=0,把过点(0,b)且垂直于y轴的直线记为直线y=b.二次函数y=ax2也称为抛物线y=ax2.
[设计意图]　将探究函数的性质设计成开放性探究(思路一)或问题串的形式(思路二),使学生体会从特殊到一般的研究方法,领悟数形结合思想在探究函数图像中的应用,培养学生归纳总结能力,提高分析问题的能力.
[知识拓展]　1.画函数图像时,一般情况是选点越多,图像越精确,但也要具体问题具体分析.
2.抛物线是向两方无限延伸的.
3.由于二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,故也称抛物线y=ax2.
4.抛物线y=ax2中隐含着一个重要的条件,即a≠0,如抛物线y=(m-1)x2中m≠1.
5.抛物线y=ax2中的系数a决定抛物线的开口方向和大小,当|a|越大时,抛物线的开口越小;当|a|越小时,抛物线的开口越大.

二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,它的性质可以从开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值、增减性等方面进行分类总结(如下表).
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大
(最小)值
y=ax2
(a>0)
向上
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
有最低点(0,0).当x=0时,y最小=0
y=ax2
(a<0)
向下
y轴
原点
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
有最高点(0,0).当x=0时,y最大=0

1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是 (　　)
　　A.开口向下 B.对称轴是y轴
C.都有最高点 D.y随x的增大而增大
解析:y=2x2,y=x2的图像开口向上,对称轴是y轴,有最低点,当x>0时,y随x的增大而增大;y=-2x2的图像开口向下,对称轴是y轴,有最高点,当x<0时,y随x的增大而增大.所以三条抛物线共有的性质是对称轴是y轴.故选B.
2.函数y=-6x2图像的顶点坐标是　　　　,对称轴是　　　　,开口向　　　　,当x=　　　　时,有最　　　　值,是　　　　. 
解析:根据抛物线y=ax2的性质可得顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下,当x=0时,有最大值,是0.
答案:(0,0)　y轴　下　0　大　0
3.二次函数y=(m-3)x2的图像开口向下,则m的取值范围是　　　　. 
解析:根据抛物线y=ax2中,当a<0时二次函数的图像开口向下,得m-3<0,即m<3.故填m<3.
4.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2和y=-2x2的图像,并根据图像说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:先列表:
x
…
-1.5
-1
0
1
1.5
…
y=x2
…
1.125
0.5
0
0.5
1.125
…
y=-2x2
…
-4.5
-2
0
-2
-4.5
…
　　然后描点、画图,得函数y=x2和y=-2x2的图像,如图所示.

抛物线y=x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);抛物线y=-2x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0).

第1课时
一起探究
观察与思考
做一做
大家谈谈

一、教材作业
【必做题】
教材第31页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第31页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各点中,二次函数y=3x2的图像一定经过的是 (　　)
A.(1,2) B.(1,1) C.(1,3) D.(1,0)
2.下列说法中错误的是 (　　)
A.在函数y=-x2中,当x=0时y有最大值0
B.在函数y=2x2中,当x>0时y随x的增大而增大
C.抛物线y=2x2,y=-x2,y=-x2中,抛物线y=2x2的开口最小,抛物线y=-x2的开口最大
D.不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
3.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图像可能是 (　　)

A

B


C

D

4.已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图像上,则 (　　)
A.y1 C.y3 5.一般地,二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条　　　　,对称轴是　　　　,它的顶点坐标是　　　　.开口方向由a的符号决定:当a>0时,开口向　　　　;当a<0时,开口向　　　　.开口大小是由a的绝对值决定的:a的绝对值越大,抛物线的开口越　　　　;a的绝对值越小,抛物线的开口越　　　　. 
6.已知二次函数y=(k-1)的图像开口向上,则k=　　　　. 
7.函数y=-x2,对于一切x的值,总有函数y　　　　0;当x　　　　时,y有最　　　　值,是　　　　. 
8.二次函数y=(k+1)x2的图像如图所示,则k的取值范围是　　　　. 

(第8题图)

(第9题图)

9.在如图所示的网格内建立恰当的直角坐标系后,画出函数y=2x2和y=-x2的图像,并根据图像回答下列问题(设小方格的边长为1):
(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)抛物线y=2x2,当x　　　　时,抛物线上的点都在x轴的上方,它的顶点是图像的最　　　　点. 
【能力提升】
10.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图像大致是 (　　)

A

B

C

D

11.已知函数y=(m+2)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m取什么值时,此函数图像的顶点为最低点?
(3)当m取什么值时,此函数图像的顶点为最高点?
12.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;
(3)求出抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
【拓展探究】
13.抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于点A(1,b).
(1)求a,b的值;
(2)求抛物线y=ax2与直线y=-2的两个交点B,C的坐标(B点在C点右侧);
(3)求△OBC的面积.
【答案与解析】
1.C(解析:把各点的坐标分别代入函数表达式,得点(1,3)满足函数表达式.故选C.)
2.C(解析:二次函数y=ax2中,|a|越大,开口越小,所以抛物线y=2x2,y=-x2,y=-x2中,抛物线y=-x2的开口最大,所以C错误.)
3.C(解析:根据一次函数、二次函数的图像和性质可得,选项B和D中a的符号不同,所以B,D错误;直线和抛物线的交点为2个,所以C正确.)
4.C(解析:当a<-1时,有a-1y2>y3.故选C.)
5.抛物线　y轴　(0,0)　上　下　小　大
6.3(解析:由k2-3k+2=2且k-1>0,解得k=3.故填3.)
7.≤　=0　大　0(解析:根据二次函数y=ax2的图像和性质,得抛物线y=-x2的开口向下,所以总有y≤0,当x=0时,y有最大值,是0.)
8.k>-1(解析:观察函数图像,得k+1>0,解得k>-1.)
9.解:图略.(1)根据二次函数的图像和性质可得:抛物线y=2x2的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标
为(0,0);y=-x2的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,0).　(2)≠0　低
10.D(解析:因为ab>0,所以a,b同号,根据一次函数的图像和性质,知D正确.)
11.解:(1)根据二次函数的定义知m2+2m-6=2,且m+2≠0, 解得m=2或m=-4.　 (2)当m=2时,抛物线的开口向上,有最小值,此时函数图像的顶点为最低点.　 (3)当m=-4时,抛物线的开口向下,有最大值,此时函数图像的顶点为最高点.
12.解:(1)∵抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),∴4a=-8,解得a=-2.∴这个抛物线的表达式为y=-2x2.　(2)当x=-1时,y=-2, ∴点B(-1,-4)不在此抛物线上.　(3)当y=-6时,即-2x2=-6,解得x=±.∴抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为(,-6)和(-,-6).
13.解:(1)∵点A是抛物线y=ax2与直线y=2x-3的交点,∴把点A(1,b)的坐标代入y=2x-3,得b=-1,∴点A的坐标为(1,-1).把(1,-1)代入y=ax2,得a=-1.∴a=-1,b=-1.　(2)把y=-2代入y=-x2,解得x=±,∴点B,C的坐标分别为(,-2),(-,-2).　(3)由(2)得BC=2,△OBC的边BC上的高为2,∴S△OBC=×2×2=2.


本节课的重点是二次函数y=ax2的图像和性质,首先复习用描点法画函数图像,激活学生原有的知识体系,然后通过所画的几个函数图像,让学生从“形”直观观察函数图像,最终从“数”归纳y=ax2的图像和性质.在经历知识产生、形成的过程中,体会类比、数形结合、分类讨论的思想,体验观察、感受、讨论、探究、总结的学习方法,实现学生自己动手、主动探索、合作交流的学习方式,提升自己观察问题、分析问题、解决问题的能力.在课堂上学生思维活跃,发言积极,真正成为课堂的主人.

本节课的重点是学生经历观察、操作、再观察、归纳等数学活动,归纳总结二次函数y=ax2的性质. 观察函数图像讨论性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图像之间的比较,表达式之间的比较,建立函数图像和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解.在本节课的小组活动中,给学生交流的时间较短,教师放不开手脚,总想替学生说出答案.

本节课探究二次函数y=ax2的图像和性质,让学生先画函数y=x2的图像,再观察图像的基本特征,加深对二次函数图像的认识,然后让学生用描点的方法画出其他二次函数的图像.学生通过动手操作、观察、分析、交流、总结出y=ax2 的性质,使学生经历从特殊到一般的过程,体验知识的产生、形成过程,逐步达到培养学生的抽象概括能力和激发求知欲望,同时体会类比、数形结合及分类讨论的思想.

练习(教材第31页)
1.解:二次函数y=-9x2的图像开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),最高点为(0,0).
2.解:抛物线y=-x2的开口向下,对称轴为y
轴,顶点坐标为(0,0).其图像如图所示.

习题(教材第31页)
A组
1.解:如下表所示:
表达式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=6x2
向上
直线x=0
(0,0)
y=-4x2
向下
直线x=0
(0,0)
y=x2
向上
直线x=0
(0,0)
y=-x2
向下
直线x=0
(0,0)
2.解:如下表所示:
表达式
开口
方向
对称
轴　
顶点
坐标
y随x的变化情况
y=3x2
向上
直线
x=0
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大
y=-3x2
向下
直线
x=0
(0,0)
当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小

　　图像如图所示.

B组
1.解:两条抛物线的开口都向上,抛物线y=x2的开口大于抛物线y=2x2的开口;两个函数中,y随x变化而变化的情况相同,但函数y=x2的变化速度小于函数y=2x2的变化速度.
2.解:因为点M(2,5)在第一象限,所以该抛物线的开口向上,因为点M(2,5)在抛物线上,所以5=a·22,解得a=.


重视过程教学,注重数学思想的渗透
y=ax2(a≠0)是二次函数中最简单的函数表达式,它是探索二次函数一般式的基础,为下一个课时做准备.本节课经历观察、操作、分析、交流、归纳等数学活动,探究二次函数的图像和性质,感受从特殊到一般的数学探究方法,体会数形结合思想、分类思想在数学探究活动中的应用,进一步感悟函数思想,让学生在教学活动中亲身经历知识的形成过程,逐步达到培养学生的抽象概括能力和激发求知欲望,让学生在轻松愉悦中突破难点,强化重点.
本节课在教学设计上要注重让学生动手、动脑,学生先观察图像,感受二次函数图像的基本特征,然后尝试画出函数图像,在经历中逐步完善描点法画函数图像的步骤,为探究二次函数一般式的图像做好铺垫.教师通过引导学生观察所画出的不同的函数图像,以小组合作交流的方式,给学生足够的时间和空间思考、交流,鼓励学生用自己的语言描述观察到的函数图像的性质,增强学生在活动过程中的参与意识,提高表达能力,最大限度地突出学生的主体地位,使数学教学成为一种“过程”教学,让学生在“数学活动”中获得数学的“思想、方法”,同时培养对数学的情感.

　如图(1)所示,有一城门洞呈抛物线形,拱高4 m(最高点到地面的距离),把它放在平面直角坐标系中,其表达式为y=-x2.
(1)求城门洞最宽处AB的长度;
(2)现在有一辆高2.6 m,宽2.2 m的小型货车,则它能否安全通过此城门?

(1)

(2)

解:(1)∵点O到AB的距离为4 m,
∴A,B两点的纵坐标都为-4.
∴-4=-x2,解得x=±2.
∴A(-2,-4),B(2,-4).
∴AB=4.
即城门洞最宽处AB的长为4 m.
(2)如图(2)所示,当小型货车行驶到城门洞正中时,用矩形CDEF表示小型货车的横截面,则E,F到AB的距离均为2.6 m,F点的横坐标为1.1,设CF的延长线交抛物线于G, G点的横坐标为1.1,纵坐标为-1.12=-1.21,G到AB的距离为4-|-1.21|=2.79>2.6,所以小型货车能安全通过此城门.
第课时



1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像,了解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质.
2.了解抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同抛物线y=ax2的位置关系.
3.建立二次函数表达式与图像之间的关系.

1.通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法,经历二次函数性质的探究过程,渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法.
2.经历探究抛物线y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的图像的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.
3.通过函数图像探究函数的性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题的方法与合作交流的经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过学生的合作交流探究二次函数图像和性质的过程,提高学生的合作交流能力.
3.通过动手画图,观察不同函数图像的区别和联系,感受这些图像间可以互相转化,提高学习数学的兴趣.

【重点】
二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像与性质、二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k同y=ax2的位置关系.
【难点】
理解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的图像与二次函数y=ax2的图像之间的平移关系.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P32~34.


导入一:
(课件展示)

要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处与池中心的水平距离为3 m,水管应多长?
【导入语】　要解决这个实际问题,我们的知识储备还不够,通过这节课的学习,我们将能解决这类和实际问题有关的抛物线形问题.
[设计意图]　通过实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生的学习兴趣.
导入二:
复习提问:
1.二次函数y=ax2的图像与性质是什么?
2.抛物线y=-x2的开口向　　　　,顶点坐标为　　　 ,顶点是抛物线的最　　　 点,当x=　　　　时,函数有最　　　　值. 
3.抛物线y=x2的开口向　　　　,顶点坐标为　　　　,对称轴为　　　　,当x=-2时,y=　　　　,当y=3时,x=　　　　,当x<0时,y随x的增大而　　　　,当x>0时,y随x的增大而　　　　. 
4.探究二次函数y=ax2的图像和性质的基本思路是什么?
【师生活动】　学生思考回答问题,教师点评.
[设计意图]　通过复习上节课知识,为用类比法探究新知识做好铺垫.

　　[过渡语]　上节课我们通过画形如y=ax2的函数图像,观察、归纳出形如y=ax2的函数的性质,这节课我们用同样的方法探究形如y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的二次函数的图像和性质.
观察与思考
(课件展示)
小颖在同一个直角坐标系中,对二次函数y=x2,y=(x-3)2和y=(x+2)2采用如下列表、描点、连线的方式,画出了它们的图像.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
0
1
2
3
4
5
6
…
y=
(x-3)2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
…
y=
(x+2)2
…
9
4
1
0
1
4
9
…

思考:
1.将下表补充完整:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2



y=(x-3)2



y=(x+2)2



　　【师生活动】　学生观察图像填写表格,教师对学生的回答点评.
2.从形状上看,二次函数y=(x-3)2,y=(x+2)2的图像与二次函数y=x2的图像的形状和位置有什么关系?
(形状相同,位置不同.)
3.y=(x-3)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
(沿x轴向右平移3个单位长度得到.)
4.y=(x+2)2的图像可以由y=x2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
(沿x轴向左平移2个单位长度得到.)
5.以上三个函数写成y=a(x-h)2的形式,你能类比函数y=ax2的性质归纳这类函数的性质吗?
6.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像沿什么方向平移多少个单位长度得到?
【师生活动】　学生先思考,然后小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示成果,学生之间互相补充,教师点评,师生共同归纳二次函数y=a(x-h)2的性质及由y=ax2的图像作怎样的平移得到.
(课件展示)
1.一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的变
化情况
最值
y=a(x-h)2
(a>0)
向上
x=h
(h,0)
当xh时,y随x的增大而增大
有最低点(h,0).当x=h时,y最小=0
y=a(x-h)2
(a<0)
向下
x=h
(h,0)
当xh时,y随x的增大而减小
有最高点(h,0).当x=h时,y最大=0
　　2.二次函数y=a(x-h)2的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.
[设计意图]　通过观察、思考,用类比的方法得到函数y=a(x-h)2 的性质,降低了学习新知识的难度,学生从中体验了成功的快乐,激发了学生学习数学的兴趣,并且培养了学生的归纳总结能力.
做一做
由函数y=-2x2的图像,分别经过怎样的平移可以得到下列函数的图像?
(1)y=-2(x+1)2;(2)y=-2(x-4)2;(3)y=-2.
【师生活动】　学生思考后,回答问题,教师点评.
一起探究
　　[过渡语]　我们通过画函数图像,探究了函数y=ax2与y=a(x-h)2的性质,让我们用同样的方法一起探究函数y=a(x-h)2+k的图像和性质.
(课件展示)
在如图所示的直角坐标系中,已经画出了二次函数y=(x-3)2的图像.

思路一
动手操作:
(1)请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像.
(2)请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标.
(3)类比前边探究函数图像的方法,函数y=a(x-h)2+k有哪些性质?
(4)试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到?
(5)归纳函数y=a(x-h)2+k的图像可以由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到?
【师生活动】　学生独立完成画图,思考问题后,给出足够的小组内交流时间,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示作出点评,课件展示师生共同归纳的结论.
思路二
动手操作:
(课件展示)
1.请你在该坐标系中再画出二次函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像.
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,教师课件展示正确答案.
(课件展示)
2.试着说明函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像可以分别由函数y=x2的图像经过怎样的平移得到.
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表发言,教师点评.
3.请写出函数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3的图像的对称轴与顶点坐标.
【师生活动】　学生观察图像后抢答,教师点评.
(课件展示)
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=a(x-h)2
+k(a>0)
向上
x=h
(h,k)
当xh时,y随x的增大而增大
有最低点(h,k).当x=h时,y最小=k
y=a(x-h)2
+k(a<0)
向下
x=h
(h,k)
当xh时,y随x的增大而减小
有最低点(h,k).当x=h时,y最大=k
　　2.二次函数y=a(x-h)2+k的图像可以由y=ax2的图像作如下平移得到:当h>0时,向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.当k>0时,向上平移k个单位长度;当k<0时,向下平移|k|个单位长度.
大家谈谈
(课件展示)
(1)请说出将二次函数y=-2x2的图像,分别经过怎样的平移,可以得到函数y=-2(x-4)2+6和y=-2-4的图像.
(2)指出函数y=-2(x-4)2+6和y=-2-4的图像的对称轴与顶点坐标,并说明是如何确定的.
【师生活动】　学生根据归纳总结的结论抢答,对学生的回答,师进行点评.

　　归纳结论:
(课件展示)
1.归纳函数y=a(x-h)2+k的图像是由函数y=x2的图像怎样平移得到的?
2.完成下列表格:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=a(x-
h)2+k
(a>0)





y=a(x-
h)2+k
(a<0)





　　【师生活动】　学生独立思考后,给出足够的时间小组内合作交流,教师帮助有困难的学生,小组代表展示结果,教师点评,师生共同归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图像可以由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到.
[设计意图]　通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结等数学活动,让学生经历由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想、类比思想在数学中的应用,提高学生的合作意识及分析问题和解决问题的能力,培养了学生的数学思维和归纳总结能力.
例题讲解
(课件展示)
　(教材第34页例1)(1)求函数y=-(x+5)2-2的最大(或最小)值.
(2)先将函数y=-x2的图像向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,请写出平移后得到的图像的函数表达式.
【师生活动】　学生独立思考问题后回答,教师进行点评,强调如何应用归纳的结论解决问题.
(课件展示)
解:(1)由-<0,知该函数有最大值.
当x=-5时,函数取得最大值,y最大=-2.
(2)平移后得到的图像的函数表达式为y=-(x+2)2-3.
[设计意图]　通过例题,进一步巩固函数y=a(x-h)2+k的图像是由函数y=ax2的图像作怎样的平移得到的,提高学生的应用意识.
[知识拓展]　1.二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图像和性质综合列表如下:
函数表
达式
a的
符号
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
增减性
最值
y=a(x
-h)2
a>0
向上
x=h
(h,0)
当x>h时,y随x的增大而增大;当x 当x=h时,y最小值=0
a<0
向下
x=h
(h,0)
当x>h时,y随x的增大而减小;当x 当x=h时,y最大值=0
y=a(x
-h)2+k
a>0
向上
x=h
(h,k)
当x>h时,y随x的增大而增大;当x 当x=h时,y最小值=k
a<0
向下
x=h
(h,k)
当x>h时,y随x的增大而减小;当x 当x=h时,y最大值=k
　　2.二次函数y=a(x-h)2+k的形式叫做二次函数的顶点式,其图像的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h.
3.把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2+k的图像,一般依据“左加右减、上加下减”的原则.

1.二次函数y=a(x-h)2的性质:
a决定函数图像的开口方向、顶点坐标为(h,0)、对称轴为直线x=h.
(1)a>0,当x>h时,y随x的增大而增大;当x (2)a<0,当x>h时,y随x的增大而减小;当x 2.二次函数y=a(x-h)2与二次函数y=ax2的图像之间的关系:
把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2的图像.
3.二次函数y=a(x-h)2+k的性质:
a决定函数图像的开口方向、顶点坐标为(h,k)、对称轴为直线x=h.
(1)a>0,当x>h时,y随x的增大而增大;当x (2)a<0,当x>h时,y随x的增大而减小;当x 4.二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图像之间的关系.
把y=ax2的图像向左(或右)平移|h|个单位长度,再向上(或下)平移|k|个单位长度,可以得到函数y=a(x-h)2+k的图像,一般依据“左加右减、上加下减”的原则.
5.数学思想与方法:从特殊到一般、数形结合、类比.

