初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试精品课时训练

这是一份初中数学人教版七年级下册第五章 相交线与平行线综合与测试精品课时训练，共18页。试卷主要包含了如图，直线a∥b等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共33小题）


1．如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，若点C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b的距离为3，则线段AC的长度为（ ）





A．B．C．3D．6


2．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）





A．48°15'B．66°C．60°30'D．67°


3．如图，直线a∥b．将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠l＝28°，则∠2的度数是（ ）





A．108°B．118°C．128°D．152°


4．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）





A．52°B．102°C．98°D．108°


5．把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（ ）





A．10°B．15°C．25°D．30°


6．若∠1与∠2的两边分别垂直，且∠1比∠2的3倍少20°，则∠2的度数为（ ）


A．10°B．50°C．10°或50°D．20°或60°


7．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．


其中正确的结论个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


8．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（ ）





A．32°B．58°C．72°D．108°


9．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（ ）





A．45°B．60°C．75°D．105°


10．如图，直线a与直线b互相平行，则x﹣y的值是（ ）





A．﹣20B．20C．60D．90


11．“因为a∥b，b∥c，所以a∥c”，这个推理的依据是（ ）


A．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直


B．垂线段最短


C．平行于同一直线的两条直线平行


D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行


12．如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，能判断直线a∥b的有（ ）个．





A．1B．2C．3D．4


13．下列说法，正确的是（ ）


A．若ac＝bc，则a＝b


B．两点之间的所有连线中，线段最短


C．相等的角是对顶角


D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行


14．平面内有三条直线，那么它们的交点个数有（ ）


A．0个或1个B．0个或2个


C．0个或1个或2个D．0个或1个或2个或3个


15．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（ ）





A．x+yB．y﹣xC．180°﹣y+xD．﹣x+y


16．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）


A．B．


C．D．


17．如图，CD∥AB，AC⊥BC，∠ACD＝60°，那么∠B的度数是（ ）





A．60° B．40° C．45° D．30°


18．如图，AB∥DE，∠E＝55°，则∠B+∠C＝（ ）





A．125°B．55°C．35°D．45°


19．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）





A．35°B．30°C．25°D．55°


20．已知直线l1∥l2，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（ ）





A．121°B．120°C．59°D．149°


21．把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（ ）





A．75°B．90°C．100°D．105°


22．如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24，则∠E等于（ ）





A．59°B．35°C．24°D．11°


23．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（ ）





A．若∠2＝30°，则有AC∥DE


B．∠BAE+∠CAD＝180°


C．若BC∥AD，则有∠2＝30°


D．如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C


24．如图，D是△ABC的边AB的延长线上一点，DE∥BC，若∠A＝32°，∠D＝56°．则∠C的度数是（ ）





A．16°B．20°C．24°D．28°


25．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（ ）


①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；


③AB＞AC＞CD；④线段BC是B到AC的距离；⑤CD＜BC＜AB．





A．2个B．3个C．4个D．5个


26．下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a║b，b║c，那么a║c；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．④两条直线的位置关系有平行与相交．其中错误的说法有（ ）


A．3个B．2个C．1个D．0个


27．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝80°，那么∠B的度数为（ ）


A．80°或100° B．65°或115° C．40°或140° D．40°或115°


28．下列现象是数学中的平移的是（ ）


A．树叶从树上落下B．电梯从底楼升到顶楼


C．骑自行车时轮胎的滚动D．卫星绕地球运动


29．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（ ）





A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°


C．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°D．∠A+∠D＝∠C+∠E


30．下列说法：


①两点之间，直线最短；


②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点；


③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；


④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．


其中正确的说法有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


31．如图，a∥b，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）





A．100°B．105°C．110°D．115°


32．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿甲、乙两条不同的路线，同时从A出发爬向终点B，则（ ）





A．按甲路线走的蚂蚁先到终点


B．按乙路线走的蚂蚁先到终点


C．两只蚂蚁同时到终点


D．无法确定


33．若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（ ）


A．等于8cmB．小于或等于8cm


C．大于8cmD．以上三种都有可能


二．解答题（共15小题）


34．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．


（1）如图1，求证：AB∥CD；


（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求的值；


（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．





35．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角的关系，画出来以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：


