北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理一课一练

这是一份北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理一课一练，共16页。试卷主要包含了3垂径定理 同步测试含答案，1米B．4，2米处的高度与车高．，5，等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）


A．1B．7C．1或7D．3或4


2．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（ ）





A．1B．2C．3D．4


3．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）





A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米


4．如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝，那么BC＝（ ）





A．3B．C．D．


5．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）





A．2B．3C．D．3


6．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P（0，﹣3），那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为 （ ）





A．4B．5C．8D．10


7．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝6，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（ ）





A．3B．4C．5D．6


8．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（ ）mm．





A．350B．700C．800D．400


9．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（ ）





A．8B．16 C．32D．32


10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（ ）





A．17B．18C．19D．20


二．填空题


11．在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，AC＝2，则弦BC的长为 ．


12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为 cm．





13．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 寸．





14．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有 个．





15．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧，例如，图中是△ABC其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分别是FO，FH的中点，△FOH的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围是 ．





三．解答题


16．如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．





17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．


（1）求证：AC＝CG；


（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．





18．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．


（1）求线段DE的长；


（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．








参考答案


一．选择题


1．解：①当AB、CD在圆心两侧时；


过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：


∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，


∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，


∴EF为AB、CD之间的距离


在Rt△OEC中，由勾股定理可得：


OE2＝OC2﹣CE2


∴OE＝＝3，


在Rt△OFA中，由勾股定理可得：


OF2＝OA2﹣AF2


∴OF＝＝4，


∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，


AB与CD的距离为7；


②当AB、CD在圆心同侧时；


同①可得：OE＝3，OF＝4；


则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；


综上所述：AB与CD间的距离为1或7．


故选：C．





2．解：如图所示，


根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．





故选：B．


3．解：∵车宽2.4米，


∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．


在Rt△OCD中，由勾股定理可得：


CD＝＝＝1.6（m），


CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，


∴卡车的外形高必须低于4.1米．


故选：A．


4．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，


∴AN＝CN，AM＝BM，


∴BC＝2MN，


∵MN＝，


∴BC＝2，


故选：C．


5．解：过点O作OE⊥AB于E，如图：





∵O为圆心，


∴AE＝BE，


∴OE＝BC，


∵OE≤OP，


∴BC≤2OP，


∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，


最大值为2OP＝2．


故选：A．


6．解：过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的⊙O的最短的弦，连接OB，


则由垂径定理得：AB＝2AP＝2BP，


在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理得：PB＝4，


则AB＝2PB＝8，


故选：C．





7．解：∵点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，


∴根据垂径定理知，


∴AE＝EP、BF＝PF，即E为AP中点，F为PB中点，


∴EF为△APB中位线；


又AB＝6，


∴EF＝AB＝×6＝3（三角形中位线定理）；


故选：A．


8．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．





设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，


由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，


解得，x＝400，


∴2x＝800，


答：车轱辘的直径为800mm．


故选：C．


9．解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，


连接OA，OB，OD，


∵AB∥CD，


∴EF⊥CD，


∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，


∴OH＝OA，


∴∠HAO＝30°，


∴∠AOH＝60°，


同理∠DOG＝60°，


∴∠AOD＝60°，


∴△AOD是等边三角形，


∵OA＝OB，


∴∠ABO＝∠BAO＝30°，


∴∠AOB＝120°，


∴∠AOD+∠AOB＝180°，


∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，


∴∠DAB＝90°，


同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，


∴四边形ABCD是矩形，


∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，


∴四边形ABCD的面积是16，


故选：B．





10．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，


∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，


∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，


∴H、I是AC、BC的中点，


∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，


∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，


∴PH+QI＝13﹣7＝6，


∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，


故选：C．





二．填空题


11．解：分两种情况：


①如图1所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，





则AE＝CE＝AC＝，


∴OE＝＝＝1＝OA，


∴∠OAE＝30°，


∵OA＝OB＝2，AB＝2，


∴OA＝OB＝AB，


∴∠OAB＝60°，


∴∠BAC＝90°，


∴BC是⊙O的直径，


∴BC＝2OA＝4；


②如图2所示：作OE⊥AC于E，连接OA、OB，





同①得：∠OAE＝30°，


∵OA＝OB＝AB，


∴∠AOB＝60°，


∴∠BAC＝30°，∠ACB＝∠AOB＝30°，


∴∠BAC＝∠C，


∴BC＝AB＝2；


故答案为：4或2．


12．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，


∵四边形ABCD是矩形，


∴∠C＝∠D＝90°，


∴四边形CDMN是矩形，


∴MN＝CD＝12，


设OF＝xcm，则ON＝OF，


∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，


在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2


即：（12﹣x）2+62＝x2


解得：x＝7.5，


故答案为：7.5．





13．解：连接OC，


∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，


∴E为CD的中点，


又∵CD＝10寸，


∴CE＝DE＝CD＝5寸，


设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，


由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，


即（x﹣1）2+52＝x2，


解得：x＝13，


∴AB＝26寸，


即直径AB的长为26寸，


故答案为：26．


14．解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，


∴点B的坐标为（0，﹣4），


又∵点P的坐标为（0，﹣7），


∴BP＝3，


①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，


连接BC，


在Rt△BCP中，CP＝＝4；


故CD＝2CP＝8，


②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；


所以，8≤CD≤10，


所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），


综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，


故答案为：3．





15．解：如图，连接MN，


由垂径定理可知，圆心P一定在线段MN的垂直平分线上，


作MN的垂直平分线QP，


∵M，N分别是FO，FH的中点，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），


∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），


若圆心在线段MN上方时，


设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心P在线段MN上方射线QP上均可，


∴m≥2，


当圆心在线段MN下方时，


∵OF＝OH，∠FOH＝90°


∴∠FHO＝45°，


∵MN∥OH，


∴∠FNM＝∠FHO＝45°，


作NG⊥FH交直线QP于G，QG＝NQ＝1，


根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）的直线QP上时也符合要求；


∴m≤1，


综上所述，m≤1或m≥2，


故答案为m≤1或m≥2．





三．解答题


16．解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，


∴AC＝＝4，


设⊙O的半径OA＝r，


∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，


在Rt△OAC中，


r2＝（r﹣2）2+42，


解得：r＝5，


17．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，


∴∠DEB＝∠BFG＝90°，


∵∠DBE＝∠GBF，


∴∠D＝∠G，


∵∠A＝∠D，


∴∠A＝∠G，


∴AC＝CG．





（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，


∵CA＝CG，CD⊥AB，


∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，


∴OE＝AE﹣OA＝，


在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，


∴r2＝（）2+42，


解得r＝或（舍弃），


∴⊙O的半径为．





18．解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，


∴AD＝DC，


同理：CE＝EB，


∴DE是△ABC的中位线，


∴DE＝AB，


∵AB＝8，


∴DE＝4．





（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，





∵OH经过圆心O，


∴AH＝BH＝AB，


∵AB＝8，


∴AH＝4，


在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，


∴AO＝5，即圆O的半径为5．