中考数学专题复习：隐形圆的最值问题含答案

这是一份中考数学专题复习：隐形圆的最值问题含答案，共14页。试卷主要包含了掌握点圆的最大最小值问题；，掌握寻找隐圆的方法；，应用隐圆解决实际问题；等内容，欢迎下载使用。

杨老师
学生姓名
年（尚孔教研院彭高钢级
9
上课时间

学（尚孔教研院彭高高钢科
数学
课题名称
最值问题之“隐圆再现”的问题
教学目标
1、掌握点圆的最大最小值问题；
2、掌握寻找隐圆的方法；
3、应用隐圆解决实际问题；
最值问题之“隐圆再现”的问题
【知识要点】
点到圆的最小距离和最大距离
总结：（圆外一点到圆上最短距离是与圆心的连线；最长距离是与圆心连线的延长线。）
圆内一点P到圆上的最短距离为PA，最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P，A，B三点过圆心O) ．

二、圆的存在条件（常见的类型，还有定半径长度类）
类型1、圆的定义：（定长）在一个平面内，线段 AB 绕它固定的一个端点 A 旋转一周，另一个端点 B 所形成的图形叫做圆；
类型2、定直角：直径所对的圆周角为90°；
应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长．
【例题精讲】
知识点一、翻折定点定长--隐圆现。
例1．如图，在Rt△ABC中，∠C=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
2.如图，在矩形ABCD中，AC=6，BC=8，点F是边AC的中点，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到点D的距离的最小值是 ．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 ．
5．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1C，则A1C的最小值是 ．
知识点二、动点定直角---隐圆现
1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．
2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为 ．
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为 ．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ．
4、（湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．



知识点三、动点定长隐圆现
1．如图，⊙O的半径为2，AB.CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P从点A运动到点D时，点Q所经过的路径长为（ ）．
2．如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
A．2B．4﹣πC．πD．π﹣1
3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．3B．4C．2D．5
【立马试试】
2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，问△A'PC周长是否存在最小值是，若存在，请计算出这个最小值；若不存在，请说明理由．
7．如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．
(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为多少？
(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为多少？
类型四、三条相等线段造成的隐形圆
1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68°B．88°C．90°D．112°
2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（ ）
A．14B．15C．18D．12
【课堂总结】隐形圆的几种存在情况
1.
2.
3.
4.
【2019锦江1诊真题再现】
（武侯二诊）24．（4分）如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是 ，此时折痕EF的长为 ．
（2018•锦江区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH的最小值为 ．
【课后练习】
3．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（ ）
A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°
4．直线y＝x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ）

A．2﹣2B．3﹣2C．D．1
二．填空题（共5小题）
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是 ．
三．解答题（共2小题）
7．（阿氏圆）问题背景 如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．
问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝ ，AC＝ ．
问题再探 如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．
问题解决 求△ABC的面积的最大值．
8．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC
画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）
理解应用：（2）在（1）的条件下，
①若tan∠APB＝，求点P的坐标；
②当点P的坐标为 时，∠APB最大
拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．
9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在一个半径为2的圆上，顶点C，D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．