1.对于二次函数y=(x-2)2+3的图像,下列说法正确的是 (　　)
　　A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(2,3) D.与x轴有两个交点
解析:二次函数的图像开口向上,所以A错误;对称轴为直线x=2,所以B错误;顶点坐标为(2,3),所以C正确;根据函数图像可得,抛物线与x轴没有交点,所以D错误.故选C.
2.将二次函数y=x2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图像的函数表达式是 (　　)
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2
解析:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),将该点向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得点的坐标为(1,2),所以所得图像的函数表达式为y=(x-1)2+2.故选A.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数表达式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的

是 (　　)
A.h>0,k>0
B.h<0,k>0
C.h<0,k<0
D.h>0,k<0
解析:抛物线y=-2(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),观察图像得顶点在第一象限,所以h>0,k>0.故选A.
4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向　　　　,对称轴是　　　　. 
解析:∵a=-3<0,∴抛物线的开口向下.∵抛物线y=a(x-h)2的对称轴是x=h,∴对称轴是直线x=2.
答案:下　x=2
5.抛物线y=-3x2向左平移3个单位长度后的表达式为　　　　,它们的形状　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值,是　　　　. 
解析:根据平移的规律可得平移后抛物线的解析为y=-3(x+3)2,平移前后的图像形状相同,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,0),所以当x=-3时,y有最大值,是0.
答案:y=-3(x+3)2　相同　-3　大　0

第2课时
观察与思考
做一做
一起探究
大家谈谈
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第35页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第35页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=3(x-1)2不经过的象限是 (　　)
A.第一、二象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第二、三象限
2.抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是 (　　)
A.y轴 B.直线x=-1
C.直线x=1 D.直线x=-3
3.抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是 (　　)
A.(2,1) B.(-2,1)
C.(2,-1) D.(-2,-1)
4.在平面直角坐标系中,将二次函数y=2x2的图像向上平移2个单位长度,所得图像的函数表达式为 (　　)
A.y=2x2+2 B.y=2x2-2
C.y=2(x+2)2 D.y=2(x-2)2
5.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 (　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6.已知二次函数y=3(x-1)2+k的图像上有三点A,B(2,y2),C(-1,y3),则y1,y2,y3的大小关系为 (　　)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
7.写出顶点坐标是(5,0),形状、开口方向与y=-2x2的图像都相同的函数表达式　　　　. 
8.函数y=-2 (x+1)2-1的图像开口向　　　　,顶点坐标是　　　　,对称轴是直线　　　　,当x=　　　　时,有最　　　　值,是　　　　. 

9.已知二次函数的图像的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求此二次函数的表达式.
10.如图所示,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求梯形COBD的面积.
【能力提升】
11.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图像的顶点都在 (　　)
A.直线y=x上 B.直线y=-x上
C.x轴上 D.y轴上
12.二次函数y=a(x+m)2+n的图像的顶点在第四象限,则一次函数y=mx+n的图像经过第　　　　象限. 

13.抛物线y=-x2+2与x轴交于A,B两点,其中点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上.
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标;
(2)在抛物线上是否存在一点M,使得△MAC≌△OAC,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【拓展探究】
14.如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.

(1)当h=2.6时,求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
【答案与解析】
1.C(解析:抛物线y=3(x-1)2的顶点坐标为(1,0),开口向上,可知函数图像不经过第三、四象限.故选C.)
2.C(解析:抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是x=h,所以抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1.故选C.)
3.B(解析:因为抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),所以抛物线y=(x+2)2+1的顶点坐标是(-2,1).故选B.)
4.A(解析:将二次函数y=2x2的图像向上平移2个单位长度,所得图像的函数表达式为y=2x2+2.)
5.A(解析:函数y=(x-1)2+2的图像的顶点坐标为(1,2),又a=1>0,所以当x=1时,y有最小值,是2.故选A.)
6.D(解析:函数y=3(x-1)2+k的图像的对称轴是直线x=1,点B(2,y2)关于直线x=1的对称点的坐标为(0,y2),在对称轴左侧y随x的增大而减小,因为-1<0<,所以y3>y2>y1.故选D.)
7.y=-2(x-5)2(解析:由形状、开口方向与y=-2x2的图像相同,知a=-2,所以满足题意的二次函数的表达式为y=-2(x-5)2.)
8.下　(-1,-1)　x=-1　-1　大　-1(解析:因为a=-2<0,所以函数图像的开口向下,顶点坐标是(-1,-1),对称轴是直线x=-1,当x=-1时,y有最大值,是-1.)
9.解:∵二次函数的图像的顶点坐标为(-2,-3),∴设此二次函数的表达式为y=a(x+2)2-3.又∵图像过点(-3,-2),∴a(-3+2)2-3=-2,∴a=1,∴此二次函数的表达式为y=-(x+2)2-3.
10.解:(1)由抛物线y=a(x-1)2+4过点A(-1,0),得0=4a+4,解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4.　(2)在y=-(x-1)2+4中,令x=0,得y=3,即OC=3.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴CD=1.∵A(-1,0),∴B(3,0),即OB=3,∴=(1+3)×3=6.
11.B(解析:函数y=a(x+k)2+k图像的顶点坐标为(-k,k),该顶点在直线y=-x上.)
12.二、三、四(解析:函数y=a(x+m)2+n的图像的顶点坐标为(-m,n),因为该点在第四象限,所以-m>0,n<0,即m<0,n<0,所以直线y=mx+n的图像经过第二、三、四象限.)
13.解:(1)抛物线y=-x2+2的对称轴是y轴,顶点C的坐标是(0,2).　(2)不存在.理由如下:令y=0,得-x2+2=0,解得x=±2,所以A,B两点的坐标分别为A(2,0),B(-2,0),所以△OAC是等腰直角三角形.假设存在一点M,使△MAC≌△OAC.∵AC为公共边,OA=OC,∴点M与点O关于直线AC对称.∴四边形OAMC是正方形,∴M点的坐标为(2,2).当x=2时,y=-×22+2=0≠2,∴点M(2,2)不在此抛物线上,即不存在点M,使得△MAC≌△OAC.
14.解:(1)把x=0,y=2,h=2.6代入到y=a(x-
6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6, ∴a=-.∴y=- (x-6)2+2.6.　(2)当h=2.6时,y=- (x-6)2+2.6.当x=9时,y=- (9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网.当x=18时,y=- (18-6)2+2.6=0.2>0,∴球会过界.　(3)把x=0,y=2代入到y=a(x-6)2+h,得a=.当x=9时,y= (9-6)2+h=>2.43.①　当x=18时,y= (18-6)2+h=8-3h≤0.②　由①②,得h≥.


本节课通过复习二次函数y=ax2的图像和性质及探究方法和思路,为类比学习新知识做好铺垫.在探究活动中,类比上节课的探究思路和方法,通过观察画出的函数图像,小组合作交流共同探究出函数y=a(x-h)2的性质及图像之间的平移规律,师生共同归纳总结后,通过做一做进一步巩固函数y=ax2与y=a(x-h)2的图像的平移规律.师生共同填写表格,让学生亲身经历由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又让学生体验学习中的快乐.

本节课的内容是探究二次函数 y=ax2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,本课时内容多,教学设计中学生通过观察、思考、讨论、归纳等数学活动得到二次函数的性质,学生经历知识的形成过程需要时间较长.同时二次函数图像之间的平移,由于涉及左右、上下平移,学生容易混淆,这部分需要给学生更多的思考、交流时间,所以再教过程中,将本课时的学习分为两个课时进行探究,同时在课堂上加强练习,从而达到巩固本课时的重难点.

本课时是学习两类函数y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,再教设计时应分为两个课时分别探究.在教学设计中,通过学生动手操作,在同一坐标系下画同一类函数的图像,然后根据所画的函数图像,通过小组内合作交流、共同探究,得出二次函数的性质.可以将画函数图像的环节设计到课前预习,把探究二次函数的性质及图像之间的平移规律作为课堂教学的重点,给学生足够的时间进行交流,体验由特殊到一般的知识形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.

练习(教材第34页)
解:y=-(x-2)2+,开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标为.当x<2时,y随x的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小,y最大=;y=(x+3)2-3,开口向上,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,-3).当x<-3时,y随x的增大而减小,当x>-3时,y随x的增大而增大,y最小=-3;y=-(x+1)2+5,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,5),当x<-1时,y随x的增大而增大,当x>-1时,y随x的增大而减小,y最大=5.
习题(教材第35页)
A组
1.解:同意小明或小惠的说法.因为函数y=2x2的图像的顶点坐标是(0,0),函数y=2(x-6)2+7的图像的顶点坐标是(6,7),根据函数图像的顶点的平移情况,可以得到函数图像的平移情况,所以小明的说法正确;又因为小惠的平移方法与小明的平移方法只是顺序不同,所以小惠的说法也正确.
2.解:(1)y=0.6x2,开口向上,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最小=0.y=0.6(x-2)2,开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0),y最小=0.y=0.6(x-2)2+4,开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,4),y最小=4.　(2)y=-x2,开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最大=0.y=-(x+4)2,开口向下,对称轴是直线x=-4,顶点坐标是(-4,0),y最大=0.y=-(x+4)2-4,开口向下,对称轴是直线x=-4,顶点坐标是(-4,-4),y最大=-4.　(3)y=-6x2,开口向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0),y最大=0.y=-6,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是,y最大=0.y=-6+8,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标是,y最大=8.
B组
1.解:新图像的函数表达式为y=-8(x+3)2-2.
2.解:(1)把函数y=3x2的图像绕原点旋转180°(或沿x轴翻折),则得到函数y=-3x2的图像.　(2)把函数y=3(x+2)2的图像向右平移4个单位长度,则得到函数y=3(x-2)2的图像.　(3)把函数y=-2(x+1)2+2的图像向下平移4个单位长度,则得到函数y=-2(x+1)2-2的图像.　(4)把函数y=(x-2)2+1的图像先向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,则得到函数y=(x+2)2-1的图像.


重视教学活动,突出学生主体地位
1.二次函数的图像与性质在教材中起着承上启下的作用,本节课的重点是探究二次函数y=a(x-h)2及y=a(x-h)2+k的图像和性质,是上节课学习的y=ax2的图像和性质的延续,也是下节课学习二次函数一般式的图像和性质的基础.类比上节课学习的方法,让学生经历操作、观察、交流、归纳等数学活动,在探究活动中去经历、体验、内化知识,通过充分的探究过程,学生借助直观图像的性质而得到二次函数的性质,类比思想和数形结合思想的应用降低了本节课学习的难度.在教学设计中,通过各个教学活动,给学生更大的探究空间,更多的时间思考和交流,在课堂上让学生亲身经历知识的形成过程,突出学生的主体地位.
2.本节课的难点是函数图像的平移,学生在教师的引导下,通过合作交流共同归纳出结论.数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程.真正的知识不全是由教材和教师讲授的途径获取的,其实学生也是课程资源的开发者,教师要使学生在课堂学习中占主体地位,把激发学生学习热情和获得学习方法放在教学首位,为学生提供展示自己聪明才智的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.

　　　(2015·新疆中考)抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是 (　　)
A.(-1,2) B.(-1,-2)
C.(1,-2) D.(1,2)
解析:因为抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),所以抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是(1,2).故选D.
　(2015·攀枝花中考)将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为 (　　)
A.y=-2(x+1)2
B.y=-2(x+1)2+2
C.y=-2(x-1)2+2
D.y=-2(x-1)2+1
解析:根据图像平移规律“左加右减、上加下减”的原则,将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式为y=-2(x-1)2+1+1=-2(x-1)2+2.故选C.
　(2015·泰安中考)在同一坐标系下,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图像可能是 (　　)

A

B


C

D

解析:A中由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,n2<0,所以A错误;B中由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,-m>0,所以B错误;C中由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,-m<0,所以C错误;D中由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,-m>0,所以D正确.故选D.
　(2015·河南中考)已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图像上,则y1,y2,y3的大小关系是　　　　. 
解析:将A,B,C三点的坐标代入函数表达式中可得,y1=3,y2=5-4,y3=15,所以y3>y1>y2.故填y3>y1>y2.
第课时



1.能用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此确定二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.会用描点法画函数y=ax2+bx+c的图像,并能应用函数的图像和性质解决有关问题.
3.能用顶点式求二次函数的表达式.

1.通过操作、观察、交流、归纳等探索活动,达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.
2.让学生经历从特殊到一般的探索过程,体会数形结合思想、分类讨论思想,学会合情推理.
3.通过二次函数的图像和性质解决有关问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

1.通过探究函数性质,培养学生的探索精神,增强自主学习的信心,享受成功的快乐.
2.通过小组讨论,合作交流,共同归纳结论,培养学生合作意识和团队精神,同时培养学生的数学思维能力.
3.通过探究二次函数的性质及应用,形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.

【重点】
探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质的过程;确定二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标、对称轴,并画出函数图像;运用顶点式求函数表达式.
【难点】
用配方法推导二次函数的顶点式;运用二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质解决有关问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P35~37.


导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛物线y=a(x-h)2+k的性质:
(1)当a>0时,开口向　　　　;当a<0时,开口向　　　　; 
(2)对称轴是直线　　　　; 
(3)顶点坐标是　　　　; 
(4)若a>0,当x=h时,有最小值,最小值是　　　　;若a<0,当x=h时,有最大值,最大值是　　　　; 
(5)若a>0,当xh时,y随x的增大而　　　　;若a<0,当xh时,y随x的增大而　　　　. 
2.函数y=-2 (x+1)2-1的图像开口向　　　　,顶点坐标是　　　　,对称轴是直线　　　　,当x=　　　　时,有最　　　　值,是　　　　. 
3.函数y=ax2的图像怎样平移得到函数y=(x-h)2+k的图像?
【师生活动】　教师课件展示问题,学生思考回答,教师进行点评.
导入二:
复习提问:
1.完全平方公式是什么?
2.如何用待定系数法求函数的表达式?
3.将下列代数式配成完全平方式:
(1)x2+2x+　　　　=(x　　　　)2; 
(2)x2-x+　　　　=(x　　　　)2; 
(3)2x2-4x+　　　　=(　　　　)2. 
【师生活动】　学生思考后回答,师生共同回忆配成完全平方式的方法,对(3)产生的错误,学生讨论自纠,教师点评.
导入三:
在一场足球比赛中,一名球员从球门正前方10米处起脚射门,当球飞行的水平距离为6米时达到最高点,此时球距地面的高度为3米.
(1)如图所示,建立直角坐标系,当球飞行的路线为抛物线时,求此抛物线的表达式;
(2)已知球门高为2.44米,则此球能否射中球门(不计其他情况).

[设计意图]　通过对配方法及函数y=a(x-h)2+k的图像与性质的复习,让学生巩固旧知识的同时,为本节课研究二次函数一般式的图像和性质做好铺垫.

　　[过渡语]　通过复习我们知道了二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图像和性质,每个二次函数y=ax2+bx+c都可以通过配方化成顶点式,让我们一起探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质吧.
共同探究
思路一
【思考1】　
(1)你能说出函数y=(x-1)2-2的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?
(2)函数y=(x-1)2-2的图像与函数y=x2的图像有什么关系?
(3)你能将二次函数y=x2-2x-1化成顶点式吗?
(4)不画二次函数的图像,你能直接说出函数y=x2-2x-1的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内交流答案,教师在巡视过程中对问题(3)有困难的学生给予帮助,小组代表展示,教师点评.
【思考2】　
(1)对于二次函数y=2x2-4x+6,你能化成顶点式吗?
(2)用同样的方法,将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式.
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表板书,学生观察板书中是否存在错误,教师强调易错点并点评.
(板书)
y=ax2+bx+c
=a+c
=a-a·+c
=a+
其中,h=-,k=.
思路二
教师引导思考:
(1)如何把一个二次三项式配方?
(当二次项系数是1时,加上一次项系数一半的平方,再减去这个一次项系数一半的平方;当二次项系数不为1时,先提二次项系数,再进行配方.)
(2)你能将函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方化成y=a(x-h)2+k的形式吗?
【师生活动】　学生独立完成后小组合作交流,在互相纠错的过程中完成对二次函数一般式的变形,小组代表板书,教师点评归纳并强调易错点.
(板书)
同思路一.
[设计意图]　师生共同经历由特殊到一般的探究过程,让学生通过配方将二次函数的一般式化成顶点式,让学生体会转化思想在数学中的应用.通过小组合作交流,培养学生之间的合作精神,并提高学生分析问题的能力.
做一做
【思考1】　
你能说出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标和最值吗?
【师生活动】　学生小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示成果,教师点评.
(课件展示)
二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线,它的对称轴是x=-.
若a>0 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是.
当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大;当x=-时,y取得最小值,且y最小=;
若a<0 ,则抛物线开口向下,顶点坐标是.
当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小;当x=-时,y取得最大值,且y最大=.
【思考2】　
填写下列表格:
表达式
开口
方向
对称
轴
顶点
坐标
y随x的
变化情况
最大(或
最小)值
y=ax2
+bx+c
(a>0)





y=ax2
+bx+c
(a<0)





　　【师生活动】　学生独立完成,教师课件展示结果.
为方便起见,我们把二次函数y=ax2+bx+c也称为抛物线y=ax2+bx+c.
[设计意图]　通过动手操作、合作交流、归纳二次函数y=ax2+bx+c的性质,加深利用配方法将二次函数的一般式化成顶点式的理解,培养学生的归纳总结能力,提升学生数学思维.
例题讲解
(课件展示)
　(教材第37页例2)求抛物线y=x2+2x-1的对称轴和顶点坐标,并画出它的图像.
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,学生板书解答过程,教师点评,鼓励学生用不同的方法求解.
(板书)
解:∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2.
∴抛物线的对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,-2).
(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y=x2+2x-1
…
2
-1
-2
-1
2
…
　　(2)在直角坐标系中,描点,连线,即得二次函数y=x2+2x-1的图像,如图所示.

　(教材第37页例3)根据下列条件,确定抛物线的表达式.
(1)抛物线y=-2x2+px+q的顶点坐标为(-3,5).
(2)抛物线y=ax2+bx-6经过点A(-1,3)和B(2,-6).
教师引导:
(1)抛物线y=-2x2+px+q配方化成顶点式为　　　　,根据顶点坐标为(-3,5)可列方程　　　　,解得p=　　　　,q=　　　　,代入表达式可得　　　　. 
(2)由点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式可得　　　　,解得a=　　　　,b=　　　　,代入表达式可得　　　　. 
【师生活动】　学生在教师的引导下分析回答,然后独立完成解答过程,学生板书,教师点评.
(板书)
解:(1)∵y=-2x2+px+q=-2+,
∴=-3,=5,
∴p=-12,q=-13.
故该抛物线的表达式为y=-2x2-12x-13.
(2)点A(-1,3)和B(2,-6)的坐标满足抛物线的表达式,即

解得
故该抛物线的表达式为y=3x2-6x-6.
[设计意图]　通过例题,既复习描点法画函数图像,又进一步巩固二次函数y=ax2+bx+c的性质及用待定系数法求函数的表达式,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展]　1.由于抛物线是轴对称图形,且对称轴经过抛物线的顶点,所以抛物线上对称点连线的垂直平分线是对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
2.在求一般形式的二次函数的图像的对称轴及顶点坐标时,通常有两种方法:一是先将其配方,化y=ax2+bx+c为y=a(x-h)2+k的形式,;二是直接利用公式求顶点坐标.
3.若抛物线与x轴有交点,则最好选取交点进行描点,特别是在画抛物线的草图时,应注意以下五点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
4.平移法,其步骤如下:
(1)利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点坐标为(h,k);
(2)画出函数y=ax2的图像;
(3)将函数y=ax2的图像平移,使其顶点平移到(h,k)的位置.

1.利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式:
二次函数y=ax2+bx+c配方,得y=a+.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法:配方法找到对称轴后对称取点,描点,连线.
3.二次函数y=ax2+bx+c的性质:
表达式
y=ax2+bx+c
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a<0)
开口方向
向上
向下
对称轴
x=-
x=-
顶点坐标


y随x的变
化情况
当x>-时,y随x的增大而增大;当x<-时,y随x的增大而减小
当x>-时,y随x的增大而减小;当x<-时,y随x的增大而增大
最值
当x=-时, y最小值=
当x=-时,y最大值=
　　4.待定系数法求函数的表达式.

　　1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k的形式,结果为 (　　)
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2
解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.故选D.
2.抛物线y=-x2+4x-4 的最值是 (　　)
A.当x=-2时,y有最大值0
B.当x=2时,y有最大值0
C.当x=-2时,y有最小值0
D.当x=2时,y有最小值0
解析:因为y=-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2,所以顶点坐标为(2,0),又a=-1<0,所以当x=2时,y有最大值0.故选B.
3.函数y=-x2-4x-3的图像的顶点坐标是　　　　. 
解析:因为y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4-4)-3=-(x+2)2+1,所以顶点坐标为(-2,1).故填(-2,1).
4.二次函数y=x2+bx+3的图像的对称轴是x=2,则 b=　　　　. 
解析:由二次函数的图像的对称轴是x=-=-=2,解得b=-4.故填-4.
5.已知二次函数y=-x2+x+4.
(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
解:∵(1)y=-x2+x+4=-(x-1)2+,
∴抛物线的开口向下,顶点坐标为,对称轴是x=1.
(2)当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小.

