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数学七年级下册第十章 三角形的有关证明综合与测试精品单元测试同步测试题
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这是一份数学七年级下册第十章 三角形的有关证明综合与测试精品单元测试同步测试题，文件包含精品解析鲁教版七年级下册第十章三角形的有关证明单元测试原卷版doc、精品解析鲁教版七年级下册第十章三角形的有关证明单元测试解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1.如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，∠A=∠D，要使△ABC≌△DEF，下列条件不行的（ ）
A. BC=EFB. ∠ACB=∠FC. ∠B=∠DEFD. AB=DE
【答案】A
【解析】
【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个进行判断即可. 本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，∠A=∠D，可以加BC=EF，属SSA,不能判定△ABC≌△DEF．
【详解】A.添加BC=EF，是SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
B.添加∠ACB=∠F，满足ASA，能判定△ABC≌△DEF；
C.添加∠B=∠DEF，满足AAS，能判定△ABC≌△DEF；
D.添加AB=DE，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；
故正确选项为：A
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定定理. 解题的关键：根据定理SAS,ASA,AAS,SSS,逐个进行判断即可.
2.如图所示，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中的全等三角形有（ ）
A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对
【答案】B
【解析】
【分析】：根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，推出BC=AD，根据SSS推出△ABD△CDB即可．
【详解】因AB∥CD，
所以∠ABE=∠CDF，
又因为AB=CD，BE=DF，
所以△ABE≌△CDF（SAS）
所以∠AEB=∠CFD,AE=CE
所以，∠AED=∠CFB,
由因为BF=DE，
所以△AED≌△CFB(SAS)
所以BC=AD,
由AB=CD,BF=DE,
所以△ABD△CDB（SSS）
所以图中有3对全等三角形，是△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，
故正确选项为：B
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A. 50°B. 65°C. 50°或65°D. 50°或80°
【答案】D
【解析】
【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
当顶角∠A=50°时
∠B=∠C=
当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故正确选项为：D
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
4.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AC=A′C′，下列说法错误的是（ ）
A. 若添加条件AB=A′B′，则△ABC与△A′B′C′全等
B. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC与△A′B′C′全等
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′全等
D. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等
【答案】D
【解析】
试题解析：A、若添加条件AB=A′B′，可利用SAS判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
B、若添加条件∠C=∠C′，可利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
C、若添加条件∠B=∠B′，可利用AAS判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
D、若添加条件BC=B′C′，不能判定△△ABC≌△A′B′C′，故此选项合题意；
故选D．
点睛：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.如图，是三个正方形拼成一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°
【答案】C
【解析】
【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.
【详解】如图
设三个小正方形的边长为1个单位．
在正方形ABCD中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD．
∵∠AIJ=∠CIA，
,
,
即，
所以∆AIJ~∆CIA,
所以∠2=∠CAI,
又∠1=∠CAD，
则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°．
故正确选项为：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．
6.△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=12cm，则△DBE的周长为（ ）
A. 12cmB. 10cmC. 14cmD. 11cm
【答案】A
【解析】
【分析】从已知开始思考，利用角平分线的性质由已知可得DE=CD，△DBE的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB答案可得．
【详解】如图
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°
∴∠AED=∠C=90°DC=DE,
又AD=AD
∴△ACD≌△AED（HL）
∴CD=DE，AE=AC
∴△DBE的周长=DE+EB+BE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12cm
故正确选项为：A
【点睛】本题考核知识点：角平分线的性质,全等三角形. 解题的关键：利用角平分线的性质由已知可得DE=CD，通过证三角形全等将线段转移.
7.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）．
A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点
故答案为：D．
【点睛】本题考查了到三角形三条边距离相等的点，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8.如图，△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，点E在AC上，若∠ADE=20°，则∠ABC的度数是（ ）
A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形性质得出AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAD=∠ADC=45°，证出△ACB≌△DCE，推出∠BAC=∠EDC即可．
【详解】∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAD=∠ADC=45°，
在△ACB和△DCE中
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠ADC=45°，∠ADE=20°，
∴∠EDC=45°-20°=25°，
∴∠BAC=25°，
∴∠ABC=90°-25°=65°，
故正确选项为：B
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△ACB≌△DCE，难度适中．
9.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE，下列说法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④CE=BF，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等的三角形可判断②；利用SAS可证△BDF≌△CDE；根据全等三角形的性质可知∠ECD=∠FBD，CE=BF，根据平行线的判定定理可得BF∥CE.
