初中数学华师大版九年级下册第26章 二次函数综合与测试优秀教案

这是一份初中数学华师大版九年级下册第26章 二次函数综合与测试优秀教案，共6页。教案主要包含了知识结构，精典例题讲解，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

＆.教学目标：


1、能结合实例说出二次函数的意义。


2、能写出实际问题中二次函数的关系式，会画它的图象,说出它的性质。


3、掌握二次函数平移的规律。


4、会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标及最值。


5、会用待定系数法灵活地求出二次函数的关系式。


6、熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。


7、会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。


＆.教学重点、难点：


重点：


1、能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。


2、会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。


难点：


1、会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值。


2、会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。


＆.教学过程：


一、知识结构


实际问题


二次函数


二次函数的图象


二次函数的性质


二次函数的应用


Ⅰ.知识网络：教材《知识结构》











Ⅱ.概括：


1、二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型。要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题。


2、二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值随自变量的增大而增大（或减小）？何时函数取得最大（或最小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）。


3、在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为（、为常数）的形式，抓住它与的图象之间的联系来研究。要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法。


Ⅲ.方法技能归纳：


1、二次函数的性质应用


二次函数：图象是一条抛物线，抛物线关于直线对称，抛物线顶点坐标为（，）.


当时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大。


当时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值，，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。


决定抛物线的开口方向，决定开口大小，决定对称轴的位置，决定抛物线与轴的交点位置，的符号决定抛物线与轴有无交点。


2、二次函数解析式的确定与计算


因为二次函数解析式一般有三种形式，所以二次函数解析式时常有三种方法：


（1）知道一般三个点，可设一般式建立方程组求出待定系数，确定函数解析式；


（2）已知条件中含顶点坐标（，）或对称轴或最大（小）值时，设顶点式建立方程（组）求出待定系数，确定函数解析式；


（3）已知条件中含与轴的交点坐标（，），（，）或对应的一元二次方程的根的值时，可设交点式建立方程（组）求出待定系数，确定函数解析式.


3、二次函数图象的对称问题


（1）二次函数图象自身的对称问题


二次函数的图象关于直线对称，即若点（，）在函数图象上，则（，）也一定在函数图象上。


（2）二次函数图象关于坐标轴、原点的对称性问题


①把原函数中的换成，不变，所得的解析式是原函数图象关于轴对称的图象的解析式。





②把原函数中的不变，换成，所得的解析式是原函数图象关于轴对称的图象的解析式。





③把原函数中的换成，换成，所得的解析式是原函数图象关于原点对称的图象的解析式。





4、函数图象平移的问题


（1）函数图象的上、下平移：函数图象向上平移个单位，就是将函数解析式的右边加上（上加），即用代替原式中的；函数图象向下平移个单位，就是将函数解析式的右边减去（下减），即用代替原解析式中的。


（2）函数图象的左、右平移：函数图象向左平移个单位，就是用（）代替原式中的（左加）；函数图象向右平移个单位，就是用（）代替原解析式中的（右减）。


二、精典例题讲解


题型一：用待定系数法求二次函数解析式的问题


§.例1、根据所给的条件，求二次函数的解析式。


（1）抛物线经过点（，），（，），（，）三点，求抛物线的解析式；


（2）抛物线的顶点是（，），且过（，），求抛物线的解析式；


（3）二次函数的最小值是，且它的图象与轴的两个交点的横坐标为和，求抛物线的解析式。


同步训练：已知抛物线，分别求满足下列条件的函数解析式：


（1）抛物线经过一次函数与轴、轴的交点，并且经过点（，）；


（2）抛物线的顶点坐标为（，），且与轴两交点间的距离为.


x


O


C


A


B


图 1


y


§.例2、（2019年广西玉林）如图，抛物线与轴的负半轴相交于、两点，与轴的正半轴相交于点，与双曲线的一个交点为（，）且，求抛物线的解析式。


解：∵双曲线经过点（，）


∴


∵


∴，故点的坐标为（，）


由题意得：


解得，


抛物线的解析式为.


同步训练：（2018年四川成都）已知二次函数的图象与轴的一个交点为（，），求二次函数的解析式和顶点坐标。


题型二：利用二次函数的性质、图象解决问题


§.例3、已知二次函数.


（1）求它的图象开口方向、顶点坐标和对称轴；


（2）取何值时，顶点在轴上；


（3）若这个函数的图象经过原点，求这个函数的解析式，并判定取何值时，随的


增大而减小。


解析：(1)根据公式（或配方法）化为顶点式即可；（2）抓住点在轴上的坐标特征（纵坐标为），进而确定的值；（3）抓住关键：函数的图象经过原点，可求出的值。


同步训练：


.根据图象，在下列表格中填上“”、“”、“”.


（1）；（2）；（3）；（4）.


-1


x


y


图 2


1


.已知函数，其中，，，试问：


（1）抛物线的对称轴在轴的左侧还是右侧；


（2）抛物线同轴有无交点，若有，请求出交点坐标；


（3）抛物线同轴的交点在轴上方还是下方.


.若抛物线的图象经过二、三、四象限，且不过原点。


（1）顶点在第几象限；


（2）（，）在第几象限。


题型三：利用二次函数的性质、图象解决探究性问题


§.例4、已知抛物线与轴有两个交点（，），（，）（）.


（1）试求的取值范围；


（2）若，抛物线的顶点为，过点的直线与轴相交于点（，），且直线把分得的两部分中，其中一部分的面积不超过面积的，试求的取值范围。


解析：（1）由于抛物线与轴有两个交点，故可由建立不等式得出；（2）要使或的面积不超过面积的，关键要确定点和、的坐标，故需要确定二次函数的解析式，可根据，求出的值。


x


O


C


A


B


图 3


y


解：（1）∵抛物线与轴有两个交点


∴即，解得


（2）∵，则，即，解得：


∴.


顶点坐标为（，），方程的解为，


∴（，），（，）


若，则.故（，）


若，则.故（，）


∴当或时，所得的一部分面积不超过面积的.


同步训练：已知抛物线与轴交于（，），（，）（点、分别位于原点两侧，且在点的左边），与轴交于点，满足，求此抛物线的解析式。


§.例5、（2019年海口实验区）如图，抛物线与轴交于点（，），（，）两点。


（1）求该抛物线的解析式；


（2）设（1）中的抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足？并求出此时点的坐标。


（3）设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。


§.例6、（2018年湟中实验区）二次函数的图象经过（，），（，），并且以为对称轴。


（1）求此函数的解析式；


（2）作出二次函数的大致图象；


（3）在对称轴上是否存在一点，使中？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。


同步训练：（2019年四川成都）已知抛物线与轴交于（，），（，）两点，与轴的正半轴交于点.如果、是方程的两个根，


且的面积为.


（1）求此抛物线的解析式；


（2）求直线和的方程；


（3）如果是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作直线（为常数），与直线交于点，则在轴上是否存在点，使得以为一腰的为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。


三、课堂小结


通过本节课的复习巩固，要求同学们


1、理解二次函数的概念；


2、利用二次函数的性质和图象解决相关问题；


3、灵活地运用二次函数的性质解决身边的生活实际问题，建立函数模型。


四、课外作业


教材 复习题组