第3课时
共同探究
做一做
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第38页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第38页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为 (　　)
A.(3,-4) B.(3,4)
C.(-3,-4) D.(-3,4)
2.抛物线y=3x2-5x-12的对称轴是 (　　)
A.直线x= B.直线x=-
C.直线y= D.直线x=

3.(2016·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c0,其中正确的个数是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2016·甘肃中考)点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y2>y2>y1 B.y3>y1=y2
C.y1>y2>y3 D.y1=y2>y3

5.(2016·甘肃中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,对称轴是直线 x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac2.其中正确的结论的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a(x-h)2+k的形式是　　　　. 
7.把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线y=x2-2x-2,那么a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　. 
8.把下列二次函数的表达式通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其图像的顶点坐标与对称轴.
(1)y=x2+6x+10;
(2)y=-2x2-5x+7.
【能力提升】
9.抛物线y=x2-(b-2)x+3b的顶点在y轴上,则b的值为　　　　. 
10.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减小;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值是　　　　. 

11.如图所示,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于A,B两点,且过点C(5,4).
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;
(2)请你设计一种平移方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.
【拓展探究】

12.如图所示,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上的A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的表达式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的表达式,并指出平移了多少个单位长度?
【答案与解析】
1.A(解析:因为y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以顶点坐标为(3,-4).故选A.)
2.A(解析:抛物线的对称轴为x=-=-=.故选A.)
3.C(解析:抛物线开口向下,所以a<0,又因为对称轴x=->0,所以b>0,故①错误;抛物线与y轴交于正半轴上,所以c>0,故②正确;当x=-1时,a-b+c<0,所以a+c0,故④正确.故选C.)
4.D(解析:二次函数图像的对称轴为x=1,当x>1时,y随x的增大而减小,所以y2>y3,由抛物线的对称性可得,P1与P2关于x=1对称,所以y1= y2,故选D.)
5.C(解析:由题意得a<0,b<0,c>0,故①正确;抛物线与 x 轴有两个交点,故②正确;由对称轴为x=-1化简得 2a-b=0,故③错误;由图像知当x=-1时所对应的y值>2,故④正确.故选C.)
6.y=2-(解析:-=-,=-,所以抛物线的顶点坐标为,所以y=2-.)
7.1　2　3(解析:y=x2-2x-2=(x-1)2-3,顶点坐标为(1,-3),该点先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度得点的坐标为(-1,2),所以原抛物线为y=(x+1)2+2,即y=x2+2x+3,所以a=1,b=2,c=3.)
8.解:(1)y=(x+3)2+1,顶点坐标为(-3,1),对称轴是直线x=-3.　(2)y=-2+,顶点坐标为,对称轴是直线x=-.
9.2(解析:∵顶点在y轴上,∴=0,∴b=2.)
10.25(解析:由函数的增减性知抛物线的对称轴为直线x=-2.又x=-=-=-2,解得m=-16,所以二次函数的表达式为y=4x2+16x+5,故当x=1时,y=25.)
11.解:(1)由C(5,4)满足y=ax2-5ax+4a的表达式,得a=1.∴y=x2-5x+4=-.∴顶点P的坐标为.　(2)(答案不唯一)如将抛物线先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线的表达式为y=x2+x+2.

12.解:(1)过C点作x轴的垂线,垂足为E,如图所示,由抛物线的对称性可知AE=BE.在Rt△AOD和Rt△BEC中,∴Rt△AOD≌Rt△BEC.∴OA=EB=EA.设菱形的边长为2m,在Rt△AOD中,m2+()2=(2m)2,解得m=1.∴DC=2,OA=1,OB=3.∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,).　(2)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+,由A点坐标满足抛物线的表达式可得a=-.∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+.　(3)设抛物线的表达式为y=-(x-2)2+k,由抛物线经过D(0,),可得k=5.所以平移后抛物线的表达式为y=-(x-2)2+5.平移了(5-=4)个单位长度.


本节课通过对配方法及函数y=a(x-h)2+k的图像与性质的复习,让学生巩固旧知识的同时,为本节课研究二次函数一般式的图像和性质做好铺垫.教师引导学生思考如何将二次三项式配方,然后让学生通过动手操作、小组合作交流等活动,共同将二次函数的一般式化成顶点式,从而师生共同归纳总结出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质.通过例题讲解,让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的方法,并能够画出函数图像,同时进一步掌握利用待定系数法求函数表达式.在教学设计中注重培养学生的数形结合思想、转化思想、类比思想等,在整个探究过程中,学生发挥着主体作用,教师只是引导者的角色,学生思维活跃,参与意识强,课堂教学效果较好.

本节课重点是用配方法将二次函数的一般式化成顶点式,并由此确定二次函数的图像和性质.在探究用配方法将二次函数的一般式化成顶点式的过程中,学生对配方法的理解有一定难度,给学生交流的时间短,可以设计几个练习进行针对性训练.同时在探究二次函数的性质及例题讲解中,教师没有放开手脚,给学生思考、交流的时间短.在以后的教学中,注重数学思想的渗透,让学生多参与活动,真正成为课堂的主人.

本节课通过复习对二次三项式的配方,为探究将二次函数的一般式化成顶点式做好铺垫,在教学中要设计针对性练习,让学生熟练掌握将二次函数的一般式化成顶点式的基本方法.探究二次函数y=ax2+bx+c的有关性质时,要给学生足够的时间进行思考、交流,体会数形结合思想的应用.例题讲解的设计以学生活动为主,教师点评精讲,对题型的解题思路进行归纳总结,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生学习数学的兴趣.

练习(教材第37页)
1.解:(1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2),开口向上.　(2)对称轴为直线x=-,顶点坐标为,开口向下.
2.解:函数图像如图所示.当x=-2时,y=14;当x=-1时,y=7.所以x=-2的对应的函数值较大.

习题(教材第38页)
A组
1.解:(1)∵y=x2-2x+8=(x-1)2+7,∴抛物线y=x2-2x+8的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,7),开口向上.　(2)对于y=-5x2+3x-2,∵x=-=,y==-,∴抛物线y=-5x2+3x-2的对称轴为直线x=,顶点坐标为,开口向下.
2.解:(1)直线x=1　(1,3)　(2)画出的函数图像如图所示.　(3)y1
3.解:(1)y=-2x2-5x+9=-2+,当x=-时,函数有最大值.　(2)y=2x2+3x=2-,当x=-时,函数有最小值-.　(3)y=x2-4x+1=-,当x=时,函数有最小值-.　(4)y=-x2+x-2=-(x-3)2+,当x=3时,函数有最大值.
B组
1.解:(1)y=(x-2)2+3=x2-4x+7.　(2)由点A(-1,0),B(2,-9)满足y=ax2-2x+c的表达式,解得a=-1,c=-1,∴y=-x2-2x-1.
2.解:因为y=x2-2px+16=(x-p)2-p2+16,所以抛物线y=x2-2px+16的顶点坐标为(p,16-p2),当抛物线的顶点在x轴上时,16-p2=0,解得p=±4;当抛物线的顶点在y轴上时,p=0.综上所述,当抛物线y=x2-2px+16的顶点在坐标轴上时,p=±4或p=0.


注重数学思想和方法的渗透
1.本节课是通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k,从而探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质.本课时是在学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质后,教师引导学生思考、交流,利用转化思想、类比思想、数形结合思想探究二次函数的性质,它是本章的重点,也是本章的难点.在课堂上给学生充分的思考时间,类比配方法解一元二次方程,探究将二次函数的一般式转化为顶点式的一般步骤,然后用二次函数顶点式的知识完成本节课的学习,突破了重点和难点.
2.本节课在探究二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质后,通过例题讲解画二次函数的图像及用待定系数法求函数表达式,解决的关键是用配方法把二次函数的一般式化成顶点式,根据抛物线的对称性选取自变量,画出函数图像;根据抛物线的顶点式和顶点坐标,列方程组求待定系数,从而求出函数表达式.在整个教学过程中,数形结合思想贯穿函数讨论的始终,学生动手动脑,合作交流,体验知识的形成过程,真正发挥学生的主体作用,激发学生学习数学的兴趣.

　(2015·甘孜中考)二次函数y=x2+4x-5的图像的对称轴是 (　　)
　　A.x=4 B.x=-4
C.x=2 D.x=-2
解析:因为y=x2+4x-5=(x+2)2-9,所以抛物线的对称轴为x=-2.故选D.
　(2015·莱芜中考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则一次函数y=bx+a的图像

不经过 (　　)
A.第一象限　B.第二象限
C.第三象限　D.第四象限
解析:由函数图像的开口向上,得a>0.由对称轴x=-<0,得b>0,所以一次函数y=bx+a的图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
　(2015·益阳中考)若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (　　)
A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-1 解析:抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),因为顶点在第一象限,所以m>0,且m+1>0,解得m>0.所以m的取值范围是m>0.故选B.
　(2015·上海中考)如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移,使它经过点A(0,3),那么所得新抛物线的表达式是　　　　. 
解析:将抛物线y=x2+2x-1=(x+1)2-2向上平移,得y=(x+1)2+c.因为经过点A(0,3),所以3=1+c,解得c=2.所以新抛物线的表达式是y=(x+1)2+2=x2+2x+3.故填y=x2+2x+3.

　(2015·黑龙江中考)如图所示,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是抛物线的对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意,得解得
所以抛物线的表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵点A与点C关于x=2对称,∴连接BC与x=2交于点P,则点P即为所求,根据抛物线的对称性可知,点C的坐标为(3,0),y=x2-4x+3与y轴的交点为(0,3).
设BC所在直线的表达式为y=kx+m(k≠0),
根据题意,得解得
∴y=-x+3,
则直线BC与x=2的交点坐标为(2,1),
∴点P的坐标为(2,1).

30.3　由不共线三点的坐标确定二次函数





1.知道不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
2.了解用待定系数法求不共线三点的二次函数的表达式.

1.通过引入待定系数法的过程,向学生渗透转化的思想,培养学生分析问题,解决问题的能力,提升数学思维意识.
2.通过列方程组求二次函数表达式,培养学生独立思考,勇于创新的精神和良好的学习习惯.

1.通过从“形”上看,不共线三点可以确定一条抛物线,从“数”上看,解方程组可以确定待定系数,让学生体会数形结合思想在数学中的应用.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.

【重点】
用待定系数法求一次函数的表达式.
【难点】
灵活地根据条件选取恰当的表达式.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P39~40.


导入一:
(课件展示)
有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根立柱支撑这个拱顶,立柱应取多长?

　　[过渡语]　你能解决这个实际问题吗?通过本节课的学习,我们就可以解决这个实际问题.
导入二:
复习提问:
1.已知两点坐标,如何确定一次函数表达式?
(待定系数法)
2.用待定系数法求函数表达式的步骤是什么?
(设出表达式;根据条件列出方程或方程组;解方程(组)得出未知系数.)
3.二次函数有哪几种表达式?
(一般式:y=ax2+bx+c;顶点式:y=a(x-h)2+k.)
[设计意图]　让学生渗透二次函数是刻画某些实际问题的模型,激发学生的学习兴趣,感受数学与生活紧密联系.通过复习待定系数法求函数表达式的步骤及二次函数的两种表达式,为灵活地根据条件选取恰当的表达式做好铺垫.

　　[过渡语]　已知两点的坐标,可以确定一次函数.如何由不共线三点的坐标来确定二次函数呢?让我们一起走进今天的课堂去探究!
共同探究
(课件展示)
已知不共线的三点A(1,3),B(2,-2),C(-1,1),怎样确定过这三点的二次函数的表达式呢?
思路一
教师引导,共同探究.
1.一次函数y=kx+b中有　　　　个待定系数,需要　　　　个点的坐标代入可以求解. 
2.二次函数y=ax2+bx+c中有　　　　个待定系数,需要　　　　个点的坐标代入可以求解. 
3.已知二次函数的图像经过三点,有三个独立条件,所以可设二次函数表达式为　　　　; 
4.将三点坐标代入得方程组　　　　; 
5.解这个方程组得　　　　. 
所以所求的函数表达式为　　　　. 
【师生活动】　学生在教师的引导下分析,然后独立完成解答过程,学生代表板书,教师点评规范解题格式.
(板书)
解:设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c.
将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数中,得
解得
所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4.
思路二
联想用待定系数法求一次函数表达式的过程,小亮想到了用待定系数法求二次函数的表达式:
(课件展示)
将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数中,得
解得
所求二次函数的表达式为y=-2x2+x+4.
思考:
用待定系数法求二次函数表达式的过程与求一次函数表达式的过程有哪些相同点与不同点?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组代表回答,其他学生补充,教师点评归纳.
(课件展示)
相同点:都是先确定函数表达式的形式,将点的坐标代入,通过解方程组求待定系数.
不同点:求一次函数表达式需要列两个方程,求二次函数表达式需要列三个方程.
[设计意图]　类比用待定系数法求一次函数表达式的方法,探究已知抛物线上三点求二次函数表达式的方法,提高学生的计算能力.
例题讲解
(课件展示)
　(教材第39页例)已知三点A(0, 1),B(1, 0),C(2, 3),求由这三点所确定的二次函数表达式.
【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评.
(板书)
解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c.将A,B,C三点的坐标分别代入二次函数表达式中,得 解得
所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1.
　(补充)已知抛物线的顶点坐标为(2,-4),且与y轴交于点(0,3),求这个二次函数表达式.
教师引导:二次函数的顶点式为　　　　,顶点坐标为　　　　, 
抛物线顶点为(2,-4)的二次函数表达式可设为　　　　, 
点(0,3)在抛物线上,所以点的坐标满足函数表达式,所以将点(0,3)代入得　　　　,解得　　　　,所以所求函数表达式为　　　　. 
【师生活动】　教师引导学生思考回答后,学生独立完成解答过程,小组内交流答案并找学生代表板书,教师帮助有困难的学生,点评学生的解答.
(板书)
解:设所求二次函数为y=a(x-2)2-4.
由已知得函数图像经过点(0,3),所以4a-4=3.
解得a=.
所求二次函数表达式为y=(x-2)2-4,即y=x2-7x+3.
[设计意图]　通过教材例题,进一步巩固用待定系数法求二次函数表达式,补充例题让学生经历探究设顶点式求二次函数表达式的过程,掌握灵活地选用二次函数的不同形式求函数表达式的方法.
做一做
(课件展示)
1.在直角坐标系中,已知点A,B,C,求由A,B,C三点所确定的二次函数表达式.
2.已知当x=1时,二次函数有最大值5,且图像过点(0,-3),求此函数表达式.
【学生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,互相纠错.
3.你能解决课前导入中的实际问题吗?
(课件展示课前导入)
【师生活动】　学生独立思考后,小组交流讨论,教师巡视过程中,帮助有困难的学生,学生代表展示,教师进行点评.
(板书)
解:由题意,知抛物线的顶点坐标为(20,16),
∴可设抛物线的关系式为y=a(x-20)2+16.
∵点B(40,0)在抛物线上,
∴0=a(40-20)2+16,
∴a=-. ∴y=-(x-20)2+16.
∵竖立柱的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=-×(15-20)2+16=15;
当x=25时,y=-×(25-20)2+16=15.
∴立柱应取15 m.
[设计意图]　由练习可以进一步理解和掌握求二次函数表达式的方法,通过解决课前导入的实际问题,达到整节课首尾呼应,让课堂教学设计结构完整,同时让学生体会数学在实际中的应用,培养学生应用数学意识,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力.
[知识拓展]　1.求二次函数表达式的几种方法之间是相互联系的,而不是孤立的,不同的设法是根据不同的已知条件来确定的.
2.在选用不同的设法时,应具体问题具体分析,特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时,应灵活地选用不同的方法来求解,以达到事半功倍的效果.

1.求经过不共线的三点的抛物线的表达式,可以用待定系数法求解.
2.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k.

　　1.(2016·甘肃中考)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是 (　　)
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+3
C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
解析:在二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中,h=-=-=1,k===3.故选B.
2.(2016·河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是　　　　. 
解析:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,∴代入得解得b=2,c=3,∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).故填(1,4).
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的表达式是　　　　. 
解析:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,因为过A,B两点,将(0,-5),(5,0)代入,得又-=2,解得a=1,b=-4,c=-5,所以所求的表达式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.
4.已知二次函数的图像的顶点坐标为(1,4),且其图像经过点(-2,-5),求此二次函数的表达式.
解: 设此二次函数的表达式为y=a(x-1)2+4,
∵其图像经过点(-2,-5),
∴a(-2-1)2+4=-5,
∴a=-1,
∴所求的二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.

30.3　由不共线三点的坐标确定二次函数
共同探究
例题讲解
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第40页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次函数y=ax2+k的图像经过点(1,-6)和(2,3),则此二次函数的表达式为 (　　)
A.y=3x2-9 B.y=3x2+9
C.y=-3x2-9 D.y=-3x2+9
2.若二次函数的图像的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的表达式是 (　　)
A.y=-(x-2)2-1
B.y=-(x-2)2-1
C.y=(x-2)2-1
D.y=(x-2)2-1
3.抛物线如图所示,根据图像可知,抛物线的表达式可能是 (　　)

A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x+2
C.y=-x2-x+1
D.y=-x2+x+2
4.二次函数y=x2+px+q的最小值是4,且当x=2时,y=5,则p,q的值分别为 (　　)
A.p=-2,q=15
B.p=-2,q=5或p=-6,q=13
C.p=-6,q=13
D.p=2,q=-5或p=6,q=-13
5.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点 (　　)
A.(-1,-1) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(1,1)

6.如图所示的是函数y=-(x-h)2+k的图像,则其表达式为　　　　. 
7.试写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3 )的抛物线的表达式:　　　　. 
8.已知二次函数的图像关于直线x=3对称,最大值是0,与y轴的交点是(0,-1),这个二次函数表达式为　　　　. 
9.抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的表达式.

10.如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.
【能力提升】
11.已知二次函数y=x2+bx+c的图像过A(c,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的表达式为　　　　. 

12.(2016·北京中考)在平面直角坐标系xOy(如图所示)中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B(A在B的左边).
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①当m=1时,求线段AB上整点的个数;
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图像,求m 的取值范围.
【拓展探究】
13.(2016·河南中考)如图(1)所示,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4).抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图(2)所示,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.

【答案与解析】
1.A(解析:把点(1,-6)和(2,3)代入y=ax2+k得解得a=3,k=-9,所以二次函数表达式为y=3x2-9 .)
2.C(解析:设y=a(x-2)2-1,把(0,3)代入得4a-1=3,解得a=1,所以所求的二次函数的表达式为y=(x-2)2-1. )
3.D(解析:A,由图像的开口向下,故a<0,此选项错误;B,抛物线过点(-1,0),(2,0),根据抛物线的对称性,知顶点的横坐标是,而y=-x2-x+2的图像的顶点横坐标是-,故此选项错误;C中y=-x2-x+1的图像的顶点横坐标是-,故此选项错误;D中y=-x2+x+2的图像的顶点横坐标是,并且抛物线过点(-1,0),(2,0),故此选项正确.)
4.B(解析:由二次函数最小值是4,得=4,即4q-p2=16①,再把x=2,y=5代入二次函数表达式,得4+2p+q=5,即2p+q=1②,解由①②组成的方程组得或)
5.D(解析:由b+c=0得c=-b,代入二次函数,变形得y=x2+b(x-1),若图像一定过某点,则与b无关,令b的系数为0,所以x-1=0,即x=1,代入得y=1,则它的图像一定过点(1,1).)
6.y=-x2-2x+4(解析:观察图像,得抛物线顶点坐标为(-1,5),所以h=-1,k=5,所以函数表达式为y=-(x+1)2+5=-x2-2x+4.)
7.y=x2-4x+3(解析:抛物线开口向上,所以a>0,对称轴为直线x=2,所以-=2,与y轴的交点坐标为(0,3 ),所以c=3,所以答案不唯一,只要满足要求即可.)
8.y=-x2+x-1(解析:∵二次函数的图像的对称轴是x=3,函数的最大值是0,∴该二次函数顶点坐标是(3,0),故设该二次函数的表达式为y=a(x-3)2(a为常数,且a≠0),∵与y轴的交点是(0,-1),∴把x=0,y=-1代入上式,得9a=-1,即a=-,∴这个二次函数表达式为y=-(x-3)2=-x2+x-1.)
9.解:因为点(0,0)与(12,0)关于抛物线的对称轴直线x=6对称,所以抛物线的顶点是(6,3).于是,设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+3.因为该抛物线经过点(0,0),所以a(0-6)2+3=0,解得a=-.所以这个抛物线的表达式为y=-(x-6)2+3,即y=-x2+x.
10.解:(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c得解得∴抛物线的表达式为y=x2-2x.　(2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点为(1,-1),对称轴为直线x=1.　(3)设点B的坐标为(x1,y1),则×2|y1|=3,解得y1=3或y1=-3.∵顶点纵坐标为-1,-3<-1,∴y1=3,解得x11=3,x12=-1.∴点B的坐标为(3,3)或(-1,3).
11.y=x2-4x或y=x2-4x+3(解析:依题意有c2+bc+c=0(1),b=-4a=-4(2),(1)(2)联立方程组解得b=-4,c=0或3,则二次函数的表达式为y=x2-4x或y=x2-4x+3.故填y=x2-4x或y=x2-4x+3.)
12.解:(1)将抛物线表达式变为顶点式y=m(x-1)2-1,则抛物线顶点坐标为(1,-1).　(2)①m=1时,抛物线表达式为y=x2-2x,因此A,B的坐标分别为(0,0)和(2,0),则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0),共3个.　②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或0,所以即要求AB线段上(含A,B两点)必须有5个整点,令y=mx2-2mx+m-1=0,得到A,B两点坐标分别为,,即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到2≤<3,∴ 13.解:(1)由直线y=-x+n过点C(0,4),得n=4,∴y=-x+4.当y=0时,0=-x+4,解得x=3.∴A(3,0).∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),∴∴∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.　(2)∵点P的横坐标为m,∴P,D(m,-2).若△BDP为等腰直角三角形,则PD=BD.①当点P在直线BD上方时,PD=m2-m.(ⅰ)若点P在y轴左侧,则m<0,BD=-m.∴m2-m=-m,∴m1=0(舍去),m2=(舍去).(ⅱ)若点P在y轴右侧,则m>0,BD=m.∴m2-m=m,∴m1=0(舍去).m2=.②当点P在直线BD下方时,m>0,BD=m,PD=-m2+m,∴-m2+m=m,解得m1=0(舍去),m2=.综上所述,m=或m=,即当△BDP为等腰直角三角形时,PD的长为或.　(3)P1,P2,P3.


