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初中数学17.1 变量与函数第二课时教学设计
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这是一份初中数学17.1 变量与函数第二课时教学设计，共6页。教案主要包含了创设问题情境，导入新知，探究新知，提高认识，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。
第二课时 变量与函数（二）
＆.教学目标：
1、进一步理解函数的概念，使学生掌握关系式为只含一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数自变量的取值范围的求法。
2、引导学生通过比较、归纳、发现规律，提高学生联系实际分析问题的能力。
3、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的，是不断运动变化着的。
＆.教学重点、难点：
重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值。
难点：函数关系的抽象与概括。
＆.教学过程：
一、创设问题情境，导入新知
试一试：
1、填写如图1所示的加法表，然后把所有填有的格子填黑，看看你发现什么？
图 1
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
5
6
C M A N
B Q P
图 2
如果把这些涂黑的格子横向的加数用表示，纵向的加数用表示，试写出与的关系。（或）
2、试写出等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式。（）
3、如图2，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合，试写出重叠部分面积与线段长度之间函数关系式。（）
4、初二.一班有男生名，女生名，共有人，试写出与的关系。（）
思考：
1、在上面“试一试”所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。
分析：（1）第1题中不论横向的加数还是纵向的加数都是正整数，因此，的取值范围受到限制，应取的整数；（2）；（3）；（4）的正整数。
2、在上面“试一试”的问题1中，当涂黑的格子横向的加数为时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为时，横向的加数是多少？
二、探究新知
§.探究用数学式子表示的函数的自变量的取值范围。
§.例1、求下列函数中自变量的取值范围。
（1） （2） （3） （4）
分析：用数学式子表示的函数关系式，一般地说，自变量的取值要使式子有意义的值。
解：（1）取任意实数；（2）取任意实数；（3）；（4）.
同步练习：求下列函数自变量的取值范围。
（1） （2） （3） （4）
归纳：
1、要使函数有意义：
（1）若函数的解析式是整式，则自变量的取值范围取全体实数；
（2）若函数的解析式是分式，则自变量的取值范围不能使分母为零；
（3）若函数的解析式是二次根式，则自变量的取值范围使被开方数为非负数；
（4）若函数的解析式是零次方根，则自变量的取值不能使底数为零。
2、实际问题应根据具体情况处理。
§.例2、求函数中自变量的取值范围。
分析：本例是复合函数，从而影响自变量的取值范围的几种情况逐“块”分析，列不等组，取公共部分，注意用“且”而不是“或”。
解：根据题意，得
解得：且且.
同步练习：求函数的取值范围。
§.根据条件求函数值.
§.例3、在上面的练习（3）中，当时，重叠部分的面积是多少？
解：容易得到，函数的关系式为：
当时，重叠部分面积为.
∴当时，重叠部分的面积是
故叫做当时函数的值。
同步练习：求当时的函数值。
归纳：求函数值的方法是：代入求值。
三、提高认识，巩固新知
题型一：求函数的值或自变量的值.
§.例4、已知，求
（1）当取，，时函数值；
（2）当取，，时，求的值。
分析：第（1）题是已知自变量的值求函数的值，即求代数式的值；第（2）题实质上是解关于的方程。
解：（1）当时，；
当时，；
当时，.
（2）当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：.
题型二：确定自变量的取值范围.
§.例5、若对于任意实数，函数总有意义，求应满足的条件是什么？
分析：函数有意义，需
解：
∵
∴当时，
故
同步练习：若对于任意实数，函数有意义，求应满足的条件是什么？
题型三：根据实际问题列函数关系式
§.例6、某小汽车的油箱可装油升，原装汽油升，现需加油升。如果每升汽油油价为元，求油箱汽油总价（元）与（升）之间的关系，并求出自变量的取值范围。
解：由题意，得
同步练习：某校的校办厂年的产值是万元，计划从年开始，每年增加万元，求年产值（万元）与年数（年）的函数关系。
§.例7、等腰的周长为，底面长为，腰的长为.
（1）写出关于的函数关系式；
（2）求的取值范围；
（3）求的取值范围。
解：（1）由题意，得：.
（2）因为，所以，解得
又因为，所以，解得
故
（3）
同步练习：已知矩形的周长为.