（1）如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是 ；


如图2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是 ；


（2）根据（1）的探究过程，我们可以得到结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是 ；


（3）利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，则这两个角分别是多少度？





36．如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：


（1）如图1，求证：OC∥AB；


（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：


①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；


②若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．





37．如图，已知AM∥BN，∠B＝40°，点P是射线BN上一动点（与点B不重合），AC、AD分别平分∠BAP和∠PAM，交射线BN于点C、D．


（1）求∠CAD的度数；


（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间存在怎样的数量关系？说明理由；


（3）当点P运动到使∠ACB＝∠BAD时，求∠BAC的度数．





38．如图，已知点E在线段AD上，点B、C、F在同一直线上，CD与EF交于点G，∠A+∠B＝180°．求证：∠BCD＝∠GED+∠EGD．





39．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．


（1）如图1，连接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求证：AB∥CD；


（2）在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED；


①如图2，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系；


②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．





40．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF相交于点H．


（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．


解：∠HDE＝∠HED．理由如下：


∵DG∥AC （已知）


∴ ＝ （ ）


∵EF∥BC（已知）


∴ ＝ （ ）


又∵∠A＝∠B（已知）


∴ ＝ （ ）．


（2）如果∠C＝90°，DG、EF有何位置关系？并仿照 （1）中的解答方法说明理由．


解： ．理由如下：





41．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．





42．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？为什么？





43．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．


（1）求∠ECF的度数；


（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；


（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．





44．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．


（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；


②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ；


（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．


（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．


45．（1）如图1，已知AB∥CD，那么图1中∠PAB、∠APC、∠PCD之间有什么数量关系？并说明理由．


（2）如图2，已知∠BAC＝80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用（1）的结论求图2中∠F的度数．





46．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．


（1）求证：AB∥DE；


（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．





47．如图，∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°．


（1）求证：AD∥CE；


（2）在（1）的条件下，如图，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．





48．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且满足AD+BC＝AB．


（1）求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC；


（2）求证：AE⊥BE．








平行线培优专题


参考答案与试题解析


一．选择题（共33小题）


1．如图，直线a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，若点C在直线b上，∠BAC＝105°，且直线a和b的距离为3，则线段AC的长度为（ ）





A．B．C．3D．6


【解答】解：过C作CD⊥直线a，


∴∠ADC＝90°，


∵∠1＝45°，∠BAC＝105°，


∴∠DAC＝30°，


∵CD＝3，


∴AC＝2CD＝6，


故选：D．





2．如图，AB∥CD，CE交AB于点E，∠1＝48°15'，∠2＝18°45'，则∠BEC的度数为（ ）





A．48°15'B．66°C．60°30'D．67°


【解答】解：∵AB∥CD，


∴∠1＝∠A＝48°15'，


又∵∠2＝18°45'，


∴∠BEC＝∠A+∠2＝67°，


故选：D．


3．如图，直线a∥b．将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠l＝28°，则∠2的度数是（ ）





A．108°B．118°C．128°D．152°


【解答】解：如图，∵AB∥CD，


∴∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE＝28°+90°＝118°，


故选：B．





4．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（ ）





A．52°B．102°C．98°D．108°


【解答】解：如图，∵l1∥l2，


∴∠1＝∠3＝52°，


又∵∠4＝30°，


∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣52°﹣30°＝98°，


故选：C．





5．把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为（ ）





A．10°B．15°C．25°D．30°


【解答】解：∵FD∥BC，


∴∠FDB＝∠ABC＝60°，


又∵∠FDE＝45°，


∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，


故选：B．


6．若∠1与∠2的两边分别垂直，且∠1比∠2的3倍少20°，则∠2的度数为（ ）


A．10°B．50°C．10°或50°D．20°或60°


【解答】解：①当∠1＝∠2时，


∵∠2＝3∠1﹣20°，


∴∠1＝3∠1﹣20°，


解得∠1＝10°；


②当∠1+∠2＝180°时，


∵∠2＝3∠1﹣20°，


∴∠1+3∠1﹣20°＝180°，


解得∠1＝50°；


故选：C．


7．如图，直线AB∥CD，EG平分∠AEF，EH⊥EG，且平移EH恰好到GF，则下列结论：①EH平分∠BEF；②EG＝HF；③FH平分∠EFD；④∠GFH＝90°．