在本节课中,由实际问题和复习用待定系数法求一次函数表达式导入新课,为本节课学习待定系数法求二次函数表达式做好铺垫,同时让学生体会数学与生活密切联系,激发学生学习兴趣.通过探究用待定系数法求不共线的三点确定的抛物线,让学生进一步体会数形结合思想的应用,感受列方程组可以求解二次函数表达式中系数.通过例题讲解求函数表达式,并从在求函数表达式过程中,归纳总结不同已知条件用不同表达式的形式求解. 在教学中注重学生参与课堂,学生在思考、交流中获得分析问题、解决问题的能力,提升学生的数学思维.

本节课的重点是知道不共线的三点可以确定一个二次函数,并用待定系数法求函数表达式,通过复习用待定系数法求一次函数的表达式,用类比方法通过思考、交流,可以列方程组求解二次函数的表达式,内容比较简单,完全按照教材的设计完成了教学,但是没有给学生补充用二次函数的交点式求函数表达式,应让学生灵活选择用不同形式求函数表达式.

本节课在复习用待定系数法求一次函数表达式的基础上,类比方法用待定系数法求不共线三点确定的二次函数的表达式,在教学设计中,以学生自主学习为主,让学生在温故而知新的过程中获得发展,从而提高学生能力.通过教师设计的活动,让学生体会灵活运用二次函数的不同形式求函数表达式,课堂上学生是主体,让学生独立思考,通过小组合作交流,得出结论,在课堂上教师多放手,通过各种数学活动,在数学课堂上提高学生分析问题解决问题的能力.

练习(教材第40页)
解:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,因为其图像经过点A,B,C,∴得方程组解得∴二次函数表达式为y=x2-2x+8.
习题(教材第40页)
A组
1.解:(1)把点A,B的坐标代入函数表达式,得解得∴二次函数表达式为y=x2-4x-6.　(2)∵y=x2-4x-6=(x-2)2-10,∴抛物线的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-10).
2.解:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,∵其图像经过点A,B,C,∴得方程组解得∴二次函数表达式为y=x2-3x+2.
B组
1.解:设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,∵其图像经过点(-1,-2),(0,-2),(1,0),∴得方程组解得∴二次函数表达式为y=x2+x-2.
2.解:根据点A,B,C,A',B',C'的坐标的特点,可知点A',B',C'可分别由点A,B,C平移得到,所以把经过点A,B,C的抛物线沿y轴向上平移1个单位长度,则得到经过点A',B',C'的抛物线.∴设经过点A',B',C'的抛物线为y=ax2+bx+p.把点(x1,y1+1)代入抛物线表达式,得y1+1=a+bx1+p.∵y1=a+bx1+c,∴a+bx1+c+1=a+bx1+p,解得p=c+1.∴经过点A',B',C'的抛物线为y=ax2+bx+(c+1).


启发探究式教学,突破重点
初中阶段学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数表达式,到高中阶段学生还要进一步学习,所以本节课的学习既是初中知识的延续和深化,又为后边的学习奠定基础,起着承上启下的作用.另外,待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段,在其他学科中也有着广泛的应用.本课时求函数表达式是学习二次函数图像与性质后,求不共线的三点确定的抛物线的表达式,在教学设计中创设不同类型的求函数表达式,归纳总结求函数表达式的方法.本节课的重点重在学习总结解决问题的方法,所以本节课以“启发探究式”开展教学活动比较合适,以学生动手动脑探究为主,充分调动学生学习的积极性和主动性,突出学生主体地位,突显富有生命力的课堂.

　设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,求该抛物线的函数表达式.
〔解析〕　根据点C的位置分情况确定出对称轴表达式,然后设出抛物线表达式,再把点A,B的坐标代入求解即可.
解:∵点C在直线x=2上,且到抛物线的对称轴的距离等于1,
∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3,
当对称轴为直线x=1时,设抛物线表达式为y=a(x-1)2+k,
则解得
∴y=(x-1)2+=x2-x+2,
当对称轴为直线x=3时,设抛物线表达式为y=a(x-3)2+k,
则解得
∴y=-(x-3)2+=-x2+x+2,
综上所述,抛物线的函数表达式为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.

30.4　二次函数的应用





1.能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.
2.能通过建立适当的平面直角坐标系解决抛物线型实际问题.
3.掌握利用顶点坐标解决实际问题中最大值(或最小值)问题的方法.
4.掌握利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题.

1.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会模型思想,发展应用意识.
2.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养运用数学意识.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,培养学生数学思维能力的提高.
4.经历“实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题”的过程,体会二次函数与一元二次方程的联系.


1.通过将二次函数的知识灵活运用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流共同探究建立二次函数模型解决实际问题的过程,提高合作意识,培养创新精神.
3.通过把实际问题抽象成数学问题,利用二次函数性质解决问题的过程,让学生体会数学知识与现实世界的联系.
4.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值.

【重点】
运用二次函数的性质解决实际问题;利用顶点坐标解决实际问题中最大值(或最小值)问题的方法;利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题.
【难点】
根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型的过程.
第课时



1.能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.
2.能通过建立适当的平面直角坐标系解决抛物线型实际问题.

1.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会模型思想,发展应用意识.
2.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.

1.通过将二次函数的知识灵活运用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.
3.通过把实际问题抽象成数学问题,利用二次函数性质解决问题的过程,让学生体会数学知识与现实世界的联系.


【重点】
运用二次函数的性质解决实际问题.
【难点】
根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P41~42.


导入一:
(课件展示)
复习提问:
1.如何求二次函数表达式?
2.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示,则抛物线的表达式是　　　　.当水面宽为20 m时,水面离拱桥最高点　　　　m. 

【师生活动】　学生思考后回答问题1,教师点评.学生独立完成问题2的解答,小组内交流答案.
导入二:
(课件展示)
如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求该校门的高度是多少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计)

【导入语】　在平面直角坐标系下的抛物线型问题,我们通过求函数表达式,解决了实际问题,在这个抛物线型实际问题中,没有直角坐标系,我们如何解决呢?
[设计意图]　通过复习求函数表达式的方法,为本节课的学习做好铺垫.由实际问题导入新课,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的学习兴趣和求知欲望.

　　[过渡语]　当抛物线不在平面直角坐标系中时,通过建立适当的平面直角坐标系,建立二次函数模型并利用它的有关性质,可以解决许多实际问题.
例题讲解
(课件展示)
　(教材第41页例1)如图所示,一名运动员在距离篮圈中心4 m(水平距离)远处跳起投篮,篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行的水平距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m.如果篮圈中心距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米?

教师引导分析:
由于篮球在空中运行的路线为一条抛物线,所以可以建立恰当的直角坐标系,求出该抛物线的表达式,借助表达式来解决所求问题.
思路一
思考:
1.如何建立平面直角坐标系?
2.在所建立的平面直角坐标系下如何求二次函数表达式?
3.运动员出手的点在所建的平面直角坐标系下的横坐标是多少?
4.你能求出运动员出手的点的纵坐标吗?
5.请你完成该题的解答过程.
【师生活动】　 学生独立思考,动手操作后,教师给学生足够的时间进行小组合作交流,共同探究答案,交流时比较建立的不同的平面直角坐标系,哪个更简单?小组代表展示最简单的建立直角坐标系的方法,教师帮助有困难的学生,并及时引导.
(课件展示)
解:如图所示,建立直角坐标系,篮圈中心为点A (1.5,3.05),篮球在最大高度时的位置为点B(0,3.5).以点C表示运动员投篮球的出手处.

设以y轴(直线x=0)为对称轴的抛物线为y=a(x-0)2+k,即y=ax2+k,而点A,B在这条抛物线上,所以有
解得
所以抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.
当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25.
答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m.
思路二
教师引导:
1.已知抛物线中的顶点,建立顶点在y轴上的直角坐标系,如何建立?
【师生活动】　学生思考,教师课件展示建立如图所示的直角坐标系.
2.在所建的直角坐标系下,可以求出哪些点的坐标?
【师生活动】　学生观察回答,得到点A的坐标为(1.5,3.05),点B的坐标为(0,3.5).
3.根据点A、点B的坐标,你能求出抛物线的表达式吗?
【师生活动】　学生独立完成后,小组内合作交流答案,教师课件展示解答过程.
4.运动员出手时的点的横坐标是多少?你能根据函数表达式求出该点的纵坐标吗?此时运动员出手时的高度是多少?
【师生活动】　学生观察思考回答,教师课件展示解答过程.
(课件展示)
解:同思路一.
追问:
1.你还有其他建立直角坐标系的方法吗?
2.哪种建立直角坐标系的方法更为简单?
【师生活动】　学生动手尝试,小组内合作交流,教师点评,师生共同归纳如何建立直角坐标系更为简单.
[设计意图]　通过建立适当的平面直角坐标系,将实际问题转化为平面直角坐标系下二次函数问题,建立二次函数模型,体会数学在实际问题中的应用.运用不同的方法解决问题,培养了学生解决问题的灵活性及发散思维.
做一做
(课件展示)
如图所示,某喷灌器AB的喷头高出地面1.35 m,喷出的水流呈抛物线形从高1 m的小树CD上面的点E处飞过,点C距点A 4.4 m,点E在直线CD上,且距点D 0.35 m,水流最后落在距点A 5.4 m远的点F处.喷出的水流最高处距地面多少米?

思路一
水流最高处到地面的距离即为抛物线顶点到地面的距离.为求抛物线的表达式,小亮和小惠分别建立了如图(1)(2)所示的直角坐标系,并写出了相关点的坐标.

(1)


(2)

(1)请分别按小亮和小惠建立的直角坐标系求这条抛物线的表达式;
(2)根据以上两种表达式,求出水流最高处到地面的距离.
【师生活动】　同桌两个分别按图(1)和图(2)中所建的直角坐标系求解,同桌之间交流答案是否一致,学生板书解答过程,并比较哪种方法更为简单,教师作出点评.
思路二
【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流解题思路,选择较为简单的方法独立完成解答过程,小组代表板书,教师在巡视中帮助有困难的学生,并对解答过程作出点评.
(板书)
解:如图(2)所示,设抛物线的表达式为y=ax2+k,将点(2.2,1.35),(3.2,0)代入可得:

解得
所以抛物线的表达式为y=-x2+.
当x=0时,y=.
答:水流最高处到地面的距离为m.
追问:
解决与抛物线有关的实际问题的一般方法是什么?
【师生活动】　学生独立思考后,小组交流,学生展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
解决这类实际问题的一般方法:
(1)当问题中抛物线在平面直角坐标系中时,合理地设出函数表达式,用待定系数法求出函数表达式,根据二次函数图像和性质解决实际问题;
(2)当问题中抛物线不在平面直角坐标系中时,常建立适当的平面直角坐标系,根据题意求出抛物线上点的坐标,用待定系数法求出二次函数表达式,再根据二次函数图像和性质解决问题.
[设计意图]　通过教师引导、小组合作交流,以问题串的形式分析如何建立二次函数模型,层层深入,经历知识的形成过程,培养学生的建模思想,提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力.
练习:
(课前导入二)如图所示,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求该校门的高度是多少.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计)

【师生活动】　学生独立完成,小组内交流答案,学生展示,教师点评.
解:以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,则抛物线过(0,0),(8,0),(1,4),(7,4)四点,设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
由题意得到方程组
解得
∴该抛物线的表达式为y=-x2+x,顶点坐标为,≈9.1.
答:校门的高约为9.1 m.
[设计意图]　进一步巩固建立适当的平面直角坐标系解决实际问题,同时首尾呼应,通过练习让学生体验成功的快乐.
[知识拓展]　解决与抛物线有关的实际问题的一般步骤:
(1)恰当地建立直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求函数的表达式;
(4)代入已知条件或点的坐标,求出函数表达式;
(5)利用二次函数表达式解决实际问题.

1.建立恰当的平面直角坐标系解决实际问题的步骤.
2.本节课用到的思想和方法.

1.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s=v2,一辆车速为100 km/h的汽车,刹车距离是 (　　)
　　A.1 m B.10 m C. 100 m D.200 m
解析:汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s=v2,当v=100时,s=100.故选C.
2.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,如图所示,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是　　　　m. 

解析:由题意得铅球着地的距离即是二次函数的图像与x轴正半轴的交点的横坐标,所以使-(x-4)2+3=0,解得x=10.故填10.
3.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?

解:(1)设所求抛物线的表达式为y=ax2(a≠0),
由CD=10 m,可设D(5,m),
由AB=20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,则B(10,m-3),
把D,B的坐标分别代入y=ax2得:
解得
∴y=-x2.
(2)由(1)知m=-1,
∴拱桥顶O到CD的距离为1 m,
∴=5(小时).
∴再持续5小时到达拱桥顶.

第1课时
例题讲解
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第42页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第43页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米,在如图所示的直角坐标系中,这个喷泉水流路线的函数表达式是 (　　)

A.y=-+3
B.y=-3+3
C.y=-12+3
D.y=-12+3
2.如图所示,图(2)是图(1)中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上,有AC⊥x轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为 (　　)

A.16米 B.米
C.16米 D.米
3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面 m,则水流落地点离墙的距离OB是 (　　)
A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

4.如图所示,拱桥的形状是抛物线,其函数关系式为y=-x2,当水面离桥顶的高度为 m时,水面的宽度为多少米?
【能力提升】
5.某塑料大棚的截面如图所示,曲线部分近似看作抛物线.现测得AB=6米,最高点D到地面AB的距离DO=2.5米,点O到墙BC的距离OB=1米.借助图中的直角坐标系,可求得墙高BC=　　　　米. 

【拓展探究】

6.如图所示,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8 m,宽AB为2 m.以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6 m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高4.2 m,宽2.4 m,这辆货运卡车能否通过该隧道?通过计算说明你的结论.
【答案与解析】
1.C(解析:∵一个喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距离为米,∴顶点坐标为,设抛物线的表达式为y=a+3,而抛物线还经过点(0,0),∴0=a+3,∴a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12+3.)
2.B(解析:∵AC⊥x轴,OA=10米,∴点C的横坐标为-10,当x=-10时,y=-(x-80)2+16=-(-10-80)2+16=-,∴C,∴桥面离水面的高度AC为米.)
3.B(解析:以地面所在直线为x轴,建筑物所在直线为y轴建立直角坐标系,设抛物线的表达式为y=
a(x-1)2+,把点A(0,10)代入,得a(0-1)2+=10,解得a=-,因此抛物线的表达式为y=-(x-1)2+,当y=0时,解得x1=3,x2=-1(不合题意,舍去),即OB=3 m.)
4.解:由题意得水面和y轴的交点坐标是,∴水面和拱桥的交点的纵坐标也是-,当y=-时,-=-x2,∴x2=25,∴x=5或x=-5,∴水面的宽度为5-(-5)=10(m).
5.2.4(解析:设y=ax2+2.5,把A(-5,0)代入得25a+2.5=0,解得a=-0.1,即y=-0.1x2+2.5.当x=1时,y=-0.1+2.5=2.4,即墙高BC为2.4米.)
6.解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,由对称轴是y轴得b=0,由EO=6,得c=6,又∵抛物线经过点D(4,2),∴16a+6=2,解得a=-,∴所求抛物线的表达式为y=-x2+6.　(2)取x=±2.4,代入(1)所求得的表达式中求得y=4.56>4.2,故这辆货运卡车能通过隧道.


本节课是经历二次函数模型解决实际问题的过程,重点是使学生实现“数学化”,即把实际问题抽象成数学问题,利用二次函数的图像和性质解决这个问题.例题讲解以问题串的形式,引导学生层层深入思考,由浅入深思考问题,然后小组合作交流,共同探究,建立二次函数模型,解决实际问题,然后归纳总结解决这类实际问题的一般步骤.做一做中抛物线型实际问题的解决,让学生在问题的引导下自主探究,放手让学生从不同角度建立直角坐标系,然后分析最简单的做法,激发了学生的学习兴趣,课堂气氛活跃.学生亲身经历知识的形成过程,提高了分析问题、解决问题的能力,提升了数学思维,同时体会了数学在实际问题中的应用.

本节课的重点是通过建立二次函数模型解决生活实际问题及建立适当的平面直角坐标系解决生活中的抛物线问题,教学过程中为了给学生活动的空间和时间,突出学生在课堂上的主体地位,课堂教学有些松散,学生在探究过程中出现的问题,教师没有及时点拨,在归纳总结过程中,学生语言表达较差,在以后的教学活动中,教师要注意根据课堂情况适当调整,不死搬教学设计,并注重培养学生归纳总结的能力.

建立二次函数模型解决实际问题是本章学习的一个难点,所以本节课的设计教师在课堂中引导学生判断、分析、归类,突出学生为主体,注重函数模型的建立,例题课件展示后,让学生在教师的引导下思考,小组内合作交流,共同完成解题思路,鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,学生在分析、观察、建模、发现新知、解决新知、归纳总结的过程中完成本节课的学习,让学生在思考、交流活动中共同解决实际问题,提高学生解决问题的能力和数学应用意识,同时培养学生的合作意识.

练习(教材第42页)
解:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,由题意得点B(-5.4,1.35),E(-1,1.35),F(0,0),∴解得∴抛物线的表达式为y=-0.25x2-1.6x.∴水流到达的最高点的纵坐标为=2.56,即水流最高处距地面2.56米.
习题(教材第42页)
A组
1.0.6[提示:以绳子的最低点为原点,沿水平方向的直线为x轴建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式为y=ax2.设绳子的最低点距地面的高度为h m,右边拴绳子的点为B,则头部与绳子的接触点为A,则A(-0.5,1.1-h),B(1,2.6-h),把点A,B的坐标代入抛物线的表达式,求得h=0.6.]
2.解:(1)以中间支柱所在的直线为y轴,这条直线与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,则抛物线的顶点为(0,6),拱桥右端点为(10,0).设抛物线的表达式为y=ax2+6,把点(10,0)代入,得0=100a+6,解得a=-,则抛物线的表达式为y=-x2+6.　(2)设EF的长度为m,则F(5,8-m),代入抛物线的表达式得8-m=-×25+6,解得m=.　(3)设点P(p,3.3)是抛物线上的点,代入抛物线表达式得3.3=-p2+6,解得p1=3,p2=-3.∴行车道最宽可铺设6米.
B组
解:(1)以点D为原点,直线OC为x轴建立直角坐标系,则O(-9,0),B(0,12).根据题意,得点B是抛物线的顶点,∴设抛物线的表达式为y=ax2+12.把点O(-9,0)代入,得0=81a+12,解得a=-.∴球的飞行路线所在抛物线的函数表达式为y=-x2+12.　(2)在Rt△AOC中,AC=OA=4,OC=AO·cos 30°=12,则CD=OC-OD=12-9=3.∴点A(3,4).把x=3代入函数表达式,得y=-×32+12=≠4,∴不能直接把球打入球洞A处.


建立数学模型,解决实际问题
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,运用二次函数可以解决许多实际问题,本节课的重点是经历二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会模型思想,发展应用意识,教学活动围绕把实际问题抽象成数学问题、建立二次函数模型,再利用二次函数的图像和性质解决问题,所以在教学设计中,教师以问题串的形式引导学生深入地分析题意,找到实际问题中的变量,根据两个变量之间的等量关系列出函数表达式,在学生合作交流后归纳总结,可以较为简单地突破难点,掌握重点,所以对实际问题的分析,有助于学生顺利解决实际问题.
建立适当的平面直角坐标系解决喷灌器喷出的水流问题是本节课的另一个重点内容,教师适当分析引导后,给学生充分的探究空间,学生通过自主学习、小组合作交流,从不同的角度探究建立平面直角坐标系,建立二次函数模型,通过图像上点的坐标解决实际问题,体会数形结合思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识.

　(2015·青岛中考)如图所示,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为 m.

(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?
(3)在抛物线形拱璧上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
　　解:(1)根据题意得B(0,4),C,
把B(0,4),C代入y=-x2+bx+c得:
解得
所以抛物线表达式为y=-x2+2x+4,
则y=-(x-6)2+10, 所以D(6,10),
所以拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),
当x=2或x=10时,y=>6, 所以这辆货车能安全通过.
(3)令y=8,则-(x-6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6-2,
则x1-x2=4, 所以两排灯的水平距离最小是4 m.
第课时



1.能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.
2.掌握利用顶点坐标解决实际问题中最大值(或最小值)问题的方法.
3.能够利用二次函数的顶点坐标解决实际问题中的最大(小)利润问题.