（1）写出该矩形面积与它的一边的函数关系式；
（2）求自变量的取值范围。
（3）当时，是多少？当时，的值是否存在？为什么？
§.例8、某市的县和县上个月发生了水灾，急需救灾物资吨和吨，该市的县和县伸出援助之手，分别募集到救灾物资吨和吨，全部赠给县和县。已知、两县运货到、两县的运费如下：
（1）设县运到县的救灾物资为吨，求总运费关于的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案。
分析：本题是结合实际设计的应用题.背景是运输问题，涉及的数据用表格绘出，要求同学们仔细看懂表格，运用所收集的数据建立函数的模型。
解：（1）
整理得：
（2）由（1）可知时运费最低，最低运费为（元）
运送方法：把县的吨物资全部运到县，再从县运吨物资到县，县余下的物资全部运到县。
§.例9、某公司到果园基地购买优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在千克（含千克）的有两种销售方案：甲方案：每千克元，由基地送货上门；乙方案：每千克元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从某地到公司的运费为元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果量（千克）之间的关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种法规方案付款最少？并说明理由？
解：（1），
（2）当时，即，解得：
∴购买水果千克时，两种方案一样.
当时，有，解得：
∴水果在（千克）时，选择甲方案付款少.
当时，有，解得：
∴水果在（千克）时，选择乙方案付款少.
§.例10、某公司员工分别住在、、三个住宅区，区有人，区有人，区有人，三个区在同一直线上，位置如下图所示。该公司的接送车打算在此间设一个靠点，为使所有的员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应设在什么位置。
A B C
100米 200米
分析：可用函数思想求解。
解：不妨设停点为，点到点的距离为米，员工到点的路程之和为米。
（1）若点在、（包括，不包括），则
又∵
∴当时，（米）
（2）若点在、间（包括、），则
又∵
∴当时，（米）
综合（1）、（2）可知，当时，即停靠点设在区，所有的员工步行到停靠点的路程和最小，最小为。
同步练习：如图，公路上依次有、、三站，上午点时，甲骑自行车从在、间距离站千米的处出发，向站匀速前进分钟后到达离站千米处。
（1）设小时后，甲离站千米，写出与之间的函数关系式；
（2）若、间和、间距离分别是千米和千米，问从上午几时几分到几时几分，甲在、两站之间（不包括、两站）。
A B C
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握求函数自变量的取值范围的方法及实际问题中自变量的取值范围。
2、能利用函数知识解决实际生活中的一些简单问题。
六、课外作业
1、教材 习题 17.1
出
发
地
运
费
目
的
地
A
B
C
40
30
D
50
80
第二课时 变量与函数（二）
＆.教学目标：
1、进一步理解函数的概念，使学生掌握关系式为只含一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数自变量的取值范围的求法。
2、引导学生通过比较、归纳、发现规律，提高学生联系实际分析问题的能力。
3、通过函数的教学使学生体会到事物是相互联系的，是不断运动变化着的。
＆.教学重点、难点：
重点：了解函数的意义，会求自变量的取值范围及求函数值。
难点：函数关系的抽象与概括。
＆.教学过程：
一、创设问题情境，导入新知
试一试：
1、填写如图1所示的加法表，然后把所有填有的格子填黑，看看你发现什么？
图 1
+
1
2
3
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C M A N
B Q P
图 2
如果把这些涂黑的格子横向的加数用表示，纵向的加数用表示，试写出与的关系。（或）
2、试写出等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系式。（）
3、如图2，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合，试写出重叠部分面积与线段长度之间函数关系式。（）
4、初二.一班有男生名，女生名，共有人，试写出与的关系。（）
思考：
1、在上面“试一试”所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。
分析：（1）第1题中不论横向的加数还是纵向的加数都是正整数，因此，的取值范围受到限制，应取的整数；（2）；（3）；（4）的正整数。
2、在上面“试一试”的问题1中，当涂黑的格子横向的加数为时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为时，横向的加数是多少？
二、探究新知
§.探究用数学式子表示的函数的自变量的取值范围。
§.例1、求下列函数中自变量的取值范围。
（1） （2） （3） （4）
分析：用数学式子表示的函数关系式，一般地说，自变量的取值要使式子有意义的值。
解：（1）取任意实数；（2）取任意实数；（3）；（4）.
同步练习：求下列函数自变量的取值范围。
（1） （2） （3） （4）
归纳：
1、要使函数有意义：
（1）若函数的解析式是整式，则自变量的取值范围取全体实数；
（2）若函数的解析式是分式，则自变量的取值范围不能使分母为零；
（3）若函数的解析式是二次根式，则自变量的取值范围使被开方数为非负数；
（4）若函数的解析式是零次方根，则自变量的取值不能使底数为零。
2、实际问题应根据具体情况处理。
§.例2、求函数中自变量的取值范围。
分析：本例是复合函数，从而影响自变量的取值范围的几种情况逐“块”分析，列不等组，取公共部分，注意用“且”而不是“或”。
解：根据题意，得
解得：且且.
