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初中数学沪科版九年级下册24.6.2 正多边形的性质优秀课时练习
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这是一份初中数学沪科版九年级下册24.6.2 正多边形的性质优秀课时练习，共7页。
一、选择题
1.已知正多边形的中心角是30°,那么这个正多边形的边数是( )
A .12 B. 10 C. 8 D. 6
2.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A .1 B. 3 C. 2 D. 23
3.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( )
A .23 B. 33 C. 43 D .63
4.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )
①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图1,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是( )
图1 图2
A R2-r2=a2 B. a=2Rsin36° C .a=2rtan36° D. r=Rcs36°
6.如图2,四边形ABCD和四边形EFGH分别是☉O的外切正四边形和内接正四边形,则EFAB等于( )
A .12 B .14 C.2 2 D .23
7.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图3是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格.正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图K-14-3所示,则△ABC是直角三角形的个数为( )
A .4 B. 6 C .8 D. 10
图3 如图4
8,（2020•凉山州）如图4，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（ ）
A．22：3B．2：3C．3：2D．3：22
二、填空题
9.如图5,一个正n边形纸片被撕掉了一部分,已知它的中心角∠AOB是40°,那么n= .
图5 图6
10.如图6,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为 .
11.如图7,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为 .
图7 图8
12.如图8,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,则∠BED的度数为 .
13.如图9,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为 .
图9 图10
14.（2020•徐州）如图10，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
三、解答题
15.如图11,以正六边形ABCDEF的边AB为边,在形内作正方形ABMN,连接MC,求∠BCM的度数.
图11
16.如图12,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)设T1,T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r∶a及r∶b的值;
(2)求正六边形T1,T2的面积比S1∶S2的值.
图12
答案解析
1.[答案] A
2.[解析] B 如图,连接OA,OB,OG.
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=2,
∴OG=OA·sin60°=2×32=3,
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3.故选B.
3.[答案] B
4.[答案] C
5.[解析] A ∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆,
∴∠BOC=15×360°=72°,
∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°.
则R2-r2=12a2=14a2;12a=Rsin36°,a=2Rsin36°;12a=rtan36°,a=2rtan36°;cs36°=rR,r=Rcs36°.∴关系式错误的是R2-r2=a2.故选A.
6.[解析] C 过点O作ON⊥BC于点N,交EF于点M,连接OB,OC.易知EFAB=EFBC=OMON=OMOE=22.
7.[解析] D 如图,当AB是直角边时,点C共有6个位置C1,C2,C3,C4,C5,C6;
当AB是斜边时,点C共有4个位置C7,C8,C9,C10.
综上所述,△ABC是直角三角形的个数为6+4=10.
10.【解析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH=12AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=12×120°＝60°，
∴AD=2OA，AH＝OA•sin60°=32OA，
∴AB＝2AH＝2×32OA=3OA，
∴ADAB=2OA3OA=23，
故选：B．
9.[答案] 9
10.[答案] 8
11.[答案] 12,-32
12.[答案] 45°
[解析] 易知△ADE和△ABE都是等腰三角形,且∠DAE=120°,则∠AED=12×(180°-120°)=30°.在△ABE中,∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=150°,∴∠AEB=12×(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AED+∠AEB=45°.
13.[答案] 26
[解析] 连接AC,OE,OF,作OM⊥EF于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC是☉O的直径,AC=42,
∴OE=OF=22.
∵OM⊥EF,∴EM=MF.
∵△EFG是等边三角形,
∴∠GEF=60°.
在Rt△OME中,
∵OE=22,∠OEM=12∠GEF=30°,
∴OM=2,EM=3OM=6,
∴EF=26.故答案为26.
14【解析】连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故答案为：10．
15.解:∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠ABC=120°,AB=BC.
∵四边形ABMN为正方形,
∴∠ABM=90°,AB=BM,
∴∠MBC=120°-90°=30°,BM=BC,
∴∠BCM=∠BMC,
∴∠BCM=12×(180°-30°)=75°.
16.解:(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形,
所以r∶a=1∶1;
连接圆心O和T2相邻的两个顶点,得以圆O半径为高的正三角形,
所以r∶b=3∶2.
(2)因为T1与T2的边长比是3∶2,
所以S1∶S2=(3∶2)2=3∶4.