其中正确的结论个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


【解答】解：∵EG平分∠AEF，


∴∠AEG＝∠GEF＝∠AEF，


∵HE⊥GE于E，


∴∠GEH＝90°，


∴∠GEF+∠HEF＝90°，


∴∠AEG+∠BEH＝90°，


∴∠BEH＝∠FEH，


∴EH平分∠BEF；故①正确，


∵平移EH恰好到GF，


∴四边形EGFH是平行四边形，


∴EG∥FH，EG＝HF；故②正确；


∴∠GEF＝∠EFH，


∵AB∥CD，


∴∠AEF＝∠DFE，


∵∠GEF＝∠AEF，


∴∠EFH＝∠EFD，


∴FH平分∠EFD；故③正确；


∵四边形EGFH是平行四边形，∠GEH＝90°，


∴四边形EGFH是矩形，


∴∠GFH＝90°，故④正确，


∴正确的结论有4个，


故选：D．


8．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝72°，∠AED＝58°，则∠C＝（ ）





A．32°B．58°C．72°D．108°


【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知 ），∠1+∠EFD＝180°（邻补角定义），


∴∠2＝∠EFD（同角的补角相等）


∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）


∴∠ADE＝∠3＝72°（两直线平行内错角相等）


∵∠3＝∠B（已知），


∴∠ADE＝∠3＝72°（等量代换）


∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）


∴∠AED＝∠C＝58°（ 两直线平行同位角相等）．


故选：B．


9．将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（ ）





A．45°B．60°C．75°D．105°


【解答】解：如图：


∵∠DEC＝∠ABE＝90°，


∴AB∥DE，


∴∠AGD＝∠D＝30°，


∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，


故选：D．


10．如图，直线a与直线b互相平行，则x﹣y的值是（ ）





A．﹣20B．20C．60D．90


【解答】解：∵直线a与直线b互相平行，


∴3y＝120，


解得：y＝40，


∵x+3y＝180，


∴x＝60，


∴x﹣y＝20．


故选：B．


11．“因为a∥b，b∥c，所以a∥c”，这个推理的依据是（ ）


A．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直


B．垂线段最短


C．平行于同一直线的两条直线平行


D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行


【解答】解：∵a∥b，b∥c，


∴a∥c（平行于同一直线的两直线平行），


由a∥b，b∥c推出a∥c不是根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；也不是根据垂相等最短，更不是根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，而是根据平行于同一直线的两直线平行，


故选：C．


12．如图，给出下列几个条件：①∠1＝∠4；②∠3＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠2+∠4＝180°，能判断直线a∥b的有（ ）个．





A．1B．2C．3D．4


【解答】解：∵∠1＝∠4，


∴a∥b；


∵∠3＝∠5，


∴a∥b，


∵∠2+∠5＝180°，


∴a∥b，


∴能判断直线a∥b的有3个，


故选：C．


13．下列说法，正确的是（ ）


A．若ac＝bc，则a＝b


B．两点之间的所有连线中，线段最短


C．相等的角是对顶角


D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行


【解答】解：A、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故此选项错误；


B、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；


C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；


D、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故此选项错误．


故选：B．


14．平面内有三条直线，那么它们的交点个数有（ ）


A．0个或1个B．0个或2个


C．0个或1个或2个D．0个或1个或2个或3个


【解答】解：当三条直线平行时，交点个数为0；


当三条直线相交于1点时，交点个数为1；


当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；


当三条直线互相不平行时，交点个数为3；


所以，它们的交点个数有4种情形．


故选：D．


15．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（ ）





A．x+yB．y﹣xC．180°﹣y+xD．﹣x+y


【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF．


∴∠BCD＝∠ABC＝x，∠ECD＝180°﹣y．


∴∠BCE＝180°﹣y+x．


故选：C．


16．下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）


A．B．


C．D．


【解答】解：根据同位角的定义可知D选项中∠1与∠2在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角．