1.经历解决生活中的实际问题,体会建模思想,发展学生应用意识.
2.经历把实际问题抽象成数学问题的过程,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,培养学生数学思维能力的提高.

1.通过将二次函数的最值的知识灵活运用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流共同探究建立二次函数模型解决实际问题的过程,提高合作意识,培养创新精神.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值.

【重点】
利用顶点坐标解决实际问题中最大值(或最小值)问题的方法.
【难点】
根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型的过程.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P43~46.


导入一:
复习提问:
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,图像开口向　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值,最值是　　　　;当a<0时,图像开口向　　　　,当x=　　　　时,y有最　　　　值,最值是　　　　. 
2.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=6x2+12x;(2)y=-4x2+8x-10.
3.在实际问题中如何建立二次函数表达式?
【师生活动】　学生思考后回答问题1,3,教师点评.学生独立完成问题2的解答,小组内交流答案.
导入二:
(课件展示)

从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式为h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,学生展示成果,教师点评,导入新课,板书课题.
[设计意图]　通过复习二次函数的性质及配方法将二次函数一般式化成顶点式,为本节课学习解决实际问题中的最值问题做好铺垫.通过简单的实际问题的最值的解决导入新课,激发学生的学习兴趣,感受数学与实际生活之间的联系.

　　[过渡语]　将二次函数的一般式转化成顶点式,根据顶点坐标能求最值,二次函数的这一特征,使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具.
例题讲解
(课件展示)

　(教材第44页例2)用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架,其横档和竖档分别与AD,AB平行.设AB=x m,当x为多少时,矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少平方米?
思路一
思考:
1.当矩形的宽AB=x m时,如何用包含x的代数式表示矩形的长BC?
2.矩形的面积S与矩形的宽x之间的等量关系是什么?
3.你能写出矩形的面积S与矩形的宽x之间的函数表达式吗?
4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.
5.该二次函数有没有最大值?最大值是多少?此时x的值是多少?
【师生活动】　学生在教师的引导下思考、交流、回答,然后独立完成解答过程,小组代表板书,教师点评,师生共同归纳一般解题思路.
(板书)
解:∵S=·x=-x2+8x=-(x-3)2+12,
且a=-<0,
∴当x=3时,S有最大值,且=12.
答:当x=3时,矩形框架ABCD的面积S最大,最大面积为12 m2.
思路二
　　[过渡语]　分析题意,找到问题中的等量关系,列出函数表达式,利用二次函数的性质可以解决该类求最值的实际问题.
【师生活动】　学生独立思考后,给学生足够的时间进行小组内交流,小组代表板书过程,教师在巡视中帮助有困难的学生,点评学生的解答,师生共同归纳一般解题思路.
(板书)
解答同思路一.
(课件展示)
利用二次函数解决生活实际中最值问题的一般方法:
1.根据题意找等量关系,列出二次函数的表达式,求出符合题意的自变量的取值范围.
2.在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值.
[设计意图]　借助问题,指导学生解决此类问题的基本过程和方法,加深对本题数量关系的理解,便于他们今后运用这一数学模型解决实际问题,培养学生归纳总结的能力,养成良好的数学思维习惯.
　　[过渡语]　我们一起探究了和面积有关的实际问题中的最值问题,如何解决销售问题中的最值问题呢?
(课件展示)
　(教材第44页例3)一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?
思路一
思考:
题目涉及哪些变量?哪个量是自变量?哪些量随之发生了变化?
(利润、产量和档次是变量,档次是自变量,利润、产量随之发生变化)
师生共同分析:
设产品的档次为x档,则每件产品的利润y也随之变化.
(1)若产品是第2档次,则产量减少　　　　件,此时产量为　　　　件,每件产品的利润增加　　　　元,此时每件产品的利润为　　　　元,产品总利润为　　　　元. 
(2)若产品是x档,则产品提高了　　　　档,产量减少　　　　件,此时产量为　　　　件,每件产品的利润增加　　　　元,每件产品的利润为　　　　元,产品总利润为　　　　元. 
(3)列出利润w与档次x之间的函数表达式为　　　　. 
(4)将该函数表达式化成顶点式为　　　　. 
(5)当档次x=　　　　时,利润w的最大值为　　　　. 
【师生活动】　学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表板书解答过程,教师点评.
(板书)
解:设生产第x档次的产品时,每天所获得的利润为w元,则:
w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)]
=(10+2x)(84-4x)
=-8x2+128x+840
=-8(x-8)2+1352.
当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
答:该工艺师生产第8档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为1352元.
思路二
(课件展示)
思考:
1.题目中涉及哪些变量?哪个是自变量?哪些量随之发生了变化?哪个量是函数?
2.当产品提高1个档次即产品是第2档次时,产品产量是多少件?每件产品的利润是多少?此时产品利润是多少?
3.当产品为第x档次时,产品提高了多少个档次?此时产品产量是多少件?每件产品的利润是多少?产品利润y是多少?
4.你能写出利润y与档次x之间的函数关系式吗?
5.写出的函数是什么函数?这个函数有最大值吗?若有,最大值y是多少?此时x的值是多少?
6.你能求出生产第几档次的产品,可使每天获得的利润最大,最大利润为多少元?
【师生活动】　学生独立思考后小组合作交流,组内解决问题,教师巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示板书后,教师进行点评.
(板书)
同思路一.
[设计意图]　通过教师引导或小组合作交流,以问题串的形式分析利润问题如何建立二次函数模型,层层深入,经历知识的形成过程,培养学生的建模思想,提高学生分析问题、解决问题的能力及数学思维能力.
归纳总结:
　　[过渡语]　我们一起探究了利用二次函数求实际问题中的最大(或最小)值,你能归纳总结出解决这类问题的一般步骤吗?
【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言,其他组成员补充,教师补充归纳总结.
(课件展示)
利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤:
1.认真分析题意,找两个变量之间的等量关系;
2.根据等量关系写出二次函数的表达式,根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
3.在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
[设计意图]　通过小组合作交流,师生共同归纳解答实际问题的一般步骤,培养学生的合作精神及归纳总结能力.
做一做
(课件展示)
某种燃气灶的开关旋钮可从0°旋转到90°.为测试开关旋钮在不同角度的燃气用量,在相同条件下,用开关旋钮的5个不同角度分别烧开一壶水,得到下列对应值:
开关旋钮旋转过的角度
20°
50°
70°
80°
90°
烧开一壶水所用
燃气量(dm3)
73
67
83
97
115
　　(1)若所用燃气量是开关旋钮转过角度的二次函数,求这个二次函数的表达式;
(2)当开关旋钮转过多少度时,烧开一壶水所用燃气量最少?
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,学生代表展示结果,教师点评.
[设计意图]　通过练习,进一步巩固利用二次函数性质解决实际问题中的最值问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展]　1.求二次函数最值最常用的方法有两种:
(1)配方法:y=ax2+bx+c=a+c=a-+c=a+.
若a>0,则当x=-时,y最小值=;
若a<0,则当x=-时,y最大值=.
(2)公式法:直接利用上述关系式经过配方得出结论.
2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
3.数形结合思想在本节课通过二次函数求实际问题中的最值问题中得到了广泛的应用.

1.利用二次函数解实际问题中最值的关键是准确列出函数表达式.
2.把实际问题转化为数学问题,建立二次函数模型,利用二次函数的图像和性质解决最值问题.
3.函数思想、数形结合思想都是很重要的数学思想,运用这些思想可以解决生活中的有关实际问题.

1.如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 (　　)
　　A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2

解析:设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.
2.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°, AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,则另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是 (　　)
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2

解析:根据题意得P沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,设运动时间为t s,∴AP=2t,AQ=t,S△APQ=t2,∵0 3.出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=　　　　,一天出售该种手工艺品的总利润y最大. 
解析:由题意得y=(8-x)x,即y=-x2+8x,∴当x=-=-=4时,y取得最大值.故填4.
4.在距离地面2 m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:s=v0t-gt2(其中g是常数,通常取10 m/s2).若v0=10,则该物体在运动过程中最高点距地面　　　　m. 
解析:把g=10,v0=10代入s=v0t-gt2,得s=-5t2+10t=-5(t-1)2+5,它是开口向下的一条抛物线,所以最大值为5,此时离地面的高度为5+2=7(m).故填7.
5.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元.
商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y=(10-x-8)(100+100x),
即y=-100x2+100x+200,
配方得y=-100+225.
因为x=时,满足0≤x≤2,所以当x=时,函数取得最大值,最大值为225.
所以将这种商品的售价降低元时,能使销售利润最大.

第2课时
例题讲解
做一做

一、教材作业
【必做题】
教材第45页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第46页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知二次函数的图像(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是 (　　)

A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3
D.有最小值-1,无最大值
2.小强在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数h=3.5t-4.9t2(t的单位:s,h的单位:m)可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化关系.则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是 (　　)
A.0.71 s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s
3.已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆,则引爆需要的时间为 (　　)
A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s
4.某商店经营一种水产品,成本为每千克40元,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种产品的销售情况,要使获得的利润最多,销售单价应定为 (　　)
A.50元 B.60元 C.70元 D.80元
5.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是s=60t-1.5t2,则飞机着陆后滑行　　　　秒才能停下来. 
6.小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是　　　　cm2. 
7.用长为20 cm的铁丝,折成一个矩形,设它的一边长为x cm,面积为y cm2.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)当x为多少时,矩形的面积最大,最大面积是多少?
【能力提升】

8.在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐助给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元/个)之间的对应关系如图所示.
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的单价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/个)之间的函数关系式;
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.

9.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
【拓展探究】
10.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大日获利是多少元?
【答案与解析】
1.C(解析:观察图像中抛物线有最低点(1,-1),所以二次函数有最小值-1,当x=3时,函数值最大,为3.)
2.D(解析:h=3.5t-4.9t2=-4.9+,∵-4.9<0,∴当t=≈0.36时,h最大.)
3.B(解析:h=-t2+20t+1=-(t-4)2+41,∵-<0,∴这个二次函数图像开口向下.∴当t=4时,升到最高点.)
4.C(解析:设涨价x元时,可获最大利润.根据题意得y=(50+x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000,可得x=-=-=20,即涨20元时可获得最大利润,此时单价为50+20=70(元).)
5.20(解析:s=60t-1.5t2=-1.5(t2-40t+400-400)=-1.5(t-20)2+600,即当t=20时,飞机才能停下来.)
6.4(解析:设矩形的一边长为x cm,则相邻边长为 cm,矩形的面积=x=-x2+4x,S最大===4.)
7.解:(1)已知一边长为x cm,则相邻边长为(10-x) cm.则y=x(10-x),化简可得y=-x2+10x.　(2)y=10x-x2=-(x2-10x)=-(x-5)2+25,所以当x=5时,矩形的面积最大,最大为25 cm2.
8.解:(1)由题意得y是x的一次函数,设y=kx+m,图像过点(10,300),(12,240),则解得∴y=-30x+600,当x=14时,y=180;当x=16时,y=120,即点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600的图像上.∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.　(2)w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600.　(3)由题意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15.w=-30x2+780x-3600的图像对称轴为x=-=-=13.∵a=-30<0,∴抛物线开口向下,当x≥15时,w随x的增大而减小,∴当x=15时,w最大=1350,即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.
9.解:(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍,∴AE=2BE,设BE=a,则AE=2a,∴8a+2x=80,∴a=-x+10,2a=-x+20,∴y=x+x=-x2+30x,∵a=-x+10>0,∴x<40,则y=-x2+30x(0 10.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b ,根据题意得解得∴y=-2x+200 (30 ≤x≤60).　(2)w=(x-30)·(-2x+200)-450 =-2x2+260x-6450=-2(x-65)2+2000.　(3)w=-2(x-65+2000,∵30≤x≤60,∴x=60时,w有最大值,为1950元.∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,为1950元.


本节课是用二次函数性质解决实际问题中的最值问题,通过复习二次函数的性质及用配方法将二次函数一般式化成顶点式,为本节课学习解决实际问题中的最值问题做好铺垫.课堂上学生可以体会到数学运用于生活中多个领域,将实际问题抽象成二次函数问题,确定二次函数表达式,利用二次函数的顶点求解.教学过程中 ,通过设计一系列问题,学生思考后合作交流解决问题,激发学生的探索精神和求知欲望,同时营造一种宽松、和谐、积极民主的学习氛围,使每位学生都成为问题的探索者、研究中的发现者,增强学生解决问题的能力及学好数学的信心.

本节课的重点是建立二次函数模型,运用二次函数性质解决实际问题中的最值问题,进一步培养数学应用意识,在课堂上虽然有意识让学生主动探索、讨论,寻求问题解决的途径,但是在实施过程中,教师对问题的解决还是急于求成,尤其是学生探索过程中出现困难时,教师急于引导解决,在以后的课堂上,要给学生充足的探索时间,给学生更为广阔的思维空间,对学生的困难教师加以引导、帮助,让学生成为课堂的主体.

本节课的重点是经历探索实际问题中的最值问题,体会数学在实际问题中的应用,难点是弄清题意,建立二次函数模型,确定函数表达式.在教学活动设计成提出问题——学生思考——小组合作——学生展示——教师点评的过程,力求充分体现学生的主体地位,发挥教师的主导作用.教师不仅仅充当知识传授者的角色,更重要的是培养学生的自学能力和学习习惯,教会他们怎样学习,怎样思考,从而使教学工作收到事半功倍的效果.

练习(教材第45页)
解:(1)2-x(0 (3)∵a=2>0,∴S有最小值,其最小值为=2.　(4)当x=-=1,即C是AB的中点时S取最小值.
习题(教材第45页)
A组
1.解:(1)设养鸡场的面积为y,根据题意得y=·x=-+20x.当x==30时,养鸡场的面积最大.　(2)根据题意得y=·x=-x2+x,当x==30时,养鸡场的面积最大.
2.解:(1)y=(200-x)(x-120)=-x2+320x-24000.　(2)令-x2+320x-24000=1500,解得x1=170,x2=150.∴当日销售利润是1500元时,产品的售价是170元/件或150元/件,且当售价是170元/件时,日销量是30件;当售价是150元/件时,日销量是50件.　(3)∵y=(200-x)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600,∴售价定为160元/件时日销售利润最大,最大日销售利润是1600元.
B组
1.解:(1)设FE交DA于点M,GE交AB于点N,则GN⊥AB于点N,FM⊥AD于点M.∵E为HK的中点,∴N为AK的中点,M为AH的中点,即AN=AK=6 m,AM=AH= m,∴GE=40-=(m),EF=52-6=46(m),∴S矩形EFCG=GE·EF=×46=1633(m2).　(2)设=x,休闲广场的面积为y,则=x,即EN=9x.∵=x,∴=1-x,∴=1-x,∴EM=12(1-x),∴y=(40-9x)[52-12(1-x)]=-108x2+120x+1600.当x==时,y有最大值,为.
2.解:根据题意知y=[160-20×(x-7)]×(x-5)=-20x2+400x-1500=-20(x-10)2+500.∴面包单价定为10角时,每天销售这种面包获得的利润最大,最大利润为500元.


建立数学模型,解决实际问题
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,运用二次函数可以解决许多实际问题,本节课的重点是解决利润问题中的最值问题,这个最值实际上就是二次函数图像的顶点的纵坐标,这类函数没有给出二次函数模型,需要把实际问题抽象成二次函数问题,即把实际问题中变量之间的关系用表达式表示出来,确定二次函数模型,再利用二次函数的顶点解决.本节课的难点是用二次函数表示变量之间的关系建立函数模型,课堂上教师以问题串的形式引导学生深入地分析题意,给学生充分的探究空间,通过小组内合作交流,找到实际问题中的变量,根据两个变量之间的等量关系列出函数表达式,可以较为简单地突破难点,掌握重点,所以教师引导学生对实际问题的分析,让学生亲身经历知识的形成过程,培养学生的建模思想,提高学生分析问题、解决问题的能力及数学思维能力,提高学生的应用意识.

　(2015·梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表.
售价(元/件)
100
110
120
130
…
月销量(件)
200
180
160
140
…
　　已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是　　　　元;②月销量是　　　　件;(直接写出结果) 
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
解:(1)①(x-60)　②(-2x+400)
(2)由题意得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,
∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
　(2015·泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情景:

请根据上面的信息,解决问题.
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
解:(1)由题意可得BC=69+3-2x=72-2x.
(2)小英的说法正确.
矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,
∵72-2x>0,∴x<36,
∴0 此时x≠72-2x,
∴面积最大的不是正方形.

　(2015·南京中考)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图所示的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130 kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元.
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1=k1x+b1,∵y1=k1x+b1的图像过点(0,60)与(90,42),∴解得
∴这个一次函数的表达式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90).
(3)设y2与x之间的函数关系式为y2=kx+b,
∵y2=kx+b的图像经过点(0,120)与(130,42),
　　∴解得
∴这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120(0≤x≤130),
设产量为x kg时,获得的利润为W元,
当0≤x<90时,W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
当90≤x≤130时,W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535,
当x=90时,W=-0.6(90-65)2+2535=2160,
由-0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴90≤x≤130时,W≤2160,因此当该产品产量为75 kg时,获得的利润最大,最大利润为2250元.
第课时



1.能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.
2.掌握利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题.

1.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,体会数学建模思想的构建,提高运用意识.
2.经历“实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题”的过程,体会二次函数与一元二次方程的联系.
3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力.

1.通过将二次函数与一元二次方程之间的联系灵活运用于实际,让学生体会学习数学的价值,激发学生学习数学的兴趣.
2.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,提高学生的合作意识,培养创新精神.
3.在数学活动的探究过程中,体会数形结合思想、函数思想、建模思想在数学中的应用.

【重点】
利用二次函数与一元二次方程之间的关系解决实际问题.
【难点】
根据实际问题建立数学模型的过程.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P46~49.


导入一:
复习提问:
1.二次函数解决实际问题的一般步骤是什么?
2.二次函数与一元二次方程有什么关系?
3.如何求二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m的交点坐标?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评归纳.
导入二:
(课件展示)
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知商品的进价是40元,你能写出利润y与售价x之间的函数表达式吗?一星期能获得6125元的利润吗?
【师生活动】　学生独立完成后小组交流答案,教师进行点评,强调题目中等量关系.
[设计意图]　通过复习提问二次函数的建模过程及二次函数的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,建立二次函数模型解决实际问题导入,体会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题,学生易于理解和掌握本节课的重点.

　　[过渡语]　我们上两节课经历了将实际问题转化为二次函数问题的过程,二次函数与一元二次方程有紧密的联系,我们一起探究二次函数与一元二次方程有关的实际问题.
做一做
(课件展示)
汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,这段距离叫做刹车距离.刹车距离是分析和处理道路交通事故的一个重要因素.有一个道路交通事故案例:甲、乙两车在限速为40 km/h的湿滑弯道上相向而行,待望见对方,同时刹车时已经晚了,两车还是相撞了.事后经现场勘察,测得甲车的刹车距离为12 m,乙车的刹车距离超过10 m,但小于12 m.根据有关资料,在这样的湿滑路面上,甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速x (km/h)之间的关系为s乙=x.

(1)甲车刹车前的行驶速度是多少千米/时?甲车是否违章超速?
(2)乙车刹车前的行驶速度在什么范围内?乙车是否违章超速?
【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流解题思路,学生独立完成解答过程的同时,小组代表展示解答过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评.
(板书)
解:(1)将s甲=12代入=0.1x+0.01x2,得
12=0.1x+0.01x2,
化简,得x2+10x-1200=0,
解得x1=30,x2=-40(舍去).
即甲车刹车前的行驶速度为30 km/h,小于40 km/h,不违章超速.
(2)∵10 ∴10 ∴40 ∴乙车刹车前的行驶速度在40 km/h~48 km/h,乙车违章超速.
追问:
已知二次函数的某个函数值,如何求解对应的自变量的值?
【师生活动】　学生思考回答,教师点评归纳.
结论:
已知二次函数y=ax2+bx+c的某一个函数值y=m,就可利用一元二次方程ax2+bx+c=m确定与它对应的x的值.
[设计意图]　经历实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题的探究过程,经历知识的形成过程,感受数学与生活之间的联系,提高将实际问题转化为数学问题的能力.
例题讲解
(课件展示)

　(教材第47页例4) 如图所示,已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E,连接AE,作EF⊥AE,交CD边于点F.
(1) CF的长可能等于吗?
(2)点E在什么位置时,CF的长为?
思路一
【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,学生独立完成解答过程,小组代表板书展示,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,规范学生的板书过程,归纳解题思路.
(板书)
解:设BE=x,CF=y.
∵∠BAE=∠CEF,
∴Rt△ABE∽Rt△ECF.
∴=,即=.
∴y=-x2+x=-+.
(1)∵y最大=,
∴CF的长不可能等于.
(2)设-x2+x=,即16x2-16x+3=0.
解得x1=,x2=.
∴当BE的长为或时,均有CF的长为.
思路二
思考:
1.随着点E的运动线段CF的长是否发生变化?
2.线段CF所在的Rt△CEF与Rt△BAE有什么关系?
3.如何证明Rt△CEF与Rt△BAE相似?
4.由相似三角形的性质能得到线段BE与CF的数量关系吗?
5.设BE=x,CF=y,你能写出y与x的函数关系式吗?
6.若已知线段CF的长,能否求出线段BE的长?
【师生活动】　学生根据教师提出的问题思考、小组内合作交流,然后独立完成解答过程,小组代表板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
同思路一.
[设计意图]　通过建立函数关系式,转化为二次函数问题,进而转化为一元二次方程问题来求解的过程,体会转化思想在数学中的应用,提高数学分析问题、解决问题的能力,提高数学思维能力的提高.
[知识拓展]　二次函数与一元二次方程有着紧密的联系,已知函数y取某个值m,求相应的自变量x的值时,实际就是把二次函数问题转化为一元二次方程问题,从图像上看,就是求直线y=m与二次函数图像的交点坐标.