【详解】∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
∵DE=DF，∠BDF=∠CDE
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正确；
∴∠ECD=∠FBD，CE=BF，故④正确；
∴BF∥CE，故③正确；
正确的有①②③④，共4个
故选D
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，还涉及了三角形中线和平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
10. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A. 28B. 18C. 10D. 7
【答案】C
【解析】
试题分析：利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．
解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为14，
故AB=14﹣4=10，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为10．
故选C．
考点：轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质．
11.△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（ ）
A. 6B. 10C. 6或14D. 6或10
【答案】C
【解析】
分两种情况：
①如图，
∵D在AB垂直平分线上，E在AC垂直平分线上，
∴BD=AD，CE=AE，
∵BC=10，DE=4，
∴BD+CE=10-4=6，
∴AD+AE=6，
②如图，
∵D在AB垂直平分线上，E在AC垂直平分线上，
∴BD=AD，CE=AE，
∵BC=10，DE=4，
∴BD+CE=BC+DE=10+4=14，
∴AD+AE=14.
故选C.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
试题分析：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，
考点：角平分线的性质．
二、填空题
13.如图，已知BD＝AC，那么添加一个_____条件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一个即可）．
【答案】BC=AD
【解析】
【分析】本题中除了BD=AC还有一个公共边，即AB=BA，则根据SSS判定定理可添加的条件为BC=AD.当然根据其他判定还有其他情况.
【详解】由BD=AC，AB=BA，BC=AD. 能得到△ABC≌△BAD（SSS）;
由BD=AC，AB=BA，∠BAC=∠ABD. 能得到△ABC≌△BAD（SAS）;
故正确答案为：BC=AD
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题的关键：根据判定的条件，有目的确定条件.
14.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有 个．
【答案】5．
【解析】
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=，则AC的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设CD=x，则AC==x，
∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，
∴（x）2+（x+2）2=（2）2，
解得，x=1，∴AC=．
故选A．
考点：解直角三角形．
16.如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________．
【答案】10
【解析】
试题分析：先根据三角形的内角和求得∠ACB的度数，再根据垂直平分线的性质可得AD=CD，则可得∠A=∠ACD=40°，从而求得结果.
∵∠B=90°，∠A=40°
∴∠ACB=50°
∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=40°
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD=10°.
考点：本题考查的是垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
17.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F．由角平分线性质得FD=CD=1，在Rt△BDF中，FD=1，BD=2，得∠B=30°，再证∠1=∠2=30°，再求AD=2FD=2，利用勾股定理可求AE=，最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半可求得.
【详解】过点D作DF⊥AB于点F．
∵AD平分∠BAC交BC于点D，CD=1，
∴FD=CD=1；
在Rt△BDF中，FD=1，BD=2，
∴∠B=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴∠1=∠2=30°，
∴在Rt△AFD中，AD=2FD=2；
∴在Rt△AED中，AE=
∴MD=AE=
故正确选项为：
【点睛】本题考核知识点：角平分线，勾股定理，直角三角形性质. 解题的关键：做出辅助线，通过特殊边的数量关系推出特殊角，再解直角三角形即可.此题比较综合.
三、解答题
18.如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在Rt∆ADC中，AD=2，∠DAC=30°，利用勾股定理即可求得AC的长．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
,
∴AB=AC
在Rt∆ADC中，
∴AC=2CD，AC2=AD2+CD2
【点睛】本题考查勾股定理的应用，角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.
19.如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，再有∠B=∠D，根据“AAS”即得△AFD≌△BEC，于是AD=CB．
【详解】解：AE=CF，
AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
AD∥BC，
∠A=∠C，
在△AFD与△BEC中
△AFD≌△BEC，
∴AD=CB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．
20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由已知得三角形AFD和三角形ACE是直角三角形，由AE是∠BAC的平分线，得∠CAE=∠EAB，再由∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，可得∠CFE=∠CEF，从而得出等腰三角形.
【详解】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
【点睛】本题由已知条件可知，要说明△CEF是等腰三角形，应从角方面去探索，利用等角的余角相等及对顶角相等的知识可解决问题．
21.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF．
求证：AE=AF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线性质，垂直定义，可以得到全等三角形的条件，根据全等三角形性质，得出对应边相等.
【详解】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF．
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题的关键：根据已知条件找出三角形全等的条件，证出全等，得到对应边相等.
22.如图，中，，的垂直平分线分别交于点和，则的周长是_______________.
【答案】10．
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.从DE是AC的垂直平分线，得AD=DC，所以△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10．
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 解题的关键：通过线段垂直平分线性质，将三角形的一些边转移到同一直线上.
