中考数学复习专题 圆的计算与证明 专项含答案

这是一份中考数学复习专题 圆的计算与证明 专项含答案，共14页。试卷主要包含了下面说法错误的是等内容，欢迎下载使用。


一．选择题
1．下面说法错误的是（ ）
A．同弧所对的圆周角是圆心角的一半
B．直径所对的圆周角是90°
C．点与圆有四种位置关系
D．直线与圆有三种位置关系
2．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，求圆的直径”（1尺＝10寸）根据题意直径长为（ ）
A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸
3．已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
4．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣“，早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术“，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图，连接⊙O的内接正十二边形顶点得到AB，BC，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．2B．2C．πD．
5．钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．D．π
6．在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）
A．90°，4B．90°，1C．45°，4D．45°，1
7．如图，等腰三角形的顶角∠A＝45°，以AB为直径的半圆O与BC，AC相交于点D，E两点，则弧AE所对的圆心角的度数为（ ）
A．40°B．50°C．90°D．100°
8．如图，△ABC内接于⊙O，将沿BC翻折，交AC于点D，连接BD，若∠BAC＝66°，则∠ABD的度数是（ ）
A．66°B．44°C．46°D．48°
9．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，相交于点E，若∠BOD＝40°，∠AOC＝120°，则∠AEC等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
10．如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（ ）
A．12B．16C．20D．24
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A．92°B．108°C．112°D．124°
12．如图，以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠与直径交于点D，若tanB＝，且AD＝2，则AB（ ）
A．10B．9C．8D．9.5
二．填空题
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接．若∠A＝110°，∠E＝70°，则∠OCD＝ 度．
14．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A＝48°，∠BOC＝ °．
15．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，已知圆柱的体积是圆锥的9倍，圆锥的高是8.1cm，则这个圆柱的高是 cm．
16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是 ．
三．解答题
17．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cs∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．
18．如图，平面上存在点P、点M与线段AB．若线段AB上存在一点Q，使得点M在以PQ为直径的圆上，则称点M为点P与线段AB的共圆点．
已知点P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
（1）在点O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成为点P与线段AB的共圆点的是 ；
（2）点K为x轴上一点，若点K为点P与线段AB的共圆点，请求出点K横坐标xK的取值范围；
（3）已知点M（m，﹣1），若直线y＝x+3上存在点P与线段AM的共圆点，请直接写出m的取值范围．
19．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．
（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．
（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，
①求证：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度数．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
21．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
22．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．
①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：A、符合圆周角定理，故本选项正确；
B、直径所对的圆周角是90°，故本选项正确；
C、点与圆有三种位置关系，故本选项错误；
D、直线与圆有三种位置关系，故本选项正确．
故选：C．
2．解：连接OD，OA，
∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸，
∴AD＝5寸，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
即OA2＝（OA﹣1）2+52，
解得：OA＝13，
故圆的直径为26寸，
故选：D．
3．解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，
∴直线l与⊙O没有公共点．
故选：A．
4．解：如图，∵正十二边形，
∴∠AOE＝＝30°，
∴∠OAE＝∠OEA＝75°，∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
过E作EH⊥AB于H，EG⊥OF于G，
∴∠OEG＝60°，
∴，
∴FG＝2﹣，
∴EF＝AE＝＝2，
∵∠EAH＝30°，
∴EH＝AE＝，
∵S四边形AEFB＝（EF+AB）•EH＝（2+2）＝1，
∴阴影部分的面积为2S四边形AEFB＝2，
故选：B．
5．解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，
则分针在钟面上扫过的面积是：＝π．
故选：B．
6．解：∵正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出＝90°，
∴中心角是90°，
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC＝，
∵AC＝＝4，∠AOC＝45°，
∴OC＝AC＝4，
∴边心距为：4．
故选：A．
7．解：连接BE、OE，如图所示：
∵AB为半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝45°，
∴∠AOE＝2∠ABE＝90°，
故选：C．
8．解：∵将沿BC翻折，交AC与点D，
∴∠BAC+∠BDC＝180°，
∵∠BAC＝66°，
∴∠BDC＝114°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝66°，
∴∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
故选：D．
9．解：连接BC，
∵对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC，∠AOC＝120°，
∴∠ABC＝AOC＝60°，
同理可得：∠DCB＝BOD＝＝20°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠DCB＝60°+20°＝80°，
故选：C．
10．解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM＝8，
在Rt△OAM中，OA＝＝10，
∴圆的直径为20．
故选：C．
11．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠ABC＝34°，
∵＝，