1.本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题、几何问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
2.实际问题、几何问题中,通过建立函数关系式,转化为二次函数问题,进而转化为一元二次方程问题解决.
3.函数思想、数形结合思想、转化思想是数学中重要的数学思想,运用这些思想可以解决有关问题.

1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,在如图所示的平面直角坐标系中,其函数的关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为 (　　)

　　A.-20 m B.10 m
C.20 m D.-10 m
解析:根据题意,把y=-4直接代入表达式y=-x2,即可解得x=±10,所以A(-10,-4),B(10,-4),即可得水面宽度AB为20 m.故选C.
2.如图所示的是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7 m,则DE的长为　　　　m.  

解析:如图所示,以点C为原点建立平面直角坐

标系,依题意,得B(18,-9),设抛物线的表达式为y=ax2,将B点坐标代入,得a=-.∴抛物线的表达式为y=-x2,依题意得D,E点纵坐标为y=-16,代入y=-x2,得-16=-x2,解得x=±24.∴D点横坐标为-24,E点横坐标为24,∴DE的长为48 m.故填48.
3.如图所示,抛物线的表达式为y=-x2+6x,矩形边AB在x轴上,C,D在抛物线上(第一象限).求矩形周长的最大值.

解:设OA=m,把x=m代入抛物线y=-x2+6x中,得AD=-m2+6m,
把y=-m2+6m代入抛物线y=-x2+6x中,得-m2+6m=-x2+6x,
解得x1=m,x2=6-m.
∴C的横坐标是6-m,故AB=6-m-m=6-2m,
∴矩形的周长是C=2(-m2+6m)+2(6-2m)=-2m2+8m+12.
当m=-=2时,C有最大值,为=20.
∴矩形周长的最大值为20.

第3课时
做一做
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第48页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第49页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图所示),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是 (　　)

A.3.5 m B.4 m
C.4.5 m D.4.6 m
2.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时它就会及时停产,现有一生产季节性产品的企业,一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36,那么该企业一年中应停产的月份是 (　　)
A.1月,2月 B.1月,2月,3月
C.3月,12月 D.1月,2月,3月,12月

3.丁丁推铅球的出手高度为1.6 m,铅球经过的路线是抛物线y=-0.1x2经过平移后的一段,球飞行的最大高度是2.5 m,在如图所示的直角坐标系中,可求得铅球的落点与丁丁的距离为　　　　m. 
4.廊桥是我国古老的文化遗产,如图所示的是某座抛物线形的廊桥示意图,已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是　　　　米.(精确到1米) 


5.张强在一次投掷铅球时,刚出手时铅球离地面的高度为 m,铅球运行的水平距离为4 m时,达到最高,高度为3 m,如图所示.

(1)请确定这个抛物线的顶点坐标;
(2)求抛物线的函数关系式;
(3)张强这次投掷成绩大约是多少?
6.某商场将进价为30元的书包以40元售出, 平均每月能售出600个,调查表明:这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.
(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元之间的函数关系式;
(2)每月最大利润是否为10000元?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并指出此时书包的售价应定为多少元.
(3)请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润.
【能力提升】
7.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P (元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?

8.如图所示,等腰直角三角形ABC的直角边AB=2,点P,Q分别从A,C两点同时出发,以相等的速度作直线运动,已知点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.
(1)设 AP的长为x,△PCQ的面积为S,求出S关于x的函数关系式;
(2)当AP的长为何值时,S△PCQ= S△ABC ?
【拓展探究】
9.如图所示,△ABC的顶点坐标分别为A(-6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2-10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.

(1)求证四边形ABDC是菱形,并求点D的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案与解析】
1.B(解析:把y=3.05代入y=-x2+3.5中,得x1=1.5,x2=-1.5(舍去),∴l=1.5+2.5=4(m).)
2.D(解析:令y=0,则-n2+15n-36=0,∴n2-15n+36=0,∴(n-3)(n-12)=0,∴n1=3,n2=12,∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,∴n=1和n=2时,y<0,∴该企业一年中应停产的月份是1月,2月,3月,12月.)
3.8(解析:由题意知点(0,1.6)在抛物线y=-0.1(x-h)2+2.5上,所以1.6=-0.1(0-h)2+2.5, 解这个方程,得h=3或h=-3(舍去),所以该抛物线的表达式为y=-0.1(x-3)2+2.5,当y=0时,有-0.1(x-3)2+2.5=0,解得x1=8,x2=-2(舍去),所以铅球的落点与丁丁的距离为8 m.)
4.18(解析:由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”,可知y=8,把y=8代入y=-x2+10,得x=±4,∴由两点间距离公式可求出EF=8≈18(米).)
5.解:(1)由题意知铅球运行的水平距离为4 m时,达到最高,高度为3 m,故能知道顶点坐标为(4,3).　(2)设抛物线的函数关系式为y=a(x-h)2+k,由题意知h=4,k=3,把代入表达式可得a=-,所以y=-(x-4)2+3.　(3)令y=0,解得x1=10,x2=-2(舍去),故张强这次投掷成绩大约是10 m.
6.解:(1)∵每个书包涨价x元,∴y=(40-30+x).(600-10x)=-10x2+500x+6000.　(2)∵y=-10x2+500x+6000=-10(x2-50x)+6000=-10(x2-50x+252)+6250+6000=-10(x-25)2+12250,∴当x=25时,y 有最大值12250,即当书包售价为65元时,每月最大利润为12250元,10000元不是每月最大利润.　(3)解方程-10x2+500x+6000=0 得,x1=60,x2=-10,即当涨价60元时和降价10元时利润y 的值为0,由该二次函数的图像性质可知,当涨价大于60元时以及降价超过10元时利润y 的值为负,∴书包售价在大于30元且低于100元时商场就有利润.
7.解:(1)由题意得y =700-20(x -45)=-20x +1600.　(2)P=(x-40)(-20x+1600)=-20x2+2400x-64000=-20(x-60)2+8000,∵x≥45,a=-20<0,∴当x=60时,P最大值=8000,即当每盒售价定为60元时,每天销售的利润P(元)最大,最大利润是8000元.　(3)由题意得-20(x-60)2+8000=6000,解得x1=50,x2=70.∵抛物线P=-20(x-60)2+8000的开口向下,∴当50≤x≤70时,每天销售粽子的利润不低于6000元.又∵x≤58,∴50≤x≤58.∵在y=-20x+1600中,k=-20<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=58时,y最小值=-20×58+1600=440,即超市每天至少销售粽子440盒.

8.解:(1)①当点P在线段AB上时(如题干图),S△PCQ=CQ·PB.∵AP=CQ=x,PB=2-x,∴S△PCQ=x(2-x),即S=(2x-x2)(02).　(2)S△ABC=×2×2=2.①令(2x-x2)=2,即x2-2x+4=0,此方程无解;②令(x2-2x)=2,即x2-2x-4=0,解得x=1±(舍去负值).故当AP的长为1+时,S△PCQ=S△ABC.
9.(1)证明:∵A(-6,0),B(4,0),C(0,8),∴AB=6+4=10,AC==10,∴AB=AC,由翻折可得,AB=BD,AC=CD,∴AB=BD=CD=AC,∴四边形ABCD是菱形,∴CD∥AB,∵C(0,8),∴点D的坐标是(10,8).　(2)解:∵y=ax2-10ax+c,∴对称轴为直线x=-=5.设M的坐标为(5,n),直线BC的表达式为y=kx+b,∴解得∴y=-2x+8.∵点M在直线y=-2x+8上,∴n=-2×5+8=-2.又∵抛物线y=ax2-10ax+c经过点C和M,∴解得∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+8.　(3)解:存在.理由如下:由题意可知,P在抛物线y=x2-4x+8上,且到BD,CD所在直线距离相等,所以P在二次函数与BD,CD所在的直线的夹角平分线的交点上,而BD,CD所在的直线的夹角平分线有两条:一条是AD所在的直线,表达式为y=x+3,另外一条是过D且与BC平行的直线,表达式为y=-2x+28,由解得(舍)或由解得(舍)或∴当△PBD与△PCD的面积相等时,点P的坐标为P1,P2(-5,38).


本节课中通过复习二次函数的建模过程及二次函数的有关知识,为本节课探究实际问题及几何问题中二次函数与一元二次方程的关系做好铺垫.在教师问题的引导下,做一做中,学生经历实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题的探究过程,经历知识的形成过程,感受数学与生活之间的联系,提高将实际问题转化为数学问题的能力.例题讲解中,教师引导学生将几何问题转化为代数问题来解决,通过教师提出的问题,学生通过小组合作交流,共同建立二次函数关系式,将几何问题转化为二次函数问题,进而转化为一元二次方程问题解决.在整个教学过程中,学生积极参加,提高了学生分析问题、解决问题的能力及应用意识.

在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,对例题讲解问题的解决,学生建立二次函数关系式有困难,教师需要适当引导和给学生充足的时间思考、讨论,教师急于给学生讲解思路,部分学生理解不透彻,对同种类型习题的解题思路不够明确.在以后的教学设计中,教师应注重培养学生分析问题、解决问题的能力.

本节课的重点是在实际问题及几何问题中建立二次函数模型,将二次函数问题转化为一元二次方程解决,建立函数关系是本节课的难点,在教学设计中,教师将探究过程设计成问题串的形式,引导学生分析题意,找等量关系,建立二次函数模型,联系一元二次方程的有关知识解决,在引导学生分析的过程中,给学生足够的时间和空间进行思考、交流、归纳,通过归纳解题思路达到举一反三的目的,让学生在探究过程中提高解题能力,提高数学思维能力.

练习(教材第47页)
解:(1)略.　(2)略.　(3)令v2+v=9,解得v1=90,v2=-100(舍去).∴s=9 m时,车速为90 km/h.
习题(教材第48页)
A组
1.解:(1)令-x2+x+=0,解得x1=10,x2=-2(舍去).即铅球推出的水平距离为10 m.　(2)∵=3<4,∴铅球行进的高度不能达到4 m.
2.解:(1)设y=kx+b,由题意得解得∴y=-100x+10000.　(2)w=(-100x+10000)(x-60)=-100x2+16000x-600000,即每天的利润与售价之间的函数关系式为w=-100x2+16000x-600000.　(3)令-100x2+16000x-600000=40000,解得x1=x2=80.∴售价为80元/件时每天获得的利润为40000元.
B组
解:(1)根据题意,得=,即=,∴AM=y.又∵AM+MD=AD,∴y+x=120.∴y=-x+160.　(2)S矩形EFGH=x·y,由(1)得y=-x+160,∴S矩形EFGH=x·=-x2+160x.当x==60时,S有最大值,为4800.　(3)由(2)知矩形EFGH的面积最大时,x=60,y=80.当以EH为底面圆周长时,设底面半径为r1 cm,则2πr1=60,r1=,V1=πh1=π××80=(cm3).当以HG为底面圆周长时,设底面半径为r2 cm,则2πr2=80,r2=,V2=πh2=π××60=(cm3).∵V1

建立函数模型,体会数学思想方法
二次函数与一元二次方程有着紧密的联系,已知函数值求自变量的值时,实际上就是将二次函数的问题转化为一元二次方程的问题.本节课是在实际问题及几何问题中建立二次函数模型,转化为二次函数问题,进而转化为一元二次方程问题求解,在探究过程中,重难点的突破取决于学生在探究过程中是否积极、主动,是否参与小组交流谈论,是否对学生的展示提出质疑,所以本节课的做一做设计成学生独立思考、合作交流、学生展示、教师点评的过程,让学生经历“实际问题——二次函数问题——一元二次方程问题”的过程,体会二次函数与一元二次方程的联系.在例题讲解的过程中,学生在教师设计的层层问题的引导下,独立思考回答,小组内交流解题思路,教师规范解答,让学生体会在几何问题中建立二次函数模型的过程,运用一元二次方程知识求解的过程,让学生体会数学建模思想、转化思想及数形结合思想在数学中的应用.在教学过程中,让学生在课堂中充分发挥主体地位,经历知识的形成过程,达到逐步提高数学分析问题、解决问题的能力及综合运用数学知识解决实际问题的能力.

　某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元.
解:(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100(0 (2)y=-10(x-5.5)2+2402.5.
∵a=-10<0,∴当x=5.5时,y有最大值2402.5.
∵0 当x=5时,50+x=55,y=2400,
当x=6时,50+x=56,y=2400.
∴当售价定为每件55元或56元时,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.
(3)当y=2200时,-10x2+110x+2100=2200,
解得x1=1,x2=10.
当x=1时,50+x=51,
当x=10时,50+x=60.
∴当售价定为每件51元或60元时,每个月的利润为2200元.
当每件商品的售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元.

30.5　二次函数与一元二次方程的关系





1.理解二次函数与一元二次方程的关系.
2.理解抛物线与x轴交点与一元二次方程的根的关系,会判断抛物线与x轴的交点个数.
3.利用二次函数的图像求一次函数的近似解.

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数的图像与x 轴交点的个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.通过利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解,从解的精确度上体会逼近的思想.

1.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创造,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.
2.在探究活动中,通过学生共同观察和讨论,培养学生合作交流意识.

【重点】
理解二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
一元二次方程与二次函数之间的转化,渗透数形结合思想.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P50~53.


导入一:
复习提问:
1.求一次函数y=2x-4图像与x轴交点的坐标.
2.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系是什么?
【师生活动】　学生回答,教师补充.
导入二:
思考并回答下列问题:
1.下列方程与函数形式上有何联系?
x2-2x-3=0,y=x2-2x-3
(方程左边的式子就是函数表达式中“=”右边的式子)
2.方程的根与函数图像有什么关系?
(函数值y=0时x的值,即函数图像与x轴交点的横坐标.)
导入三:
(课件展示)
在10 m高的平台上,将一个小球以12 m/s的速度竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其距离地面的高度h(m)与抛出后的时间t(s)满足h=-5t2+12t+10,则抛出多长时间后,小球距离地面的高度为14 m?
[设计意图]　通过对旧知识的回顾,对本课的教学起到铺垫作用,通过导入一复习一次函数与一元一次方程的关系,类比可得出导入二的结论,使新旧知识相结合,易于学生理解和掌握.同时通过实际问题导入新课,感受数学与实际问题紧密联系,并渗透一元二次方程与二次函数的关系.

　　[过渡语]　二次函数和一元二次方程有着紧密的联系,现在我们就来探究它们之间的关系.
观察与思考
(课件展示)
如图所示,已知同一直角坐标系中抛物线y=x2+2x-3,y=x2-6x+9,y=x2-4x+6.

思路一
思考:
(1)这三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况分别是怎样的?
(2)当y=0时,这三条抛物线的表达式对应的方程分别是x2+2x-3=0,x2-6x+9=0,x2-4x+6=0,它们根的情况分别是怎样的?
(3)上述三个方程根的情况与它们所对应的三条抛物线和x轴相交(或不相交)的情况具有怎样的关系?
(4)抛物线y=ax2+bx+c和x轴的交点有几种情况?由什么决定的?
(5)抛物线y=ax2+bx+c和x轴相交(或不相交)的情况与一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况有什么关系?
(6)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间有什么关系?
【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示,教师点评,师生共同归纳总结,完成下列表格.
(课件展示)
1.填表:
抛物线y=ax2+bx
+c与x轴的位置关系
有两个
公共点
有一个
公共点
无公
共点
一元二次方程ax2
+bx+c=0根的情况
有两个
不相等
的实根
有两个
相等的
实根
没有
实根
　　2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.
思路二
【思考1】　
(1)二次函数y=x2+2x-3的图像与x轴有　　　　个交点,交点的坐标是　　　　. 
(2)当x=　　　　时,函数y=x2+2x-3的值为0,这里x的取值与方程x2+2x-3=0的根有什么关系? 
(3)二次函数y=x2-6x+9的图像与x轴有　　　　个交点,交点的坐标是　　　　. 
(4)当x=　　　　时,函数y=x2-6x+9的值为0,这里x的取值与方程x2-6x+9=0的根有什么关系? 
(5)二次函数y=x2-4x+6的图像与x轴有　　　　个交点.方程x2-4x+6=0有没有实根? 
(6)二次函数图像与x轴的位置关系有几种?由什么决定的?
【师生活动】　学生在教师的引导下逐一回答问题,教师及时点评.
【思考2】　
(课件展示)
1.填写表格:
抛物线y=ax2+bx
+c与x轴的位置关系
有两个
公共点
有一个
公共点
无公
共点
一元二次方程ax2
+bx+c=0根的情况
有两个
不相等
的实根
有两个
相等的
实根
没有
实根
　　2.你能归纳二次函数与一元二次方程之间的关系吗?
【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表展示,教师点评,师生共同归纳总结.
(课件展示)
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由b2-4ac决定,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实数根.
[设计意图]　学生在教师问题的引导下,共同探究二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生归纳总结能力,从而提高学生的数学思维.
做一做
(课件展示)
不画图像,说明下列抛物线和x轴相交(或不相交)的情况.
(1)y=x2-2x-1;(2)y=-2x2+7x-7;(3)y=4x2-12x+9.
【师生活动】　学生独立完成后,学生代表回答,教师点评.
[设计意图]　通过练习、巩固,不画图像,判断抛物线与x轴的交点个数的方法,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
例题讲解
　　[过渡语]　根据抛物线和x轴相交(或不相交)的情况与其对应的一元二次方程根的情况的关系,以及二次函数随自变量增大而增大(或减小)的性质,可以借助二次函数来求一元二次方程根的近似值.
(课件展示)
　(教材第51页例)求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.(结果精确到0.1)
【师生活动】　教师引导学生画出函数y=x2-2x-6的图像,教师课件展示.
(课件展示)
如图所示,画出二次函数y=x2-2x-6的图像.

思考:
观察画出的抛物线,设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2,不妨设x1 【师生活动】　学生观察思考后,自主学习教材第51~52页,小组内合作交流用逼近法求抛物线与x轴的交点的横坐标的基本思路和方法,师生共同分析,得到x1的近似值.
(课件展示)
用逼近法求x1的近似值.
(1)容易看出:
当x=-2时,y>0;当x=-1时,y<0,且-2 (2)取-2和-1的中间数-1.5(中间数为),代入表达式中试值.
当x=-1.5时,y=(-1.5)2-2×(-1.5)-6=-0.75<0;当x=-2时,y>0.在-2 (3)取-2和-1.5的中间数-1.75,代入表达式中试值.
当x=-1.75时,y=(-1.75)2-2×(-1.75)-6=0.5625>0;当x=-1.5时,y<0.在-1.75 (4)取-1.75和-1.5的中间数-1.625,代人表达式中试值.
当x=-1.625时,y=(-1.625)2-2×(-1.625)-6=-0.109375<0;当x=-1.75时,y>0.在-1.75 [设计意图]　通过自主学习、小组合作交流,共同归纳用逼近法求一元二次方程根的近似值的方法,学生更深刻地体会数形结合思想在解决函数问题中的应用,培养学生观察图形直观地得出结论.
练习:
　　[过渡语]　我们一起探究了用逼近法求一元二次方程根的情况,你能用同样的方法求出x2的近似值吗?
【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,允许有误差,教师在巡视中帮助有困难的学生,并点评归纳.
[设计意图]　进一步巩固用逼近法求一元二次方程的根,培养学生数形结合思想及运用能力.
[知识拓展]　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根即为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集即为图像在x轴上方的点所对应的x的值组成的集合;不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集即为图像在x轴下方的点所对应的x的值组成的集合.
2.一元二次方程的图像解法体现了数形结合思想,我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系,一元二次方程是二次函数的特殊情况(即y=0时的情况),一方面我们可以利用二次函数的图像求一元二次方程的根,另一方面,也可以借助求一元二次方程的根来判断二次函数图像的位置,这样可以使所画的抛物线比较准确.

1.二次函数与一元二次方程之间的关系.
2.二次函数图像交点的横坐标与一元二次方程的根之间的关系.
3.利用二次函数图像求一元二次方程的近似解及不等式的解集.

1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
　　A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
解析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为方程ax2+bx+c=0根的个数.故选A.

2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图像如图所示,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 (　　)
A.无解
B.x=1
C.x=-4
D.x=-1或x=4
解析:因为抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(4,0),所以方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则函数值y<0

时x的取值范围是 (　　)
A.x<-1
B.x>3
C.-1 D.x<-1或x>3
解析:由图像可得,x轴下方图像对应的x的取值范围为-1 4. (2016·荆州中考)若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为　　　　. 
解析:∵二次函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,∴Δ=16-4(a-1)×2a=0,∴a=-1或2.故填-1或2.

5.已知二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的表达式;
(2)根据图像,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.
解:(1)将点(-1,0),(0,3)代入y=-x2+bx+c中,得:
解得
∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∵抛物线开口向下,∴当-10.

