华师大版九年级下册2. 圆的对称性优秀教案

这是一份华师大版九年级下册2. 圆的对称性优秀教案，共4页。教案主要包含了情景导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

第五课时 圆的对称性（四）


＆.教学目标：


1、理解并记住垂径定理及其逆定理。


2、会用垂径定理及其逆定理进行求值计算。


3、在探究垂径定理的过程中培养学生动手操作的能力，进一步体验圆的对称美。


＆.教学重点、难点：


重点：垂径定理、逆定理的内容及应用。


难点：垂径定理及其推论的正确区分与运用。


＆.教学过程：


一、情景导入


小明的妈妈在打扫卫生的时候，不小心把梳妆台上的圆形玻璃片打碎了（如图），这可怎么办呢？于是妈妈叫来几个工人，准备把梳妆台抬出去配玻璃。这时，小明放学回家，向妈妈问明了情况后，认为不用这么麻烦，只用一块玻璃残片（第②块）拿来进行测量，然后计算出圆形玻璃片的半径就可以了，像以上这个问题的解决需要用到今天要学习的知识，继续利用圆的对称性来探究圆的基本性质。


①


图 1


②


③











二、探究新知


§.探究垂径定理.


问题1：圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴，如果在圆纸片上任意画一条垂直于直径的弦，垂足为，再将纸片沿着直径对折，你能发现什么结论？


讨论：可以得到两部分重合，且线段，，.


猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弦.


问题2：你能用逻辑推理的方法证明你的猜想吗？


已知：在⊙中，是直径，是弦，，垂足为.


求证：，，.


解析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？连结，后我们可以得到一个等腰三角形，所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙的对称轴，那么当把圆沿直径折叠时，会发现哪些部分重合。


证明：连结、、、


则，即是等腰三角形


C


E


D


B


A


O


图 2


∵


∴


又是公共边


∴


∴，


∴，，


＆.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.


数学语言：∵是直径，


∴，，


注意：垂径定理不但给我们提供了证明线段相等、弧相等的工具，也给我们进行圆的计算提供了理论基础，关键是可以构造直角三角形利用勾股定理，它是我们所学习的圆部分的最重要的定理之一。


三、讲解例题，巩固新知


§.例1、如图，已知⊙中，弦的长为，圆心到的距离为，求⊙的半径。


解：连结.过作，垂足为，则


E


B


A


O


图 3


，


∵


∴


在中，有





答：⊙的半径为.


思考：若⊙的半径为，弦心距为及弦长三者之间的关系？


三者之间的关系是：


根据此公式，在，弦心距为及弦长三个量中，知道任何两个量接可以求出第三个量。


同步练习：已知⊙的直径为，弦垂直于点，且，求的长。


§.例2、如图，已知以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点。


C


D


E


B


A


O


图 4


求证：


解析：由垂径定理平分弦而得.


解：过作，垂足为，则


，


∴


即


归纳：解决圆的问题时，常常构造半径和弦心距，利用垂径定理和勾股定理解决问题。


§.例3、如图，已知中，，，，以为圆心，以为半径作圆交于，求.


解：过作于


∴（垂径定理）


∵


∴（面积法）


C


M


B


A


O


图 5


∵，


∴（勾股定理）


∴


在中，有





∴，


答：的长为.


§.例4、如图，是直径，直线与⊙相交于、，于，于，.


求证：


解析：利用平行线分线段成比例和垂径定理即可解决。


l


F


HA


C


D


E


B


A


O


图 6


HA


C


E


B


A


O


图 7


F


D


l


HA


C


E


B


A


O


图 8


F


D


l

















变换1：如图，是直径，直线与⊙相交于、，于，于.


求证：


变换2：如图，是直径，弦和相交，直线与⊙相交于、，于，于.


求证：


四、巩固练习


1、教材 练习


2、请你解决《情境导入》中提出的问题。


五、课堂小结


通过本节课的学习，要求同学们


1、理解掌握垂径定理并能利用垂径定理解决相关问题。


2、掌握应用垂径定理解决问题中常常通过添半径、弦心距构造直角三角形，从而解决有关弦、弧、弦心距等有关计算问题。


六、课外作业


1、教材 习题27.1