故选：D．


17．如图，CD∥AB，AC⊥BC，∠ACD＝60°，那么∠B的度数是（ ）





A．60° B．40° C．45° D．30°


【解答】解：∵CD∥AB，∠ACD＝60°，


∴∠A＝∠ACD＝60°，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，


∴∠B＝90°﹣∠A＝30°．


故选：D．


18．如图，AB∥DE，∠E＝55°，则∠B+∠C＝（ ）





A．125°B．55°C．35°D．45°


【解答】解：∵AB∥DE，


∴∠E＝∠BFE＝55°，


∵∠BFE＝∠B+∠C，


∴∠B+∠C＝55°，


故选：B．


19．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）





A．35°B．30°C．25°D．55°


【解答】解：如图，





∵m∥n，


∴∠1＝∠3＝35°，


∵∠ABC＝60°，


∴∠2+∠3＝60°，


∴∠2＝25°，


故选：C．


20．已知直线l1∥l2，∠1和∠2互余，∠4＝149°，则∠3的度数（ ）





A．121°B．120°C．59°D．149°


【解答】解：∵直线l1∥l2，


∴∠1+∠4＝180°，


∵∠4＝149°，


∴∠1＝31°，


∵∠1+∠2＝90°，


∴∠2＝59°，


∵直线l1∥l2，


∴∠5＝∠2＝59°，


∴∠3＝180°﹣∠5＝121°，


故选：A．





21．把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么∠1的度数是（ ）





A．75°B．90°C．100°D．105°


【解答】解：如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，


利用平行线的性质可得，∠1＝60°+45°＝105°．





故选：D．


22．如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24，则∠E等于（ ）





A．59°B．35°C．24°D．11°


【解答】解：∵∠A＝35°，∠C＝24°，


∴∠CBE＝∠A+∠C＝59°，


∵BC∥DE，


∴∠E＝∠CBE＝59°；


故选：A．


23．将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（ ）





A．若∠2＝30°，则有AC∥DE


B．∠BAE+∠CAD＝180°


C．若BC∥AD，则有∠2＝30°


D．如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C


【解答】解：∵∠2＝30°，


∴∠1＝60°，


又∠E＝60°，


∴∠1＝∠E，


∴AC∥DE，故A正确；


∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，


即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故B正确；


∵BC∥AD，


∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°．


∵∠C＝45，∠1+∠2＝90°，


∴∠3＝45°，


∴∠2＝90°﹣45°＝45，故C不正确；


∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，


∴∵∠D+∠CAD＝180°，


∴AC∥DE，


∴∠4∠＝∠C，故D正确．


故选：C．





24．如图，D是△ABC的边AB的延长线上一点，DE∥BC，若∠A＝32°，∠D＝56°．则∠C的度数是（ ）





A．16°B．20°C．24°D．28°


【解答】解：∵DE∥BC，∠D＝56°，


∴∠DBC＝56°，


∵∠A＝32°，


∴∠C＝56°﹣32°＝24°，


故选：C．


25．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（ ）


①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；


③AB＞AC＞CD；④线段BC是B到AC的距离；⑤CD＜BC＜AB．





A．2个B．3个C．4个D．5个


【解答】解：①线段CD的长度是C点到AB的距离，正确；


②线段AC是A点到BC的距离，正确；


③AB＞AC＞CD，正确；


④线段BC是B到AC的距离，正确；


⑤CD＜BC＜AB，正确；


故选：D．


26．下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a║b，b║c，那么a║c；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．④两条直线的位置关系有平行与相交．其中错误的说法有（ ）