30.5　二次函数与一元二次方程的关系
观察与思考
做一做
例题讲解

一、教材作业
【必做题】
教材第52页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第53页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.二次函数y=2x2+x-1的图像与x轴的交点的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若抛物线y=x2-6x+c+1与x轴只有一个交点,则c的值是 (　　)
A.8 B.14
C.8或14 D.-8或-14
3.抛物线y=x2-bx+8的顶点在x轴上,则b的值一定为 (　　)
A.4 B.-4
C.2或-2 D.4或-4

4.二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是 (　　)
A.-1 B.x<-1
C.x>3
D.x<-1或x>3
5.根据下面表格中的对应值判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的最值范围是 (　　)
x
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.09
-0.06
-0.02
0.03
0.09
A.3.22 C.3.24
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b0;④b2-4ac>0.其中正确的结论有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.已知抛物线y=x2-4x+m与x轴只有一个交点,则m=　　　　. 
8.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3,x2=1,则二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴是　　　　. 
9.利用二次函数的图像估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.(精确到0.1)

10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,根据图像解答下列问题.
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【能力提升】
11.函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有交点,则k的取值范围是 (　　)
A.k>- B.k≥-且k≠0
C.k≥- D.k>-且k≠0
12.已知抛物线y=x2-2x-8.
(1)试说明抛物线与x轴一定有两个交点,并求出交点坐标;
(2)若该抛物线与x轴两个交点分别为A,B(A在B的左边),且它的顶点为P,求S△ABP的值.
13.如图所示,抛物线y=-x2+2(m+1)x+m+3与x轴相交于A,B两点,且OA∶OB=3∶1,求m的值.

(第13题图)
【拓展探究】
14.如图所示,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).

(第14题图)
(1)求m的值和抛物线的关系式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案).
【答案与解析】
1.C(解析:∵Δ=b2-4ac=1-4×2×(-1)=9>0,∴二次函数图像与x轴有2个交点.)
2.A(解析:由题意知方程x2-6x+c+1=0有两个相等实根,∴Δ=0,即(-6)2-4(c+1)=0,得c=8.)
3.D(解析:∵抛物线y=x2-bx+8的顶点在x轴上,∴Δ=(-b)2-4×8=b2-32=0,解得b=±4.)
4.A(解析:由图像可以看出:y<0时,自变量x的取值范围是-1 5.C(解析:从表格中的数据可以看出,当x=3.24时,y=-0.02;当x=3.25时,y=0.03,函数值由负数变为正数,此过程中存在方程ax2+bx+c=0的一个根.∴方程ax2+bx+c=0的一个根应在3.24~3.25之间.)
6.B(解析:∵抛物线开口朝下,∴a<0,∵对称轴x=-=1,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0,∴abc<0,故①错误;根据图像知当x=-1时,y=a-b+c<0,即b>a+c,∴②错误;根据图像知当x=2时,4a+2b+c>0,故③正确;根据图像知抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故④正确.)
7.4(解析:由抛物线与x轴只有一个交点,得Δ=b2-4ac=16-4m=0,即4m=16,解得m=4.)
8.x=-1(解析:由一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-3,x2=1,得二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0),所以对称轴为x=-1.)

9.解:方程x2-2x-1=0根是函数y=x2-2x-1的图像与x轴交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图像,如图所示,由图像可知方程有两个根,一个在-1和0之间,另一个在2和3之间.先求-1和0之间的根,当x=-0.4时,y=-0.04;当x=-0.5时,y=0.25;因此,x=-0.4(或x=-0.5)是方程的一个近似根,同理,x=2.4(或x=2.5)是方程的另一个近似根.
10.解:(1)根据函数图像可得,方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3.　 (2)方程ax2+bx+c=k的两根是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=k的交点的横坐标,只有k<2时有两个交点,所以k的取值范围为k<2.
11.C(解析:当k≠0时,∵抛物线y=kx2-7x-7的图像和x轴有交点,方程kx2-7x-7=0有实数根,即Δ=b2-4ac≥0,即49+28k≥0,解得k≥-;当k=0时,直线与x轴有一个交点.故选C.)
12.解:(1)解方程x2-2x-8=0,得x1=-2,x2=4.故抛物线y=x2-2x-8与x轴有两个交点,坐标为(-2,0),(4,0).　(2)由(1)得A(-2,0),B(4,0),故AB=6.由y=x2-2x-8=x2-2x+1-9=(x-1)2-9,故P点坐标为(1,-9),过P作PC⊥x轴于C,则PC=9,∴S△ABP=AB·PC=×6×9=27.
13.解:设A(x2,0),B(x1,0),则x2=-3x1.∵x1+x2=2(m+1),x1·x2=-(m+3),即x1=-(m+1),-3=-(m+3),∴-3(m+1)2=-(m+3),解得m1=0,m2=-.当m=0时,∵Δ>0,x1+x2>0,x1x2<0,∴m=0符合题意.当m=-时,∵Δ>0,x1+x2<0,∴m=-不合题意,舍去.∴m的值是0.
14.解:(1)把点A(1,0),B(3,2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得0=1+m,∴m=-1,b=-3,c=2,∴抛物线的关系式为y=x2-3x+2.　(2)x<1或x>3.


学生已经学习了一次函数与一元一次方程及不等式之间的关系,通过复习有关知识,降低本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系的难度.在教师提出的问题的引导下,学生通过观察、思考、交流,归纳出抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根之间的关系,体会数形结合思想在数学中的应用,在每个环节中都让学生深刻体会,对后继学习打下良好的基础.例题的讲解是利用函数图像求一元二次方程的近似解,让学生体会数形结合思想的应用的同时,体会用逼近法求方程根的解法.在每个教学环节,以学生活动为主,充分发挥学生在课堂上的主体作用,让学生通过自主探究,形成认知结构,亲身经历知识的形成过程,培养了学生的思维能力.

本节课的学习的重点是利用数形结合思想感受二次函数的图像与x轴的交点横坐标与一元二次方程根之间的关系及利用函数图像求一元二次方程的近似解,学生对数形结合思想理解不是很熟练,造成学生对知识的理解不够透彻,没有给学生充足的时间思考、交流,也没有设计相应的简单问题巩固新知识.另外在教学环节中,没有设计二次函数与不等式之间的关系的问题,在观察与思考环节可以设计与不等式有关的问题进行探究、归纳.

本节课的重点是进一步理解二次函数与一元二次方程的关系,通过复习一次函数与方程、不等式之间的关系,为本节课的学习做好铺垫,同时以生活实际问题导入新课,激发学生的学习兴趣 .本节课重要的是运用数学中数形结合思想,在整个教学过程中始终贯穿类比思想,这些思想对学生良好思维品质的形成有重要作用,在教学过程中,教师作为引导者,为学生创设问题情景,给学生提供广阔的思维、活动空间,让学生在数学课堂上提高能力.在作业中设计典型题目,优化习题,培养学生分析问题和解决问题的能力.

练习(教材第52页)
解:当x=3.55时,y=3.552-2×3.55-6=-0.4975<0;当x=3.65时,y=3.652-2×3.65-6=0.0225>0,且在3.55 习题(教材第52页)
A组
1.解:(1)∵(-3)2=9>0,∴抛物线与x轴有两个交点.　(2)∵82-4×(-1)×(-16)=0,∴抛物线与x轴有一个交点.　(3)∵62-4×3×4=-12<0,∴抛物线与x轴没有交点.　(4)∵(-1)2-4××3=-5<0,∴抛物线与x轴没有交点.
2.解:当x=3.15时,y=-×3.152+3.15+2=0.18875>0;当x=3.25时,y=-×3.252+3.25+2=-0.03125<0,且在3.15 B组

1.解:画出抛物线y=x2-2x-2的图像如图所示,设方程的两根为x1,x2,且x10;当x=-0.65时,y=0.652+2×0.65-2=-0.2775<0,且在-0.750,且在2.65 2.解:当x=-1.25时,y=-×(-1.25)2-1.25+2=-0.03125<0;当x=-1.15时,y=-×(-1.15)2-1.15+2=0.18875>0,且在-1.25 复习题(教材第55页)
A组
1.解:(1)如图(1)所示,抛物线y=-x2+2的开口向下,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,2).抛物线y=-x2-2的开口向下,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,-2).　(2)如图(2)所示,抛

(1)


(2)

(3)

物线y=(x+1)2的开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0).抛物线y=(x-1)2的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0).　(3)如图(3)所示,抛物线y=(x+1)2+3的开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,3).抛物线y=-(x+1)2+3的开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,3).
2.解:(1)抛物线y=x2+2x-3,开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4),有最小值,为-4.　(2)抛物线y=-x2+6x+2,开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,11),有最大值,为11.　(3)抛物线y=2x2-3x+5,开口向上,对称轴为直线x=,顶点坐标为,有最小值,为.　(4)抛物线y=5x2+6x,开口向上,对称轴为直线x=-,顶点坐标为,有最小值,为-.
3.解:如图所示.(1)顶点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,3).

　(2)当x<1时,y随x的增大而增大.当x>1时,y随x的增大而减小.　(3)当-10.　(4)当x<-1或x>3时,y<0.
4.1　-8
5.提示:(1)y=-x2-4x.　(2)y=-x2+4x-3.　(3)y=x2-2x-3.

6.解:(1)根据题意,得解得∴这个函数表达式为y=-x2+2x+2.　(2)画出的函数图像如图所示.
7.解:当x=2.25时,y=2.252+2×2.25-10=-0.4375<0,当x=2.35时,y=2.352+2×2.35-10=0.2225>0,∴2.25 8.解:(1)根据题意,得y=-πx2+64π(0 (2)当y=32π时,即32π=-πx2+64π,解得x=4或x=-4(舍去).故当x=4时,剩下部分的面积是原来大圆面积的一半.
9.解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.　(2)∵S=-x2+30x=-(x-30)2+450.∴当x=30时,三角形的面积最大,最大面积是450 cm2.
10.解:(1)由题意得20t-5t2=15,得t1=1,t2=3(舍去).∴爆竹点燃后,经过1 s离地面15 m.　(2)∵h=20t-5t2=-5(t2-4t)=-5(t-2)2+20,∴爆竹上升的最大时间是2 s,则第1.5 s与第1.8 s都是上升的.
B组
1.(1)解:设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,把点代入,得=a(0+1)2+2,解得a=-.∴二次函数的表达式为y=-(x+1)2+2=-x2-x+.　(2)证明:把x=m代入函数表达式,得y=-m2-m+,令-m2-m+=-m2,方程无解.∴点M(m,-m2)不在这个二次函数的图像上.
2.解:∵函数图像经过原点,∴n2-9=0,解得n=3或n=-3.∴y=-x2+6x或y=-x2-6x.∵y=-x2+6x=-(x2-6x)=-(x-3)2+9,顶点(3,9)在第一象限,符合题意;y=-x2-6x=-(x2+6x)=-(x+3)2+9,顶点(-3,9)在第二象限,不符合题意,∴n=-3舍去.综上所述,抛物线所对应的函数关系式为y=-x2+6x,顶点坐标为(3,9).
3.解:(1)y=x·-×100=-x2+158x+6000.　(2)当x=-=3950时,月收益最大,最大月收益是=318050(元).
4.解:(1)设小正方形的边长为x m,根据题意,得4x2+(100-2x)(80-2x)=5200,整理,得x2-45x+350=0.解得x1=10,x2=35(舍去).∴小正方形的边长为10 m.　(2)设铺设费用为w元,则w=4x2×30+(100-2x)(80-2x)×30+2×(100-2x)x×20+2×(80-2x)x×20=80x2-3600x+240000.当x=-=时,总费用最少,最少费用为=199500(元).
C组
1.解:(1)过点F作FG⊥BC,过点E作EH⊥BC,垂足分别为点G,H.∵PE∥AB,PF∥AC,∴四边形AFPE是平行四边形,∴△PEF≌△AFE,∴S△PEF=S▱AFPE.∵△BPF∽△BCA,△CEP∽△CAB,∴=,=.又BP=x,AD=1,BC=2,PC=2-x,∴FG=x,EH=(2-x)=-x+1,∴2 S△PEF=S△ABC-S△PEC-S△BFP=×2×1-×(2-x)×-×x×x=-x2+x,∴S△PEF=-x2+x(0 2.解:(1)依次填入:1,6,15,28.　(2)设二次函数的表达式为S=an2+bn+c.则解得∴s=2n2-n.　(3)当n=10时,s=2×102-10=190,即第10个图形中有190个正方体木块.　(4)存在.设第x个图形有1770个正方体木块,则2x2-x=1770,即2x2-x-1770=0.x==,得x1=30,x2=-(舍去).∴第30个图形由1770个正方体木块组成.


借助数形结合思想突破重难点
本节课是函数知识的应用之一,其意图使学生进一步体会函数和方程之间的联系,也为求方程的近似解提供理论依据.数形结合思想是数学中非常重要的思想之一,也是本节课探究知识重要的数学思想,学生通过观察二次函数的图像得出方程、不等式与二次函数之间的关系,通过观察、分析、类比、归纳得到抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系,解决了重点,同时为了突破重难点.通过画二次函数图像,用逼近法和数形结合思想得到一元二次方程的近似解.在教学设计中,每个探究活动都以教师引导的问题导入,给学生广阔的活动空间,让学生通过自主学习、合作交流得出结论,让学生成为课堂的主体,提高数学思维和能力,在课堂上让学生感受知识的产生和发展过程,使学生始终处于积极的思维状态,借助数学思想和方法,突破本课时的重难点.


　如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(3,0),二次函数图像的对称轴为直线x=1,给出四个结论:①b2>4ac;②bc<0;③2a+b=0;④a+b+c=0.
其中正确的结论是 (　　)

A.②④ B.①③ C.②③ D.①④
解析:由图像和x轴有两个交点,得Δ=b2-4ac>0,∴b2>4ac,①正确;由图像开口向下,与y轴交点在x轴的上方,且二次函数图像对称轴为x=1,∴c>0,-=1,a<0,∴b>0,即bc>0,2a+b=0,即②不正确,③正确;由图像知当x=1时,y=a+b+c>0,∴④不正确.综上所述,①③正确.故选B.



1.掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与性质,并能根据图像和性质解决一些简单问题.
2.会通过抛物线的特殊位置判断函数表达式中各系数的取值范围及数量关系.
3.会用待定系数法求二次函数表达式,并解决有关综合问题.
4.理解和掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.
5.能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型,解决二次函数最值、与一元二次方程之间的问题.
6.能通过建立适当的平面直角坐标系解决抛物线型实际问题.

1.通过二次函数的图像和性质解决问题,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
2.通过探究二次函数解决实际问题,体会建模思想和数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又运用于生活,提高运用数学的意识.
2.通过逐步完善二次函数的图像与性质的认识,获得数学知识与技能,培养学生解决问题的能力.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型在实际问题中的应用价值.

【重点】
二次函数的图像与性质;用配方法将二次函数一般式化成顶点式并能求最值;用待定系数法求函数表达式;函数图像位置与系数之间的关系;二次函数与方程、不等式之间的关系;利用二次函数解决实际问题.
【难点】
用配方法将二次函数一般式化成顶点式;建立二次函数解决实际问题的数学模型.

二次函数

一、二次函数的定义
一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
二、二次函数y=ax2(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2的图像是一条抛物线,它的顶点坐标为(0,0),对称轴是y轴.
当a>0时,x<0时函数值y随x的增大而减小;x>0时函数值y随x的增大而增大;当x=0时,y有最小值0.
当a<0时,x<0时函数值y随x的增大而增大;x>0时函数值y随x的增大而减小;当x=0时,y有最大值0.
三、二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图像是一条抛物线,它的顶点坐标为(h,k),对称轴是x=h,是由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度,再向上或向下平移|k|个单位长度得到的.
当a>0时,抛物线开口向上,xh时函数值y随x的增大而增大.且当x=h时,y有最小值k.
当a<0时,抛物线开口向下,xh时函数值y随x的增大而减小. 且当x=h时,y有最大值k.
四、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可配方为y=a+,所以它的图像的顶点坐标为,对称轴是直线x=-,与y轴的交点坐标为(0,c).
当a>0时,抛物线开口向上,x<-时函数值y随x的增大而减小;x>-时函数值y随x的增大而增大.且当x=-时,y有最小值.
当a<0时,抛物线开口向下,x<-时函数值y随x的增大而增大;x>-时函数值y随x的增大而减小. 且当x=-时,y有最大值.
五、用待定系数法求函数表达式
用待定系数法求函数表达式的一般步骤为:
(1)根据所给的条件特征,设出二次函数表达式;(2)把已知x,y的对应值代入所设表达式中,得到关于系数的方程组;(3)解方程组,求出系数的值;(4)代入所求系数,得到二次函数表达式.
六、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根即为抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标;不等式ax2+bx+c>0的解集即为抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合;不等式ax2+bx+c<0的解集即为抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.
七、实际问题与二次函数
利用二次函数解决实际问题,首先必须建立数学模型,即将实际问题转化为数学问题,然后求出函数表达式,再通过函数表达式和图像来解决实际问题.
专题一　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
【专题分析】
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质是各地中考必考的重要知识点之一,通过配方可以将二次函数化为顶点式,即y=a+,从而求出抛物线的顶点坐标、对称性及最值,进一步结合函数图像解决有关问题.
　若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (　　)
　　A.m>1 B.m>0
C.m>-1 D.-1 〔解析〕　∵抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),该点为第一象限的点,∴m>0,m+1>0,∴m>0.故选B.
[解题策略]　熟练掌握抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)及象限内点的坐标特征是解题的关键.
【针对训练1】　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图像如图所示,关于该二次函数,下列说法

错误的是 (　　)
A.函数有最小值
B.对称轴是直线x=
C.当x<,y随x的增大而减小
D.当-10
〔解析〕　由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,所以A正确;由图像可知,对称轴为x=,所以B正确;因为a>0,所以当x<时,y随x的增大而减小,所以C正确;由图像可知,当-1 　已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴 (　　)
A.只能是x=-1
B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x=2的左侧
D.在y轴左侧且在直线x=-2的右侧
〔解析〕　∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0),(2,3)两点, ∴点(-2,0)关于对称轴的对称点横坐标x2满足-2 [方法归纳]　抛物线上关于对称轴对称的两点的横坐标x1,x2与对称轴之间的关系是x=,该题根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键.
【针对训练2】　二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图像经过点(1,1),则代数式1-a-b的值为　　　　. 
〔解析〕　∵二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图像经过点(1,1),∴把x=1,y=1代入得a+b-1=1,∴a+b=2,∴1-a-b=1-(a+b)=1-2=-1.故填-1.
[方法归纳]　函数图像上点的坐标满足函数表达式,已知图像上点的坐标,常常代入函数表达式中求解;整体思想是求代数式的值常用的思想.
专题二　抛物线的特殊位置与二次函数系数关系的应用
【专题分析】
(1)当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下;当a,b同号时,对称轴在y轴左侧,当a,b异号时,对称轴在y轴右侧;当c=0时,抛物线与y轴交于原点,当c>0时,抛物线与y轴正半轴相交,当c<0时,抛物线与y轴负半轴相交;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有唯一的交点,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,y=a+b+c,此时若y=0,则a+b+c=0,若y>0,则a+b+c>0;若y<0,则a+b+c<0. 当x=-1时,y=a-b+c,此时若y=0,则a-b+c=0,若y>0,则a-b+c>0;若y<0,则a-b+c<0.
　已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:

①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是 (　　)
A.①③④ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
〔解析〕　由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为(3,0),当x>3时,y<0,故①正确;由抛物线开口向下,得a<0,∵x=-=1,∴2a+b=0.∴3a+b=0+a=a<0,故②正确;设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3),则y=ax2-2ax-3a,令x=0,得y=-3a.∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间,∴2≤-3a≤3,解得-1≤a≤-,故③正确;假设4ac-b2>8a成立,∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间,∴2≤c≤3,由4ac-b2>8a得4ac-8a>b2,∵a<0,∴c-2<,∴c-2<0,∴c<2,与2≤c≤3矛盾,故④错误.故选B.
[方法归纳]　考查了二次函数图像与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定,此外要注意图像上一些特殊点对应的函数值的正负.

