初中数学7.3 特殊角的三角函数优秀课时训练

这是一份初中数学7.3 特殊角的三角函数优秀课时训练，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第3节 特殊角的三角函数








一、单选题（共8小题）


1.若csα＝，则锐角α的度数是（ ）


A．30°B．45°C．60°D．90°


【解答】解：∵csα＝，


∴α＝60°．


故选：C．


【知识点】特殊角的三角函数值


2.若锐角A满足csA＝，则∠A的度数是（ ）


A．30°B．45°C．60°D．75°


【解答】解：∵csA＝，


∴∠A＝30°．


故选：A．


【知识点】特殊角的三角函数值


3.在△ABC中，若∠C＝90°，csA＝，则∠A等于（ ）


A．30°B．45°C．60°D．90°


【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，csA＝，


∴∠A＝60°．


故选：C．


【知识点】特殊角的三角函数值


4.锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）


A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°


【解答】解：∵，且，


∴45°＜α＜60°．


故选：B．


【知识点】特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性


5.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，则此三角形的形状是（ ）


A．等腰三角形B．直角三角形


C．等边三角形D．等腰直角三角形


【解答】解：∵|sinα﹣|+（﹣tan β）2＝0，


∴sinα﹣＝0，﹣tan β＝0，


∴sinα＝，tanβ＝，


又∵α，β都是锐角，


∴α＝60°，β＝60°，


∴此三角形的形状是等边三角形．


故选：C．


【知识点】非负数的性质：偶次方、三角形内角和定理、特殊角的三角函数值、非负数的性质：绝对值


6.若（2csA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则△ABC的形状是（ ）


A．等边三角形


B．顶角为120°的等腰三角形


C．直角三角形


D．含有30°的锐角三角形


【解答】解：∵（2csA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，


又∵（2csA﹣）2，≥0，|tanB﹣1|≥0，


∴csA＝，tanB＝


∴∠A＝30°，∠B＝30°，


∴∠A＝∠B，


∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．


故选：B．


【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质、非负数的性质：绝对值、特殊角的三角函数值、非负数的性质：偶次方


7.在△ABC中，（tanA﹣）2+|﹣csB|＝0，则∠C的度数为（ ）


A．30°B．45°C．60°D．75°


【解答】解：∵（tanA﹣）2+|﹣csB|＝0，


∴tanA﹣＝0，﹣csB＝0，


∴tanA＝，csB＝，


∴∠A＝60°，∠B＝45°，


∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，


故选：D．


【知识点】非负数的性质：偶次方、非负数的性质：绝对值、特殊角的三角函数值


8.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（ ）


A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5


C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．|csA﹣|+（tanB﹣）2＝0


【解答】解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，错误；


B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；


C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正确；


D、∵|csA﹣|+（tanB﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；


故选：C．


【知识点】非负数的性质：偶次方、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理、特殊角的三角函数值、非负数的性质：绝对值








