苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题优秀课后测评

这是一份苏科版九年级下册6.7用相似三角形解决问题优秀课后测评，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第7节 用相似三角形解决问题








一、单选题（共8小题）


1.如图，某同学拿着一把l2cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（ ）





A．2.4mB．24mC．0.6mD．6m


【解答】解：作AN⊥EF于N，交BC于M，


∵BC∥EF，


∴AM⊥BC于M，


∴△ABC∽△AEF，


∴＝，


∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，


∴EF＝＝＝6（m）．


故选：D．





【知识点】相似三角形的应用


2.数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（ ）





A．32米B．28米C．24米D．16米


【解答】解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．


即＝


故CD＝×AB＝×1＝32米；


那么该大厦的高度是32米．


故选：A．


【知识点】相似三角形的应用


3.学校墙边有甲、乙两根木杆，某一时刻甲、乙两根木杆在阳光下的影子长分别为1.2米和1米．已知乙木杆的高度为1.5米，那么甲木杆的高度为（ ）


A．0.8B．1.25C．1.5D．1.8


【解答】解：设甲杆的高度为xm，


根据题意得＝，


解得x＝1.8，


即甲杆的高度是1.8m．


故选：D．


【知识点】相似三角形的应用、平行投影


4.我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（ ）步．


A．360B．270C．180D．90


【解答】解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，





∵AE∥CD，


∴∠BEA＝∠EDC，


∴Rt△BEA∽Rt△EDC，


∴，即，


∴x＝360，


即正方形城池的边长为360步．


故选：A．


【知识点】相似三角形的应用


5.在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么此时高为18米的旗杆的影长为（ ）


A．20米B．30米C．16米D．15米


【解答】解：设此时高为18米的旗杆的影长为xm，


根据题意得＝，解得x＝30．


所以此时高为18米的旗杆的影长为30m．


故选：B．


【知识点】相似三角形的应用、平行投影


6.小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一条直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长为（ ）


A．2米B．3米C．4.5米D．5米


【解答】解：∵CD∥AB，


∴△ECD∽△EAB，


∴ED：EB＝CD：AB，


∴2：6＝1.5：AB，


∴AB＝4.5米．


答：电线杆AB长为4.5米．


故选：C．


【知识点】相似三角形的应用、平行投影


7.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为（ ）


A．54mB．135mC．150mD．162m


【解答】解：设这栋楼的高度为hm，


∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，


∴＝，解得h＝54（m）．


故选：A．


【知识点】相似三角形的应用、平行投影


8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）





A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米


【解答】解：在△DEF和△DBC中，，


∴△DEF∽△DBC，


∴＝，


即＝，


解得：BC＝4，


∵AC＝1.5m，


∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，


即树高5.5m．


故选：D．


【知识点】相似三角形的应用








二、填空题（共6小题）


9.如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是 ．





【解答】解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，


∴△ABC∽△DBE，


∴BC：BE＝AC：DE，


即4：10＝1.6：DE，


∴DE＝4m，


故答案为：4m．





【知识点】相似三角形的应用


10.如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米．





【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，


则DG∥CH，


∴△ODG∽△OCH，


∴＝，


∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，


∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，


∴OC＝0.5m，


∴＝，


∴DG＝1.8m，


∵OE＝0.6m，


∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．


故答案为：2.4．





【知识点】旋转的性质、相似三角形的应用


11.在某一时刻测得一根高为1.8m的竹竿的影长为0.9m，如果同时同地测得一栋楼的影长为27m，那么这栋楼的高度为 m．


【解答】解：设这栋楼的高度为hm，


∵在某一时刻测得一根高为1.8m的竹竿的影长为0.9m，如果同时同地测得一栋楼的影长为27m，


∴＝，解得h＝54（m）．


故答案为：54．


【知识点】平行投影、相似三角形的应用


12.小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m．他的眼睛距地面1.5m，那么该建筑物的高是 ．