【针对训练3】　抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图像如图所示,则以下结论:
①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
其中正确结论的个数为 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕　∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,所以①错误;∵顶点为D(-1,2),∴抛物线的对称轴为直线x=-1,∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,∴当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,所以②正确;∵抛物线的顶点为D(-1,2),∴a-b+c=2,∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a,∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确;∵当x=-1时,二次函数有最大值2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.故选C.
[解题策略]　该题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的图像与系数的关系,难点在于利用函数图像的对称轴,用含a的代数式表示b代入a-b+c=2,然后判断③是否正确.
【针对训练4】　二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:
x
-1
0
1
3
y
-1
3
5
3
　　下列结论:
(1)ac<0;
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;
(3)3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;
(4)当-10.其中正确的个数为 (　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
〔解析〕　由图表中数据可得出:x=1时,y=5,值最大,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;∵二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,且对称轴为x==1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根,故(3)正确;∵x=-1时,ax2+bx+c=-1,∴x=-1时,ax2+(b-1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b-1)x+c=0,且函数有最大值,∴当-10,故(4)正确.故选B.
[解题策略]　根据表格中数据,判断出抛物线的对称轴,开口方向及顶点坐标,画出函数草图,根据函数图像解决问题.
专题三　二次函数的最值
【专题分析】
当自变量x的取值范围为全体实数时,二次函数y=ax2+bx+c在x=-时取得最值.当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c开口向上,顶点最低,当x=-时,y有最小值;当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c开口向下,顶点最高,当x=-时,y有最大值.
　当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为 (　　)
A.- B.或-
C.2或- D.2或-或-
〔解析〕　二次函数的对称轴为直线x=m,①当m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在;②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,解得m=-或m=(舍去);③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,此时,-(1-m)2+m2+1=4,解得m=2,综上所述,m的值为2或-.故选C.
[易错提示]　自变量x有限制范围时,要根据自变量的取值范围,结合二次函数图像求函数最值,该题易忽略分类讨论.
【针对训练5】　如图所示,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m),点P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的表达式;
(2)是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
〔解析〕　 (1)已知B(4,m)在直线y=x+2上,可求得m的值,已知抛物线上的A,B两点坐标,可将其代入抛物线的表达式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的表达式表示出P,C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.
解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,
∴m=4+2=6,∴B(4,6),
∵A,B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,
∴
∴a=2,b=-8,
∴y=2x2-8x+6.
(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,
∵PC>0,∴当n=时,线段PC最大且为.
专题四　二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题分析】
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系,可以用函数观点来理解方程的解和不等式的解集.已知函数值,求自变量的对应值,就是解方程,已知函数值的取值范围,求对应的自变量的取值范围,就是解不等式.
　若函数y=mx2+2x+1的图像与x轴只有一个公共点,则常数m的值是　　　　. 
〔解析〕　分两种情况:(1)当m=0时,函数为一次函数y=2x+1,该函数的图像与x轴只有一个公共点.(2)当m≠0时,由抛物线y=mx2+2x+1与x轴只有一个公共点,得Δ=22-4×m×1=0,解得m=1.综上所述,常数m的值是1或0.故填1或0.
[易错提示]　函数图像与x轴有一个公共点,分两种情况,不要误认为函数只是二次函数,也可以是一次函数,本题易遗漏一次函数的情况.
【针对训练6】　已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点?
〔解析〕　(1)求出根的判别式,即可得出答案;(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.
证明:(1)∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,
即不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点.
解:(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图像延y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图像,它的顶点坐标是(m,0),因此,这个函数的图像与x轴只有一个公共点,
∴把函数y=x2-2mx+m2+3的图像沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点.
[方法归纳]　抛物线与x轴有唯一的公共点,即抛物线的顶点在x轴上,则b2-4ac=0.
　如图(1)所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;
(3)在同一直角坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.

(1)

(2)

〔解析〕　(1)用待定系数法求函数表达式;(2)令y=0,解一元二次方程,求得x的值,从而得出与x轴的另一个交点坐标;(3)画出图像,再根据图像直接得到答案.
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,
∴
∴a=,b=-,c=-1,
∴二次函数的表达式为y=x2-x-1.
(2)当y=0时,得x2-x-1=0,
解得x1=2,x2=-1,
∴点D的坐标为(-1,0).
(3)如图(2)所示, 当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1 [规律方法]　解决二次函数与方程(组)或不等式(组)的综合问题的关键是处理好交点问题,利用函数图像上方的部分对应的函数值大于0,解决不等式的问题.

【针对训练7】　如图所示,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(2,0),B(5,3).
(1)求m的值和抛物线的表达式;
(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接写出答案);
(3)若抛物线与y轴交于C,求△ABC的面积.
〔解析〕　(1)把点A的坐标代入直线表达式计算即可求出m的值,把点A,B的坐标代入抛物线y=x2+bx+c,求出b,c的值,即可得解;(2)根据图像,找出直线在抛物线上方的部分的x的取值范围即可;(3)设直线AB与y轴的交点为D,求出点D的坐标,再求出点C的坐标,然后根据S△ABC=S△BCD-S△ACD,列式进行计算即可得解.
解:(1)∵直线y=x+m经过A点,
∴当x=2时,y=0,∴m+2=0,
∴m=-2,
∵抛物线y=x2+bx+c过A(2,0),B(5,3),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=x2-6x+8.
(2)由图可知,不等式ax2+bx+c≤x+m的解集为2≤x≤5.
(3)设直线AB与y轴交于D,
由(1)得直线AB的表达式为y=x-2,
∴点D(0,-2),
由(1)知C(0,8),∴S△BCD=×10×5=25,
∵S△ACD=×10×2=10,
∴S△ABC=S△BCD-S△ACD=25-10=15.
[解题策略]　主要通过联系和转化的数学思想把二次函数和一次函数问题转化为方程、方程组问题,利用数形结合思想解决不等式问题.
专题五　二次函数表达式的求法
【专题分析】
用待定系数法可求出二次函数的表达式,确定二次函数的表达式一般需要三个独立的条件,根据不同的条件,选择不同的设法.
(1)设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
若已知条件是图像经过三个点,则可设所求的函数表达式为y=ax2+bx+c,将已知条件代入,即可求出a,b,c的值.
(2)设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),则可设所求的函数表达式为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将顶点式化为一般式.
(3)设交点式:y=a(x-x1)(x-x2).
若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则可设所求的二次函数表达式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中m,n为已知数)代入,求出待定系数a,最后将交点式化为一般式.

　如图所示,抛物线y=x2+(b-1)x+c经过点P(-1,-2b).
(1)求b+c的值;
(2)若b=3,求这条抛物线的顶点坐标;
(3)若b>3,过点P作直线PA⊥y轴,交y轴于点A,交抛物线于另一点B,且BP=2PA.求这条抛物线对应的函数表达式.
〔解析〕　(1)直接将点P(-1,-2b)的坐标代入抛物线的表达式求出b+c的值;(2)将函数表达式配方求出顶点坐标;(3)当b>3时,抛物线的对称轴x=-<-1,对称轴在直线x=-1左侧,根据题意列关于b,c的方程组可得函数表达式.
解:(1)依题意得(-1)2+(b-1)(-1)+c=-2b,∴b+c=-2.
(2)当b=3时,c=-5,
∴y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
抛物线的顶点坐标是(-1,-6).
(3)由P(-1,-2b)知PA=1,又BP=2PA,
∴点B的坐标为(-3,-2b),
∴9-3(b-1)+c=-2b,
即-b+c=-12,由(1)知b+c=-2,
∴b=5,c=-7,
∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x-7.
[技法点拨]　求二次函数表达式,需要将抛物线上点的坐标代入函数表达式,组成方程(组)求出待定系数的值,从而求出函数表达式.

【针对训练8】　如图所示,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,求点P的坐标.
〔解析〕　(1)利用待定系数法把A(1,0),C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c中,即可算出b,c的值,进而得到函数表达式;(2)首先求出A,B两点坐标,再算出AB的长,再设P(m,n),根据△ABP的面积为10可以计算出n的值,然后再利用二次函数表达式计算出m的值即可得到P点的坐标.
解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3),
∴解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3.
(2)∵当y=0时,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,
∴A(1,0),B(-3,0),∴AB=4,
设P(m,n),
∵△ABP的面积为10,
∴AB·|n|=10,
解得n=±5,
当n=5时,m2+2m-3=5,解得m=-4或m=2,
∴P(-4,5)或(2,5).
当n=-5时,m2+2m-3=-5,方程无解,
故P的坐标为(-4,5)或(2,5).
专题六　建模思想
【专题分析】
根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式,再用二次函数的性质来解决实际问题.
　某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务,该企业招收了新工人.设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:y=

(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)如图所示,设第x天每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w关于x的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)
〔解析〕　(1)把y=420代入y=30x+120,解方程即可求得;(2)根据图像求得成本p与x之间的关系,然后根据利润等于订购价减去成本价,然后整理即可得到w与x的关系式,再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答.
解:(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n+120=420,
解得n=10.
答:第10天生产的粽子数量为420只.
(2)由图像得,当0≤x≤9时,p=4.1,
当9 把点(9,4.1),(15,4.7)代入得:
解得
∴p=0.1x+3.2,
①当0≤x≤5时,w=(6-4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513;
②5 ∴当x=9时,w最大=741;
③9 ∵a=-3<0,
∴当x=-=12时,w最大=768;
综上,第12天的利润最大,最大利润为768元.
[技法点拨]　二次函数解决利润问题的关键是读懂题意,列出函数表达式,主要是利用二次函数和一次函数的增减性求最值问题.在实际生活问题中的最值,要注意自变量的取值范围.
【针对训练9】　某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图像如图所示.

(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
〔解析〕　(1)根据待定系数法,可得二次函数表达式,根据顶点坐标,可得答案;(2)根据函数值大于或等于16,可得不等式的解集,可得答案.
解:(1)∵y=ax2+bx-75的图像过点(5,0),(7,16),
∴解得
∴函数表达式为y=-x2+20x-75,
∵y=-x2+20x-75的顶点坐标是(10,25),∴当x=10时,y最大=25,
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.
(2)∵函数y=-x2+20x-75图像的对称轴为直线x=10,
可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16),
又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下,
∴当7≤x≤13时,y≥16.
答:销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元.
[方法归纳]　求二次函数最值的方法常用配方法和公式法,解决实际问题中的最值问题,根据等量关系列出函数表达式,求出自变量的取值范围,然后求最值.
　如图所示,一铁杠长为1.6 m,两立柱高为2.2 m,将一根绳子的两端拴在立柱与铁杠的结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.

(1)一身高为0.7 m的小孩子站在离立柱0.4 m处,其头部刚好触到绳子,求绳子最低点到地面的距离;
(2)为供孩子们荡秋千,把绳子剪断后,中间系一块长0.4 m的木板,除掉系木板用去的绳子后,两边的绳子正好各为2 m,木板与地面平行,求这时木板到地面的距离(供选用数据:≈1.8,≈1.9,≈2.1).
〔解析〕　选择以地面所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,然后将B,D两点的坐标代入函数表达式,确定抛物线的表达式,再根据函数图像解决问题.
解:(1)如图(1)所示,建立直角坐标系,设二次函数的表达式为y=ax2+c,
∵D(-0.4,0.7),B(0.8,2.2)
∴
解得
∴绳子最低点到地面的距离为0.2 m.
(2)如图(2)所示,分别作EG⊥AB于G,FH⊥AB于H,
AG=(AB-EF)=(1.6-0.4)=0.6,
在Rt△AGE中,AE=2,EG==≈1.9,
∴2.2-1.9=0.3(m),
∴木板到地面的距离约为0.3 m.

[技法点拨]　解决该题的关键是根据已知条件建立适当的平面直角坐标系,结合问题中数据求出抛物线的表达式,利用函数图像的性质解决问题.
【针对训练10】　如图①所示的大桥桥体造型新颖,气势恢宏,两条拱肋如长虹卧波,极具时代气息.大桥为中承式悬索拱桥,大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图②所示),跨径AB为100 m,拱高OC为25 m,抛物线顶点C到桥面的距离为17 m.


(1)请你建立适当的直角坐标系,求该抛物线的表达式;
(2)七月份汛期来临,河水水位上涨,假设水位比AB所在直线高出1.96 m,这时位于水面上的拱肋的跨径是多少?在不计桥面厚度的情况下,一条高出水面4.6 m的游船是否能够顺利通过大桥?
〔解析〕　以AB所在的直线为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,根据题意得到点B,C的坐标,用待定系数法求函数表达式,再根据实际问题求游船的最高点到桥面的距离.
解:(1)以AB所在直线为x轴,直线OC为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.

设抛物线的表达式为y=ax2+c,由题意,得B(50,0),C(0,25).
∴
解得a=-,c=25.
∴抛物线的表达式是y=-x2+25.
(2)当水位比AB所在直线高出1.96 m时,将y=1.96代入函数表达式,得:
-x2+25=1.96,解得x=±48.
于是,位于水面上的拱肋的跨径是48×2=96(m).
根据题意,游船的最高点到桥面的距离为(25-17)-(1.96+4.6)=1.44(m).
答:游船能顺利通过大桥.
[解题策略]　建立适当的平面直角坐标系,正确理解题意,根据抛物线上点的坐标求解.
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(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(第1~10小题各3分,第11~16小题各2分,共42分)
1.下列函数是二次函数的是 (　　)
A.y=2x+1 B.y=-2x+1
C.y=x2+2 D.y=x-2
2.已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法正确的是 (　　)
A.其图像开口向下
B.其图像的对称轴为直线x=-3
C.其图像顶点坐标为(3,-1)
D.当x<3时,y随x的增大而减小
3.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式结果为　 (　　)
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4
C.y=(x+1)2+2 D.y=(x-1)2+2
4.抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同,顶点坐标为(-2,1),则该抛物线的表达式为 (　　)
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=(x-2)2-1
5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得到的抛物线是 (　　)
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2
C.y=x2+2 D.y=x2-2
6.已知二次函数y=(x-1)2-3,则此二次函数 (　　)
A.有最大值1 B.有最小值1
C.有最大值-3 D.有最小值-3
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点Q在 (　　)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图像与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是 (　　)
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
9.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是 (　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
10.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x的取值范围是 (　　)

A.x<-2 B.-2 C.x>0 D.x>4
11.若二次函数y=x2-6x+c的图像经过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+,y3)三点,则关于y1,y2,y3大小关系正确的是 (　　)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2
12.如图所示,二次函数的图像经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是 (　　)

A.y的最大值小于0
B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=1时,y的值大于1
D.当x=-3时,y的值小于0
13.二次函数y=ax2+bx+c的图像上部分点的坐标满足下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
-3
-2
-3
-6
-11
…
则该函数图像的顶点坐标为 (　　)
A.(-3,-3) B.(-2,-2)
C.(-1,-3) D.(0,-6)
14.如图所示的是某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中,则两盏景观灯之间的水平距离是 (　　)

A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m

15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中正确结论的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3

16.如图所示,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0
A

B


C

D

二、填空题(第17~18小题各3分,第19小题4分,共10分)
17.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为(m,0),则代数式m2-m+2014的值为　　　　. 
18.已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是　　　　. 
19.将进价为70元的某种商品按零售价100元一个售出,每天能卖出20个,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销量就增加1个,为了获取最大利润,则应降价　　　　元. 
三、解答题(共68分)
20.(9分)如图所示,点A(-1,0),B(2,-3)两点都在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图像上.

(1)求m的值和二次函数的表达式;
(2)请直接写出当y1>y2时,自变量x的取值范围.
21.(9分)如图所示,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).

(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1 (3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数表达式.

22.(9分)如图所示,二次函数y=ax2-4x+c的图像经过坐标原点,与x轴交于点A(-4,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请写出点P的坐标.
23.(9分)[2016·甘肃中考]如图(1)所示,二次函数y=-x2+bx+c的图像过点A(3,0),B(0,4)两点,动点P从A出发,在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD⊥y轴于点D,交抛物线于点C. 设运动时间为t(秒).

(1)求二次函数y=-x2+bx+c的表达式;
(2)连接BC,当t=时,求△BCP的面积;
(3)如图(2)所示,动点P从A出发时,动点Q同时从O出发,在线段OA上沿O→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动,当点P与B重合时,P,Q两点同时停止运动,连接DQ,PQ,将△DPQ沿直线PC折叠到△DPE.在运动过程中,设△DPE和△OAB重合部分的面积为S,直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围.

24.(10分)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm.点P从点A开始,沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动;点Q 从点B开始,沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动.如果P,Q同时出发,则经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少?
25.(10分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x(天)
1≤x<50
50≤x≤90
售价(元/件)
x+40
90
每天销量(件)
200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设每天销售该商品的利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

26.(12分)[2016·陕西中考]如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).
(1)试判断抛物线与x轴交点的情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过A(-2,0)且与y轴的交点为B同时满足以A,O,B为顶点的三角形是等腰直角三角形.请写出平移的过程,并说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:A,B,D中函数自变量x的指数是1,不是二次函数;C中函数符合二次函数定义.)
2.D(解析:∵a=2>0,∴抛物线的开口向上,选项A错误;抛物线的对称轴为直线x=3,选项B错误;其顶点坐标为(3,1),选项C错误;当x<3时,y随x的增大而减小,选项D正确.)
3.D(解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=(x-1)2+2.)
4.C(解析:四个选项中只有C项的顶点坐标为(-2,1).)
5.D(解析:抛物线y=(x+1)2的顶点为(-1,0),平移后的顶点为(0,-2),所以得到的抛物线的表达式为y=x2-2.)
6.D(解析:因为抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-3),所以此二次函数有最小值-3. )
7.C(解析:主要观察二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像,从中得出a,b,c的符号.)
8.B(解析:∵二次函数x2-3x+m=0(m为常数)的图像与x轴的一个交点为(1,0),∴1-3+m=0,得m=2,∴一元二次方程为x2-3x+2=0,∴x1=1,x2=2.)
9.D(解析:∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,∴方程ax2-2x+1=0没有实数根,∴(-2)2-4a<0,解得a>1,∴抛物线的开口向上.又∵b=-2,∴抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴抛物线的顶点在第一象限.)
10.B(解析:观察函数图像可得,抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围是-2 11.B(解析:将A,B,C三点横坐标分别代入y=x2-6x+c,得y1=7+c,y2=-8+c,y3=-7+c,∴y1>y3>y2.)
12.D(解析:观察函数图像可得,函数的最大值大于1,所以A错误;当x=0时,函数值y小于1,所以B错误;当x=1时,函数值y=1,所以C错误;由图像可得,当x=-3时,对应的函数值在x轴的下方,所以D正确.)
13.B(解析:因为二次函数具有对称性,点(-3,-3)与点(-1,-3)关于对称轴对称,故(-2,-2)为二次函数图像的顶点坐标.)
14.C(解析:抛物线的顶点坐标为(5,5),且经过点(0,1),设抛物线表达式为y=a(x-5)2+5,把点(0,1)代入得1=a(0-5)2+5,即a=-,∴抛物线表达式为y=-(x-5)2+5.令y=4,得x1=,x2=,∴两盏景观灯之间的水平距离是-=5(m).)
15.D(解析:∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故①正确;∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴x=->0,∴b>0,∴abc<0,故②正确;∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点,由图可得,m>2,故③正确.故选D.)
16.D(解析:阴影部分的面积恰好等于一个小正方形的面积,∴y=x2.∵0 17.2015(解析:∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),∴m2-m-1=0,解得 m2-m=1.∴m2-m+2014=1+2014=2015.)
18.m≥-2(解析:抛物线的对称轴为直线x=-=-m,∵当x>2时,y的值随x值的增大而增大,∴-m≤2,解得m≥-2.)
19.5(解析:设零售价降价x元,每天利润为y元,则y=(100-70-x)(20+x)=-(x-5)2+625,当x=5时,y的值最大,最大值为625.故填5.)
20.解:(1)由于A(-1,0)在一次函数y1=-x+m的图像上,得-(-1)+m=0,即m=-1,已知A(-1,0),B(2,-3)在二次函数y2=ax2+bx-3的图像上,则解得∴二次函数的表达式为y2=x2-2x-3.　(2)由两个函数的图像知当y1>y2时,-1 21.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过原点O和点A(2,0),而OA的中点为(1,0),∴抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).　(2)∵该抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x的增大而减小,∴当x1y2.　(3)∵点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,∴C(3,2).设直线AC的函数表达式为y=kx+m,则解得∴直线AC的函数表达式为y=2x-4.
22.解:(1)由已知条件得
解得所以此二次函数的表达式为y=-x2-4x.　(2)因为点A的坐标为(-4,0),所以AO=4.设点P到x轴的距离为h,则S△AOP=×4h=8,解得h=4,①当点P在x轴上方时,-x2-4x=4,解得x=-2,所以点P的坐标为(-2,4);②当点P在x轴下方时,-x2-4x=-4,解得x1=-2+2,x2=-2-2,所以点P的坐标为(-2+2,-4)或(-2-2,-4).综上所述,点P的坐标为(-2,4)或(-2+2,-4)或(-2-2,-4).
23.解:(1)∵y=-x2+bx+c的图像过点A(3,0),B(0,4),∴解得∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4.　(2)当t=时,AP=,BP=.∴OD=,C,由=得PD=2,∴S△BCP=×3×=4.　(3)当0≤t≤时,S=-t2+t,当 24.解:设x秒时△PBQ面积最大,用y表示△PBQ的面积,则y=BP·BQ=(6-x)·2x=-x2+6x.∵y是△PBQ的面积,∴y>0,即-x2+6x>0,∴0 25.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000,当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000,综上所述,y=　(2)当1≤x<50时,二次函数的图像开口向下,对称轴为x=45,当x=45时,y最大=-2×452+180×45+2000=6050,当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,当x=50时,y最大=6000,综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.　(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.
26.解:(1)由题意,得解得∴抛物线的表达式为y=x2-3x+5.∵Δ=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0,∴抛物线与x轴无交点.　(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(-2,0),点B在y轴上,∴点B的坐标为(0,2)或(0,-2).设平移后的抛物线的表达式为y=x2+mx+n.①当抛物线过点A(-2,0),B1(0,2)时,解得∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2.∴该抛物线顶点坐标为,而原抛物线顶点坐标为,∴将原抛物线先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度即可获得符合条件的抛物线.②当抛物线过点A(-2,0),B2(0,-2)时,解得∴平移后的抛物线为y=x2+x-2.∴该抛物线顶点坐标为.而原抛物线顶点坐标为,将原抛物线先向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度即可获得符合条件的抛物线.(如图所示)