一、选择题
1.已知正多边形的中心角是30°,那么这个正多边形的边数是( )
A .12 B. 10 C. 8 D. 6
2.已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A .1 B. 3 C. 2 D. 23
3.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( )
A .23 B. 33 C. 43 D .63
4.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有( )
①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤线段;⑥圆;⑦菱形;⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图1,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是( )
图1 图2
A R2-r2=a2 B. a=2Rsin36° C .a=2rtan36° D. r=Rcs36°
6.如图2,四边形ABCD和四边形EFGH分别是☉O的外切正四边形和内接正四边形,则EFAB等于( )
A .12 B .14 C.2 2 D .23
7.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图3是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格.正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图K-14-3所示,则△ABC是直角三角形的个数为( )
A .4 B. 6 C .8 D. 10
图3 如图4
8,（2020•凉山州）如图4，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（ ）
A．22：3B．2：3C．3：2D．3：22
二、填空题
9.如图5,一个正n边形纸片被撕掉了一部分,已知它的中心角∠AOB是40°,那么n= .
图5 图6
10.如图6,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为 .
11.如图7,将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为 .
图7 图8
12.如图8,以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD,则∠BED的度数为 .
13.如图9,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为 .
图9 图10
14.（2020•徐州）如图10，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
三、解答题
15.如图11,以正六边形ABCDEF的边AB为边,在形内作正方形ABMN,连接MC,求∠BCM的度数.
图11
16.如图12,有一个圆O和两个正六边形T1,T2.T1的6个顶点都在圆周上,T2的6条边都和圆O相切(我们称T1,T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).
(1)设T1,T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r∶a及r∶b的值;
(2)求正六边形T1,T2的面积比S1∶S2的值.
图12
答案解析
1.[答案] A
2.[解析] B 如图,连接OA,OB,OG.
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,
∴△OAB是等边三角形,
∴OA=AB=2,
∴OG=OA·sin60°=2×32=3,
∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3.故选B.
3.[答案] B
4.[答案] C
5.[解析] A ∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆,
∴∠BOC=15×360°=72°,
∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°.
则R2-r2=12a2=14a2;12a=Rsin36°,a=2Rsin36°;12a=rtan36°,a=2rtan36°;cs36°=rR,r=Rcs36°.∴关系式错误的是R2-r2=a2.故选A.
6.[解析] C 过点O作ON⊥BC于点N,交EF于点M,连接OB,OC.易知EFAB=EFBC=OMON=OMOE=22.
7.[解析] D 如图,当AB是直角边时,点C共有6个位置C1,C2,C3,C4,C5,C6;
当AB是斜边时,点C共有4个位置C7,C8,C9,C10.
综上所述,△ABC是直角三角形的个数为6+4=10.
10.【解析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH=12AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=12×120°＝60°，
∴AD=2OA，AH＝OA•sin60°=32OA，
∴AB＝2AH＝2×32OA=3OA，
∴ADAB=2OA3OA=23，
故选：B．
9.[答案] 9
10.[答案] 8
11.[答案] 12,-32
12.[答案] 45°
[解析] 易知△ADE和△ABE都是等腰三角形,且∠DAE=120°,则∠AED=12×(180°-120°)=30°.在△ABE中,∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=150°,∴∠AEB=12×(180°-150°)=15°,∴∠BED=∠AED+∠AEB=45°.
13.[答案] 26
[解析] 连接AC,OE,OF,作OM⊥EF于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=4,∠ABC=90°,
∴AC是☉O的直径,AC=42,
∴OE=OF=22.
∵OM⊥EF,∴EM=MF.
∵△EFG是等边三角形,
∴∠GEF=60°.
在Rt△OME中,
∵OE=22,∠OEM=12∠GEF=30°,
∴OM=2,EM=3OM=6,
∴EF=26.故答案为26.
14【解析】连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故答案为：10．
15.解:∵六边形ABCDEF为正六边形,
∴∠ABC=120°,AB=BC.
∵四边形ABMN为正方形,
∴∠ABM=90°,AB=BM,
∴∠MBC=120°-90°=30°,BM=BC,
∴∠BCM=∠BMC,
∴∠BCM=12×(180°-30°)=75°.
16.解:(1)连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形,
所以r∶a=1∶1;
连接圆心O和T2相邻的两个顶点,得以圆O半径为高的正三角形,
所以r∶b=3∶2.
(2)因为T1与T2的边长比是3∶2,
所以S1∶S2=(3∶2)2=3∶4.