一、选择题
1.如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，∠A=∠D，要使△ABC≌△DEF，下列条件不行的（ ）
A. BC=EFB. ∠ACB=∠FC. ∠B=∠DEFD. AB=DE
【答案】A
【解析】
【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个进行判断即可. 本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，∠A=∠D，可以加BC=EF，属SSA,不能判定△ABC≌△DEF．
【详解】A.添加BC=EF，是SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
B.添加∠ACB=∠F，满足ASA，能判定△ABC≌△DEF；
C.添加∠B=∠DEF，满足AAS，能判定△ABC≌△DEF；
D.添加AB=DE，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；
故正确选项为：A
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定定理. 解题的关键：根据定理SAS,ASA,AAS,SSS,逐个进行判断即可.
2.如图所示，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中的全等三角形有（ ）
A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对
【答案】B
【解析】
【分析】：根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，推出BC=AD，根据SSS推出△ABD△CDB即可．
【详解】因AB∥CD，
所以∠ABE=∠CDF，
又因为AB=CD，BE=DF，
所以△ABE≌△CDF（SAS）
所以∠AEB=∠CFD,AE=CE
所以，∠AED=∠CFB,
由因为BF=DE，
所以△AED≌△CFB(SAS)
所以BC=AD,
由AB=CD,BF=DE,
所以△ABD△CDB（SSS）
所以图中有3对全等三角形，是△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，
故正确选项为：B
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3.已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）
A. 50°B. 65°C. 50°或65°D. 50°或80°
【答案】D
【解析】
【分析】有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
当顶角∠A=50°时
∠B=∠C=
当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-50°-50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故正确选项为：D
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
4.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AC=A′C′，下列说法错误的是（ ）
A. 若添加条件AB=A′B′，则△ABC与△A′B′C′全等
B. 若添加条件∠C=∠C′，则△ABC与△A′B′C′全等
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′全等
D. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等
【答案】D
【解析】
试题解析：A、若添加条件AB=A′B′，可利用SAS判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
B、若添加条件∠C=∠C′，可利用ASA判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
C、若添加条件∠B=∠B′，可利用AAS判定△ABC≌△A′B′C′，故此选项不合题意；
D、若添加条件BC=B′C′，不能判定△△ABC≌△A′B′C′，故此选项合题意；
故选D．
点睛：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.如图，是三个正方形拼成一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°
【答案】C
【解析】
【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.
【详解】如图
设三个小正方形的边长为1个单位．
在正方形ABCD中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD．
∵∠AIJ=∠CIA，
,
,
即，
所以∆AIJ~∆CIA,
所以∠2=∠CAI,
又∠1=∠CAD，
则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°．
故正确选项为：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．
6.△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=12cm，则△DBE的周长为（ ）
A. 12cmB. 10cmC. 14cmD. 11cm
【答案】A
【解析】
【分析】从已知开始思考，利用角平分线的性质由已知可得DE=CD，△DBE的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB答案可得．
【详解】如图
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°
∴∠AED=∠C=90°DC=DE,
又AD=AD
∴△ACD≌△AED（HL）
∴CD=DE，AE=AC
∴△DBE的周长=DE+EB+BE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12cm
故正确选项为：A
【点睛】本题考核知识点：角平分线的性质,全等三角形. 解题的关键：利用角平分线的性质由已知可得DE=CD，通过证三角形全等将线段转移.
7.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）．
A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点
故答案为：D．
【点睛】本题考查了到三角形三条边距离相等的点，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8.如图，△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，点E在AC上，若∠ADE=20°，则∠ABC的度数是（ ）
A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形性质得出AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAD=∠ADC=45°，证出△ACB≌△DCE，推出∠BAC=∠EDC即可．
【详解】∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAD=∠ADC=45°，
在△ACB和△DCE中
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠ADC=45°，∠ADE=20°，
∴∠EDC=45°-20°=25°，
∴∠BAC=25°，
∴∠ABC=90°-25°=65°，
故正确选项为：B
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出△ACB≌△DCE，难度适中．
9.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE，下列说法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④CE=BF，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等的三角形可判断②；利用SAS可证△BDF≌△CDE；根据全等三角形的性质可知∠ECD=∠FBD，CE=BF，根据平行线的判定定理可得BF∥CE.
【详解】∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD，△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
∵DE=DF，∠BDF=∠CDE
∴△BDF≌△CDE（SAS），故①正确；
∴∠ECD=∠FBD，CE=BF，故④正确；
∴BF∥CE，故③正确；
正确的有①②③④，共4个
故选D
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，还涉及了三角形中线和平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题关键.
10. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A. 28B. 18C. 10D. 7
【答案】C
【解析】
试题分析：利用垂直平分线的性质和已知的周长计算．
解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△ACE的周长为14，
故AB=14﹣4=10，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为10．
故选C．
考点：轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质．
11.△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（ ）
A. 6B. 10C. 6或14D. 6或10
【答案】C
【解析】
分两种情况：
①如图，
∵D在AB垂直平分线上，E在AC垂直平分线上，
∴BD=AD，CE=AE，
∵BC=10，DE=4，
∴BD+CE=10-4=6，
∴AD+AE=6，
②如图，
∵D在AB垂直平分线上，E在AC垂直平分线上，
∴BD=AD，CE=AE，
∵BC=10，DE=4，
∴BD+CE=BC+DE=10+4=14，
∴AD+AE=14.
故选C.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）
A. 6B. 12C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
试题分析：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，
考点：角平分线的性质．
二、填空题
13.如图，已知BD＝AC，那么添加一个_____条件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一个即可）．
【答案】BC=AD
【解析】
【分析】本题中除了BD=AC还有一个公共边，即AB=BA，则根据SSS判定定理可添加的条件为BC=AD.当然根据其他判定还有其他情况.
【详解】由BD=AC，AB=BA，BC=AD. 能得到△ABC≌△BAD（SSS）;
由BD=AC，AB=BA，∠BAC=∠ABD. 能得到△ABC≌△BAD（SAS）;
故正确答案为：BC=AD
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题的关键：根据判定的条件，有目的确定条件.
14.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有 个．
【答案】5．
【解析】
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=，则AC的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设CD=x，则AC==x，
∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，
∴（x）2+（x+2）2=（2）2，
解得，x=1，∴AC=．
故选A．
考点：解直角三角形．
16.如图4，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________．
【答案】10
【解析】
试题分析：先根据三角形的内角和求得∠ACB的度数，再根据垂直平分线的性质可得AD=CD，则可得∠A=∠ACD=40°，从而求得结果.
∵∠B=90°，∠A=40°
∴∠ACB=50°
∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=40°
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD=10°.
考点：本题考查的是垂直平分线的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
17.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F．由角平分线性质得FD=CD=1，在Rt△BDF中，FD=1，BD=2，得∠B=30°，再证∠1=∠2=30°，再求AD=2FD=2，利用勾股定理可求AE=，最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半可求得.
【详解】过点D作DF⊥AB于点F．
∵AD平分∠BAC交BC于点D，CD=1，
∴FD=CD=1；
在Rt△BDF中，FD=1，BD=2，
∴∠B=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴∠1=∠2=30°，
∴在Rt△AFD中，AD=2FD=2；
∴在Rt△AED中，AE=
∴MD=AE=
故正确选项为：
【点睛】本题考核知识点：角平分线，勾股定理，直角三角形性质. 解题的关键：做出辅助线，通过特殊边的数量关系推出特殊角，再解直角三角形即可.此题比较综合.
三、解答题
18.如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在Rt∆ADC中，AD=2，∠DAC=30°，利用勾股定理即可求得AC的长．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
,
∴AB=AC
在Rt∆ADC中，
∴AC=2CD，AC2=AD2+CD2
【点睛】本题考查勾股定理的应用，角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.
19.如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，再有∠B=∠D，根据“AAS”即得△AFD≌△BEC，于是AD=CB．
【详解】解：AE=CF，
AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
AD∥BC，
∠A=∠C，
在△AFD与△BEC中
△AFD≌△BEC，
∴AD=CB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．
20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交CD于F，交BC于E，试说明△CEF是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由已知得三角形AFD和三角形ACE是直角三角形，由AE是∠BAC的平分线，得∠CAE=∠EAB，再由∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，可得∠CFE=∠CEF，从而得出等腰三角形.
【详解】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠EAB+∠B=∠CEF，∠CAE+∠ACD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
【点睛】本题由已知条件可知，要说明△CEF是等腰三角形，应从角方面去探索，利用等角的余角相等及对顶角相等的知识可解决问题．
21.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF．
求证：AE=AF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线性质，垂直定义，可以得到全等三角形的条件，根据全等三角形性质，得出对应边相等.
【详解】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF．
【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定. 解题的关键：根据已知条件找出三角形全等的条件，证出全等，得到对应边相等.
22.如图，中，，的垂直平分线分别交于点和，则的周长是_______________.
【答案】10．
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.从DE是AC的垂直平分线，得AD=DC，所以△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10．
【点睛】本题考核知识点：线段垂直平分线性质. 解题的关键：通过线段垂直平分线性质，将三角形的一些边转移到同一直线上.
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