A．3个B．2个C．1个D．0个


【解答】解：①若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交，可能平行，错误；


②若a║b，b║c，那么a║c，正确；


③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故正确．


④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、两种；故错误，


故选：C．


27．若∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝80°，那么∠B的度数为（ ）


A．80°或100° B．65°或115° C．40°或140° D．40°或115°


【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，


∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，


∵3∠A﹣∠B＝80°，


∴∠A＝40°，∠B＝40°或∠A＝65°，∠B＝115°


故选：D．


28．下列现象是数学中的平移的是（ ）


A．树叶从树上落下B．电梯从底楼升到顶楼


C．骑自行车时轮胎的滚动D．卫星绕地球运动


【解答】解：A、树叶从树上落下，不是平移，故此选项错误；


B、电梯从底楼升到顶楼是平移，故此选项正确；


C、骑自行车时的轮胎滚动是旋转，故此选项错误；


D、卫星绕地球运动是旋转，不是平移，故此选项错误；


故选：B．


29．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是（ ）





A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°


C．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°D．∠A+∠D＝∠C+∠E


【解答】解：作CM∥AB，DN∥AB，





∵AB∥EF，


∴AB∥CM∥DN∥EF，


∴∠A＝∠ACM，∠MCD＝∠CDN，∠E+∠EDN＝180°，


∵∠EDN＝∠CDE﹣∠CDN＝∠CDE﹣∠DCM＝∠CDE﹣（∠ACD﹣∠ACM）＝∠CDE﹣（∠ACD﹣∠A），


∴∠E+∠CDE﹣∠ACD+∠A＝180°，


故选：B．


30．下列说法：


①两点之间，直线最短；


②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点；


③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；


④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．


其中正确的说法有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


【解答】解：①两点之间，线段最短，故错误；


②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点，故正确；


③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；


④在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误．


故选：A．


31．如图，a∥b，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）





A．100°B．105°C．110°D．115°


【解答】解：如图：


∵a∥b，


∴∠1＝∠4＝30°，


∵∠2＝70°，


∴∠3＝70°+30°＝100°，


故选：A．


32．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿甲、乙两条不同的路线，同时从A出发爬向终点B，则（ ）





A．按甲路线走的蚂蚁先到终点


B．按乙路线走的蚂蚁先到终点


C．两只蚂蚁同时到终点


D．无法确定


【解答】解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，


∴两只蚂蚁同时到达．


故选：C．


33．若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（ ）


A．等于8cmB．小于或等于8cm


C．大于8cmD．以上三种都有可能


【解答】解：根据题意，点P到l的距离为P到直线l的垂线段的长度，其垂足是P到直线l上所有点中距离最小的点；


而不能明确PQ与l是否垂直，则点P到l的距离应小于等于PQ的长度，即不大于8cm．


故选：B．


二．解答题（共15小题）


34．已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．


（1）如图1，求证：AB∥CD；


（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求的值；


（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．





【解答】解：（1）如图1，延长BE交CD于点C，则∠BED＝∠C+∠EDC．


∵∠BED＝∠ABE+∠EDC，


∴∠ABE＝∠ABE+∠C，


∴AB∥CD；


（2）由（1）可知，AB∥CD，


∴∠ABD+∠BDC＝180°，


∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，


∴∠BED＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，


由∠ABE＝3∠ABF，设∠ABF＝α，则∠ABE＝3α


过F作FG平行于AB，如图2，


则有∠ABF+∠CDF＝∠F，


∴∠CDF＝30°﹣α


过E作EH平行于AB，则有∠ABE+∠CDE＝∠BED，


∴∠CDE＝90°﹣3α，∴∠FDE＝60°﹣2α


∴＝＝；


（3）如图3所示，∠BHD＝2∠EBI．理由如下：


∵AB∥CD，


∴∠ABH＝∠BHD，


∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，


∴∠ABH＝∠EBD，∴∠BHI＝∠IBD


∵∠ABH＝∠AEB+∠EBH＝∠EBD+∠EBH＝2（∠EBH+∠HBI），


∴∠BHD＝2∠EBI．











35．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角的关系，画出来以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：


（1）如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是 相等 ；


如图2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是 互补 ；


（2）根据（1）的探究过程，我们可以得到结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是 相等或互补 ；