二、填空题（共6小题）


9.sin30°+tan45°＝ ．


【解答】解：原式＝+1＝．


故答案为：．


【知识点】特殊角的三角函数值


10.若关于x的方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为 ．


【解答】解：∵x的方程x2﹣x+sinα＝0有两个相等的实数根，


∴△＝（﹣）2﹣4×1×sinα＝0，


解得：sinα＝，


∴锐角α的度数为30°；


故答案为：30°．


【知识点】根的判别式、特殊角的三角函数值


11.△ABC中，且＝0，则∠C＝ ．


【解答】解：∵（tanA﹣）2+（﹣csB）2＝0，


∴tanA＝，csB＝，


则∠A＝30°，∠B＝45°，


∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．


故答案为：105°．


【知识点】非负数的性质：偶次方、特殊角的三角函数值


12.如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ．





【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，


∵∠COD＝90°，


∴CD是直径，即CD＝10，


∵C（0，5），


∴OC＝5，


∴OD＝＝5，


∵∠OBC＝∠ODC，


∴cs∠OBC＝cs∠ODC＝＝＝．


故答案为：．





【知识点】含30度角的直角三角形、坐标与图形性质、特殊角的三角函数值、圆周角定理


13.在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝2，则AB＝ ．





【解答】解：∵CE所在直线垂直平分线段AD，


∴CE平分∠ACD，


∴∠ACE＝∠DCE．


∵CD平分∠BCE，


∴∠DCE＝∠DCB．


∵∠ACB＝90°，


∴∠ACE＝∠ACB＝30°，


∴∠A＝60°，


∴AB＝＝＝4．


故答案为：4．





【知识点】特殊角的三角函数值、线段垂直平分线的性质


14.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB＝DE，BC∥EF且BC＝EF，AF∥CD且AF＝CD，∠ABC＝∠DEF＝120°，∠AFE＝∠BCD＝90°，AB＝2，BC＝1，CD＝，则该六边形ABCDEF的面积是 ．





【解答】解：连接AE，BD，作AG⊥DE，


由题意知△AFE≌△DCB，


∴AE＝BD，且六边形ABCDEF面积为2S△BCD+S四边形ABDE．


∵AF＝，FE＝1，


∴∠FEA＝60°，且AE＝＝2，


∵∠DEF＝120°，


∴∠AEG＝60°，AG＝×2＝，


平行四边形AEDB的面积为DE×AG＝2×＝2．


∵S△BCD＝×1×＝，


∴六边形ABCDEF面积为2S△BCD+S四边形ABDE＝2×+2＝3．


故答案为．





【知识点】特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形的面积





三、解答题（共6小题）


15.计算 4cs45°﹣+（π﹣）0+（﹣1）3．


【解答】解：原式＝4×﹣2+1﹣1＝2+1﹣1＝0．


【知识点】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值


16.先化简，再求代数式的值（1+）÷，其中x＝﹣4cs60°﹣3tan45°．


【解答】解：（1+）÷


＝


＝


＝，


当x＝﹣4cs60°﹣3tan45°＝﹣4×﹣3×1＝﹣2﹣3＝﹣5时，原式＝．


【知识点】特殊角的三角函数值、分式的化简求值


17.先化简，再求值：，其中x＝4cs30°﹣2tan45°．


【解答】解：原式＝[﹣]•，


＝•，


＝，


当x＝4×﹣2×1＝2﹣2时，原式＝＝．


【知识点】特殊角的三角函数值、分式的化简求值


18.计算：（1）﹣2cs30°+（﹣）﹣2﹣|1﹣|；


（2）解不等式组：


【解答】解：（1）原式＝3﹣2×+4﹣（﹣1）


＝3﹣+4﹣+1


＝+5；


（2）解不等式2（x+1）＞5x﹣7，得：x＜3，


解不等式＞2x，得：x＜2，


则不等式组的解集为x＜2．


【知识点】负整数指数幂、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式组、实数的运算


19.（1）计算（2017﹣π）0+﹣2cs45°+（）﹣1


（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分別是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．





【解答】（1）解：原式＝1+2﹣2×+2，


＝1+2﹣+2，


＝3+；





（2）证明：∵D，E，F分別是BC，AB，AC的中点，


∴ED∥AC，ED＝AC，DF∥AB，DF＝AB，


∵ED∥AC，DF∥AB，


∴四边形AEDF是平行四边形，


∵AB＝AC，


∴ED＝FD，


∴四边形AEDF是菱形．





【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算、菱形的判定、等腰三角形的性质、零指数幂、三角形中位线定理


20.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF＝6，CE＝12，∠FCE＝45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．


（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；


（2）求四边形ACDB的面积．





【解答】（1）证明：∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，


由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，


∴∠ACB＝∠DCB，


又∵AB∥CD，


∴∠ABC＝∠DCB，


∴∠ACB＝∠ABC，


∴AC＝AB，


又∵AC＝CD，AB＝DB，


∴AC＝CD＝DB＝BA，


∴四边形ACDB是菱形，


∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，


∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；





（2）解：设菱形ACDB的边长为x，


∵四边形ACDB是菱形，


∴AB∥CE，


∴∠FAB＝∠FCE，∠FBA＝∠E，


∴△FAB∽△FCE


∴，


即，


解得：x＝4，


过A点作AH⊥CD于H点，


∵在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，sin∠ACE＝，AC＝4，


∴AH＝＝＝2，


∴四边形ACDB的面积为：CD×AH＝．


【知识点】作图—复杂作图、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值