同步练习：求函数的取值范围。
§.根据条件求函数值.
§.例3、在上面的练习（3）中，当时，重叠部分的面积是多少？
解：容易得到，函数的关系式为：
当时，重叠部分面积为.
∴当时，重叠部分的面积是
故叫做当时函数的值。
同步练习：求当时的函数值。
归纳：求函数值的方法是：代入求值。
三、提高认识，巩固新知
题型一：求函数的值或自变量的值.
§.例4、已知，求
（1）当取，，时函数值；
（2）当取，，时，求的值。
分析：第（1）题是已知自变量的值求函数的值，即求代数式的值；第（2）题实质上是解关于的方程。
解：（1）当时，；
当时，；
当时，.
（2）当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：.
题型二：确定自变量的取值范围.
§.例5、若对于任意实数，函数总有意义，求应满足的条件是什么？
分析：函数有意义，需
解：
∵
∴当时，
故
同步练习：若对于任意实数，函数有意义，求应满足的条件是什么？
题型三：根据实际问题列函数关系式
§.例6、某小汽车的油箱可装油升，原装汽油升，现需加油升。如果每升汽油油价为元，求油箱汽油总价（元）与（升）之间的关系，并求出自变量的取值范围。
解：由题意，得
同步练习：某校的校办厂年的产值是万元，计划从年开始，每年增加万元，求年产值（万元）与年数（年）的函数关系。
§.例7、等腰的周长为，底面长为，腰的长为.
（1）写出关于的函数关系式；
（2）求的取值范围；
（3）求的取值范围。
解：（1）由题意，得：.
（2）因为，所以，解得
又因为，所以，解得
故
（3）
同步练习：已知矩形的周长为.
（1）写出该矩形面积与它的一边的函数关系式；
（2）求自变量的取值范围。
（3）当时，是多少？当时，的值是否存在？为什么？
§.例8、某市的县和县上个月发生了水灾，急需救灾物资吨和吨，该市的县和县伸出援助之手，分别募集到救灾物资吨和吨，全部赠给县和县。已知、两县运货到、两县的运费如下：
（1）设县运到县的救灾物资为吨，求总运费关于的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案。
分析：本题是结合实际设计的应用题.背景是运输问题，涉及的数据用表格绘出，要求同学们仔细看懂表格，运用所收集的数据建立函数的模型。
解：（1）
整理得：
（2）由（1）可知时运费最低，最低运费为（元）
运送方法：把县的吨物资全部运到县，再从县运吨物资到县，县余下的物资全部运到县。
§.例9、某公司到果园基地购买优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在千克（含千克）的有两种销售方案：甲方案：每千克元，由基地送货上门；乙方案：每千克元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从某地到公司的运费为元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果量（千克）之间的关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种法规方案付款最少？并说明理由？
解：（1），
（2）当时，即，解得：
∴购买水果千克时，两种方案一样.
当时，有，解得：
∴水果在（千克）时，选择甲方案付款少.
当时，有，解得：
∴水果在（千克）时，选择乙方案付款少.
§.例10、某公司员工分别住在、、三个住宅区，区有人，区有人，区有人，三个区在同一直线上，位置如下图所示。该公司的接送车打算在此间设一个靠点，为使所有的员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应设在什么位置。
A B C
100米 200米
分析：可用函数思想求解。
解：不妨设停点为，点到点的距离为米，员工到点的路程之和为米。
（1）若点在、（包括，不包括），则
又∵
∴当时，（米）
（2）若点在、间（包括、），则
又∵
∴当时，（米）
综合（1）、（2）可知，当时，即停靠点设在区，所有的员工步行到停靠点的路程和最小，最小为。
同步练习：如图，公路上依次有、、三站，上午点时，甲骑自行车从在、间距离站千米的处出发，向站匀速前进分钟后到达离站千米处。
（1）设小时后，甲离站千米，写出与之间的函数关系式；
（2）若、间和、间距离分别是千米和千米，问从上午几时几分到几时几分，甲在、两站之间（不包括、两站）。
A B C
四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握求函数自变量的取值范围的方法及实际问题中自变量的取值范围。
2、能利用函数知识解决实际生活中的一些简单问题。
六、课外作业
1、教材 习题 17.1
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C
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