（3）利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，则这两个角分别是多少度？





【解答】解：（1）∵AB∥CD，BE∥DF，


∴∠1＝∠3，∠2＝∠3，


∴∠1＝∠2，


即∠1与∠2的关系是相等，


图2中∵AB∥CD，BE∥DF，


∴∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，


∴∠1+∠2＝180°，


即∠1与∠2的关系是互补，


故答案为：相等，互补；





（2）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是相等或互补，


故答案为：相等或互补；





（3）设两个角为x°和2x°﹣40°，


∵有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少40°，


∴x＝3x﹣40或x+3x﹣40＝180，


解得：x＝20或x＝55，


即这两个角为20°，20°或55°，125°．


36．如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：


（1）如图1，求证：OC∥AB；


（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：


①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；


②若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．





【解答】（1）证明：∵BC∥OA，


∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，


∵∠C＝∠BAO＝100°，


∴∠COA＝∠ABC＝80°，


∴∠COA+∠OAB＝180°，


∴OC∥AB；


（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，


∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，


∴4x+6x+100°＝180°，


∴x＝8°，


∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．


如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，


∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，


∴2x+6x+100°＝180°，


∴x＝10°，


∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．





综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；


②∵BC∥OA，∠C＝100°，


∴∠AOC＝80°，


∵∠EOB＝∠AOB，


∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，


∵OC∥AB，


∴∠BOC＝∠ABO，


∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，


∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，


∴＝＝2，


∴平行移动AB，的值不发生变化．


37．如图，已知AM∥BN，∠B＝40°，点P是射线BN上一动点（与点B不重合），AC、AD分别平分∠BAP和∠PAM，交射线BN于点C、D．


（1）求∠CAD的度数；


（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间存在怎样的数量关系？说明理由；


（3）当点P运动到使∠ACB＝∠BAD时，求∠BAC的度数．





【解答】解：（1）∵AM∥BN，


∴∠MAB＝180°﹣∠A＝140°，


又∵AC，AD分别平分∠BAP和∠MAP，


∴∠CAD＝∠CAP+∠DAP＝（∠BAP+∠MAP）＝∠BAM＝70°．


（2）∠APB：∠ADB＝2：1．


理由如下：∵AM∥BN，


∴∠APB＝∠PAM，∠ADB＝∠DAM，


又∵AD平分∠PAM，


∴∠ADB＝∠DAM＝∠PAM＝∠APB，


即∠APB：∠ADB＝2：1．


（3）∵AM∥BN，


∴∠ACB＝∠CAM，


又∵∠ACB＝∠BAD，


∴∠CAM＝∠BAD，


∴BAC＝∠DAM，


又∵∠BAC＝∠PAC，∠DAM＝∠DAP，


∴∠BAC＝∠CAP＝∠DAP＝∠DAM，


∴∠BAC＝∠BAM＝35°．





38．如图，已知点E在线段AD上，点B、C、F在同一直线上，CD与EF交于点G，∠A+∠B＝180°．求证：∠BCD＝∠GED+∠EGD．





【解答】证明：∵∠A+∠B＝180°，


∴AD∥BC，


∴∠BCD+∠EDG＝180°，


∵∠EDG+∠GED+∠EGD＝180°，


∴∠BCD＝∠GED+∠EGD．


39．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．


（1）如图1，连接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求证：AB∥CD；


（2）在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED；


①如图2，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系；


②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．





【解答】解：（1）如图1，过E作EF∥AB，则∠A＝∠AEF，


∵∠AED＝∠A+∠D，


∴∠D＝∠AED﹣∠A，


又∵∠DEF＝∠AED﹣∠AEF，


∴∠D＝∠DEF，


∴EF∥CD，


∴AB∥CD；


（2）①如图2，连接AE，


∵AM∥DE，


∴∠MAE＝∠AED，


∵∠AED＝∠BAE+∠D，


∠MAE＝∠BAE+∠BAE，


∴∠D＝∠BAM；


②如图3，延长MA交BC于F，


∵MA∥ED，


∴∠DEC＝∠MFB，


∵AB∥CD，


∴∠B＝∠DCE，


∴∠D＝∠BAF，


又∵∠BAF+∠MAB＝180°，


∴∠CDE+∠MAB＝180°．











40．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D、E是边AB上的点，DG∥AC，EF∥BC，DG、EF相交于点H．


