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华师大版九年级下册2. 圆的对称性优秀教案及反思
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这是一份华师大版九年级下册2. 圆的对称性优秀教案及反思，共4页。教案主要包含了情景导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。
第六课时 圆的对称性（五）
＆.教学目标：
1、理解并记住垂径定理及其逆定理。
2、会用垂径定理及其逆定理进行求值计算。
3、在探究垂径定理的过程中培养学生动手操作的能力，进一步体验圆的对称美。
＆.教学重点、难点：
重点：垂径定理、逆定理的内容及应用。
难点：垂径定理及其推论的正确区分与运用。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、垂径定理的内容是怎样的？请将这个命题写出“如果………那么”的形式，并找出题设和结论。
2、在半径为的⊙中，有长的弦.计算：
（1）点与之间的距离；
（2）之间的度数。
3、思考：对于垂径定理可以分成几个部分，若一条直线满足：（1）垂直于弦；（2）过圆心的线（半径、直径等等），则可推出：（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.若将题设和结论交换得到新的命题，这个命题成立吗？
二、探究新知
§.探究垂径定理推论（1）
问题1：若，是直径，那么，，吗？
讨论：通过折叠得到两部分重合，且，，.
猜想：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
问题2：你能用逻辑推理的方法证明你的猜想吗？
已知：在⊙中，是直径，是弦（不是直径），与相交于点，且.
求证：，，.
解析：因为，，是公共边，所以，得，，.
C
E
D
B
A
O
图 1
证明：∵，，是公共边
∴
∴，
∴，
∵
∴，即
归纳：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
问题2：（1）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.这两个命题成立吗？请你加以说明。
教学方法：教师引导学生类似上面进行加以证明。
＆.垂径定理推论1：
（1）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.
注意：
（1）当平分弦的条件时，被平分的弦不能是直径，否则得到的不是真命题，因为任意两条直径相互平分，但不一定相互垂直。
（2）垂径定理及推论的五个元素“①直径；②平分优弧；③平分劣弧；④垂直于弦；⑤直径平分不是直径的弦.”把其中两个元素作为条件，其他三个条件作为结论，命题成立（记成“二”推“三”）。
数学语言表达：（如图）
（1）是直径，，，.
（2）（不是直径），是直径，，.
（3），是直径，，.
（4）是直径，，，.
………………
§.探究垂径定理推论（2）
问题3：如图，，那么吗？请你加以说明.
M
C
A
O
图 2
B
N
D
验证：过作
∵
∴
∴，
∴.
＆.垂径定理推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
数学表达：∵ ∴
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长为米拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为米，求桥拱的半径（精确到米）。
图 3
C
A
O
B
D
图 4
解：如图，表示桥拱，的圆心为，半径为米。
经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点.根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高.由题设得：
C
D
O
图 5
A
B
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
即
解这个方程，得：（米）
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为米。
同步练习：在直径为的圆柱油槽内装有一些油后，截面积如图，若油面宽，则油的最大深度为多少？
方法点拨：
1、在使用垂径定理时，一定与勾股定理结合着使用。
2、垂径定理中是两个作为条件可推出三个结论。
§.例2、某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，顶部为长方形并高出水面米的货轮要经过这里，如图，问此货轮可以通过拱桥吗？
解析：求出当为米时，是否够米或为米时，是否够米即可解决问题。
E
HA
F
M
N
C
D
O
图 6
A
B
解：连结、、，由题意得：
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
即
解这个方程，得：（米）
在中，，
若，则
即
∴（米）
答：此货轮可以通过拱桥。
方法点拨：若，则，，则，米。
C
P
D
O
图 7
A
B
§.例3、如图，点在以为直径的⊙上，于，设，.
（1）求弦的长；
（2）如果，求的最大值，并求出此时，的值。
解：（1）连结，则，
∴
∴.
（也可根据∽求解）
E
C
D
O
图 8
A
B
（2）由于，所以，得
所以的最大值为，此时.