【解答】解：





∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，


∴△ABP∽△CDP


∴＝，


即：，


解得：CD＝15（米）．


故答案为：15．


【知识点】相似三角形的应用


13.如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满是PM：PQ＝3：2，则PM的长为 ．





【解答】解：如图，设AD交PN于点K．





∵PM：PQ＝3：2，


∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．


∵四边形PQNM是矩形，


∴PM∥BC，


∴△APM∽△ABC，


∵AD⊥BC，BC∥PM，


∴AD⊥PN，


∴＝，


∴＝，


解得k＝20mm，


∴PM＝3k＝60mm，


故答案为：60mm．


【知识点】相似三角形的应用、矩形的性质


14.如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝ 米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN的长度为 米．





【解答】解：如图，设OA＝x，BN＝y．





∵EB∥OP∥FA，


∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，


∴＝，＝，


∴＝，＝，


解得x＝9.6，y＝6.4，


故答案为9.6，6.4．


【知识点】中心投影、相似三角形的应用








三、解答题（共6小题）


15.如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．





【解答】解：∵AB∥CD，


∴△EAB∽△ECD，


∴，


∵AB＝1，


∴CD＝4．


答：这棵树的高度CD为4m．


【知识点】相似三角形的应用


16.“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD．





【解答】解：依题意可得：△ABF∽△ADE，


∴AB：AD＝BF：DE，


即5：AD＝2：5，


解得：AD＝12.5，


BD＝AD﹣AB＝12.5﹣5＝7.5尺．


所以井深BD为7.5尺．


【知识点】相似三角形的应用


17.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？





【解答】解：设宽度AB为x米，


∵DE∥BC，


∴△ABC∽△ADE，


∴＝，


又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得


∴＝，


解得x＝18，


答：河的宽度为18米．


【知识点】相似三角形的应用


18.如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．





【解答】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，


则由△GDC∽△EOC得，


即，


整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，


由△FBA∽△EOA得，


即，


整理得：1.6b＝2a﹣ax②，


将②代入①得：


3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，


∴a＝32，


即OE＝32，


答：楼的高度OE为32米．


【知识点】相似三角形的应用


19.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC＝200mm，高AD＝150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．


（1）设PN＝x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．


（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？





【解答】解：（1）∵PN∥BC，


∴△APN∽△ABC，


∴＝，


∵QM＝PN＝x，MN＝ED＝y，AE＝150﹣y，


∴，


∴y＝150﹣x


∴S＝xy＝﹣x2+150x；


150﹣x＞0，


解得：x＜200，


则0＜x＜200；





（2）设矩形的面积为S，


则S＝﹣x2+150x＝﹣（x﹣100）2+7500．


故当x＝100时，此时矩形的面积最大，最大面积为7500mm2．


【知识点】相似三角形的应用、矩形的性质、二次函数的应用


20.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．


（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；


（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；


（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；


（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．





【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，


∴AB＝＝10cm；


分两种情况讨论：


①当△BPQ∽△BAC时，，


∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，


∴，解得，t＝1，


②当△BPQ∽△BCA时，，


∴，解得，t＝；


∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；


（2）分三种情况：


①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，


则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，


∴PH∥AC，


∴，即解得：t＝，


②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，


解得：t＝，


③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，


则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，


∵△BGQ∽△ACB，


∴即，


解得：t＝．


综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或．





（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，


∵AC⊥BC


∴△PMB∽△ACB，


∴＝


∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t，


根据勾股定理得，CP2＝PM2+MC2＝25t2﹣64t+64，


∵CP＝CQ


∴25t2﹣64t+64＝16t2，


∴t＝（舍），或t＝


∴CP＝CQ时，t＝．


（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示


则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，


∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，


∴∠NAC＝∠PCM，


∵∠ACQ＝∠PMC，


∴△ACQ∽△CMP，


∴，


∴，解得t＝．











【知识点】相似形综合题