∴2∠ABC＝∠COE＝68°，
又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，
∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．
故选：C．
12．解：连接CA、CD，作CH⊥AB于H，如图，
∵弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠与直径交于点D，
∴半圆AB和所在的圆为等圆，
∴＝，
∴AC＝CD，
而CH⊥AD，
∴AH＝DH＝1，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACH＝∠B，
在Rt△ACH中，tan∠ACH＝＝tanB＝，
∴CH＝3AH＝3，
在Rt△BCH中，tanB＝＝，
∴BH＝3CH＝9，
∴AB＝AH+BH＝1+9＝10．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
∵EC为圆O直径，
∴∠EBC＝90°，
∵∠E＝70°，
∴∠ECB＝20°，
∴∠OCD＝70°﹣20°＝50°．
故答案为：50．
14．解：∵O是△ABC的内心，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣48°）＝66°，
∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°．
故答案为：114．
15．解：设这个圆柱的高是xcm，圆锥和圆柱的底面积都为S，
根据题意得S•x＝9××S×8.1，
解得x＝24.3（cm），
即这个圆柱的高是24.3cm．
故答案为24.3．
16．解：对于抛物线y＝x2﹣x﹣1，令x＝0，得到y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
令y＝0，x2﹣x﹣1＝0，解得x＝5或﹣，
∴A（﹣，0），B（5，0），
∵PQ是切线，
∴PQ⊥BQ，
∴∠PQB＝90°，
∴PQ＝＝，
∴PB的值最小时，PQ的值最小，
根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小，
∵OA＝，OC＝1，
∴tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，
∴BP′＝AB•sin30°＝6×＝3，
∴PQ的最小值＝＝，
故答案为．
三．解答题（共6小题）
17．解：（1）如图1，连接MH，
∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．
∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，
∴在Rt△CDQ中，cs∠QHC＝cs∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），
∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为．
18．解：（1）如图1，可以成为点P与线段AB的共圆点的是C，
故答案为：C；
（2）∵P（0，1），点A（﹣2，﹣1），点B（2，﹣1）．
∴AP＝BP＝＝2，
如图2，分别以PA、PB为直径作圆，交x轴于点K1、K2、K3、K4，
∵OP＝OG＝1，OE∥AB，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝AG＝1，
∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），
∵点K为点P与线段AB的共圆点，
∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；
（3）分两种情况：
①如图3，当M在点A的左侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，
当x＝0时，y＝3，当y＝0时，y＝x+3＝0，x＝﹣6，
∴ON＝3，OH＝6，
∵tan∠EHF＝＝＝，
设EF＝a，则FH＝2a，EH＝a，
∴OE＝6﹣a，
Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，
由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，
∴，
解得：a＝（舍）或，
∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，
∴m≤3﹣2；
②如图4，当M在点A的右侧时，Q为线段AM上一动点，以PQ为直径的圆E与直线y＝x+3相切于点F，连接EF，则EF⊥FH，
同理得QG＝3+2，
∴m≥3+2，
综上，m的取值范围是m≤3﹣2或m≥3+2．
19．（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝AB＝．
（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴＝＝，同理＝，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四边形OEHF是平行四边形，
∴PE＝PF．
②∵OE∥FG∥BC，
∴＝＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠CPE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；
又∵∠EBC＝∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
又∵∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．（4分）
（3）答：；
证明：在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
又∵∠APB＝30°，
∴
∴（7分）
21．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，
∴OB＝OC，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB＝AC，
∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；
（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，
由（1）知，AB＝AD，
∴DM＝BD，
∵BF＝4，DF＝6，
∴BD＝10，
∴DM＝5，
∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴，
∴，
∴AD＝，
在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；
（3）的值是不发生变化，
理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，
∴∠AHD＝90°＝∠COA，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
∵AD＝AC，
∴△ADH≌△ACO（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，
∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，
又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，
∴DQ＝BQ，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴∠DBQ＝45°，
∴∠DEH＝∠BEO＝45°，
∴sin∠DEH＝，
∴＝，
∴，
∴．
22．（1）证明：如图1，
∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠A＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）①∠E与∠DFE相等．
理由如下：
连接AC，如图，
∵弧BE＝弧BC，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵AB⊥CD，
∴AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E；
②∵∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE＝7，
∵AM＝DM，
∴AM＝MF+7，
∵AM+MF＝17，
∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，
∴AM＝12，
∴S△ADF＝×7×12＝42．