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握垂径定理及推论并能利用垂径定理及推论解决相关问题。
2、掌握应用垂径定理及推论解决问题中常常通过添半径、弦心距构造直角三角形，从而解决有关弦、弧、弦心距等有关计算问题。
六、课外作业
1、教材 习题27.1
第六课时 圆的对称性（五）
＆.教学目标：
1、理解并记住垂径定理及其逆定理。
2、会用垂径定理及其逆定理进行求值计算。
3、在探究垂径定理的过程中培养学生动手操作的能力，进一步体验圆的对称美。
＆.教学重点、难点：
重点：垂径定理、逆定理的内容及应用。
难点：垂径定理及其推论的正确区分与运用。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、垂径定理的内容是怎样的？请将这个命题写出“如果………那么”的形式，并找出题设和结论。
2、在半径为的⊙中，有长的弦.计算：
（1）点与之间的距离；
（2）之间的度数。
3、思考：对于垂径定理可以分成几个部分，若一条直线满足：（1）垂直于弦；（2）过圆心的线（半径、直径等等），则可推出：（3）平分弦；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧.若将题设和结论交换得到新的命题，这个命题成立吗？
二、探究新知
§.探究垂径定理推论（1）
问题1：若，是直径，那么，，吗？
讨论：通过折叠得到两部分重合，且，，.
猜想：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
问题2：你能用逻辑推理的方法证明你的猜想吗？
已知：在⊙中，是直径，是弦（不是直径），与相交于点，且.
求证：，，.
解析：因为，，是公共边，所以，得，，.
C
E
D
B
A
O
图 1
证明：∵，，是公共边
∴
∴，
∴，
∵
∴，即
归纳：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
问题2：（1）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.这两个命题成立吗？请你加以说明。
教学方法：教师引导学生类似上面进行加以证明。
＆.垂径定理推论1：
（1）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所的另一条弧.
注意：
（1）当平分弦的条件时，被平分的弦不能是直径，否则得到的不是真命题，因为任意两条直径相互平分，但不一定相互垂直。
（2）垂径定理及推论的五个元素“①直径；②平分优弧；③平分劣弧；④垂直于弦；⑤直径平分不是直径的弦.”把其中两个元素作为条件，其他三个条件作为结论，命题成立（记成“二”推“三”）。
数学语言表达：（如图）
（1）是直径，，，.
（2）（不是直径），是直径，，.
（3），是直径，，.
（4）是直径，，，.
………………
§.探究垂径定理推论（2）
问题3：如图，，那么吗？请你加以说明.
M
C
A
O
图 2
B
N
D
验证：过作
∵
∴
∴，
∴.
＆.垂径定理推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
数学表达：∵ ∴
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长为米拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为米，求桥拱的半径（精确到米）。
图 3
C
A
O
B
D
图 4
解：如图，表示桥拱，的圆心为，半径为米。
经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点.根据垂径定理，是的中点，是的中点，就是拱高.由题设得：
C
D
O
图 5
A
B
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
即
解这个方程，得：（米）
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为米。
同步练习：在直径为的圆柱油槽内装有一些油后，截面积如图，若油面宽，则油的最大深度为多少？
方法点拨：
1、在使用垂径定理时，一定与勾股定理结合着使用。
2、垂径定理中是两个作为条件可推出三个结论。
§.例2、某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，顶部为长方形并高出水面米的货轮要经过这里，如图，问此货轮可以通过拱桥吗？
解析：求出当为米时，是否够米或为米时，是否够米即可解决问题。
E
HA
F
M
N
C
D
O
图 6
A
B
解：连结、、，由题意得：
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
即
解这个方程，得：（米）
在中，，
若，则
即
∴（米）
答：此货轮可以通过拱桥。
方法点拨：若，则，，则，米。
C
P
D
O
图 7
A
B
§.例3、如图，点在以为直径的⊙上，于，设，.
（1）求弦的长；
（2）如果，求的最大值，并求出此时，的值。
解：（1）连结，则，
∴
∴.
（也可根据∽求解）
E
C
D
O
图 8
A
B
（2）由于，所以，得
所以的最大值为，此时.
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握垂径定理及推论并能利用垂径定理及推论解决相关问题。
2、掌握应用垂径定理及推论解决问题中常常通过添半径、弦心距构造直角三角形，从而解决有关弦、弧、弦心距等有关计算问题。
六、课外作业
1、教材 习题27.1
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