（1）∠HDE与∠HED是否相等？并说明理由．


解：∠HDE＝∠HED．理由如下：


∵DG∥AC （已知）


∴ ∠A ＝ ∠HDE （ 两直线平行，同位角相等 ）


∵EF∥BC（已知）


∴ ∠B＝ ＝ ∠HED （ 两直线平行，同位角相等 ）


又∵∠A＝∠B（已知）


∴ ∠HDE ＝ ∠HED （ 等量代换 ）．


（2）如果∠C＝90°，DG、EF有何位置关系？并仿照 （1）中的解答方法说明理由．


解： DG⊥EF ．理由如下：





【解答】解：（1）∠HDE＝∠HED．理由如下：


∵DG∥AC（已知）


∴∠A＝∠HDE（两直线平行，同位角相等）


∵EF∥BC（已知）


∴∠B＝∠HED（两直线平行，同位角相等）


又∵∠A＝∠B（已知）


∴∠HDE＝∠HED（ 等量代换）．


（2）DG⊥EF．理由如下：


∵EF∥BC


∴∠AFE＝∠C＝90°


∵AC∥DG


∴∠DHE＝∠AFE＝90°


∴DG⊥EF．


故答案为：∠A，∠HDE，两直线平行，同位角相等；∠B，∠HED，两直线平行，同位角相等；∠HDE，∠HED，等量代换．DG⊥EF．





41．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．





【解答】解：AB∥EF，理由如下：


∵AB∥CD，


∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）


∵∠B＝70°，


∴∠BCD＝70°，（等量代换）


∵∠BCE＝20°，


∴∠ECD＝50°，


∵CEF＝130°，


∴∠E+∠DCE＝180°，


∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）


∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）





42．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？为什么？





【解答】解：∠BAC＝∠DCA，


理由：∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，


∴∠CFE+∠1＝180°，


∴DE∥BC，


∴∠AED＝∠B，


∵∠B＝∠3，


∴∠3＝∠AEF，


∴AB∥CD，


∴∠BAC＝∠DCA．


43．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．


（1）求∠ECF的度数；


（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；


（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．





【解答】解：（1）∵AB∥CD，


∴∠A+∠ACD＝180°，


∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，


∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，


∴∠ACP＝2∠ECP，∠DCP＝2∠PCF，


∴∠ECF＝∠ACD＝70°；


（2）不变．数量关系为：∠APC＝2∠AFC．


∵AB∥CD，


∴∠AFC＝∠DCF，∠APC＝∠DCP，


∵CF平分∠DCP，


∴∠DCP＝2∠DCF，


∴∠APC＝2∠AFC；


（3）∵AB∥CD，


∴∠AEC＝∠ECD，


当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，


∴∠ACE＝∠DCF，


∴∠PCD＝∠ACD＝70°，


∴∠APC＝∠PCD＝70°．





44．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．


（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 135° ；


②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 40° ；


（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．


（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，


∴∠ACE＝45°，


∴∠ACB＝90°+45°＝135°，


故答案为：135°；


②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，


∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，


∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；


故答案为：40°；


（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：


∵∠ACD＝90°，


∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，


又∵∠BCE＝90°，


∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，


∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，


即∠ACB与∠DCE互补；


（3）存在一组边互相平行，


当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；


当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．


45．（1）如图1，已知AB∥CD，那么图1中∠PAB、∠APC、∠PCD之间有什么数量关系？并说明理由．


（2）如图2，已知∠BAC＝80°，点D是线段AC上一点，CE∥BD，∠ABD和∠ACE的平分线交于点F，请利用（1）的结论求图2中∠F的度数．





【解答】解：（1）结论：∠P＝∠PCD﹣∠PAB．


理由：如图1中，设AB交PC于H．


∵AB∥CD，


∴∠PCD＝∠AHC，


∵∠AHC＝∠PAB+∠P，


∴∠P＝∠AHC﹣∠PAB，


∴∠P＝∠PCD﹣∠PAB．





（2）如图2中，设∠ABF＝∠FBD＝y，∠ACF＝∠FCE＝x，


由（1）可知：∠F＝x﹣y，


∵BD∥CE，


∴∠BDC＝∠DCE＝2x，


∵∠BDC＝∠ABD+∠A，


∴2x＝2y+80°，


∴x﹣y＝40°，


∴∠F＝40°．





46．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．


（1）求证：AB∥DE；


（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．





【解答】解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，


∴∠A+∠B＝90°，


又∵∠A+∠1＝90°，


∴∠B＝∠1，


∴AB∥DE．





（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，





∵AB∥DE，


∴PG∥DE，


∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，


∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；


如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，





∵AB∥DE，


∴PG∥DE，


∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，


∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；


如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，





∵AB∥DE，


∴PG∥DE，


∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，


∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．


47．如图，∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°．


（1）求证：AD∥CE；


（2）在（1）的条件下，如图，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．





【解答】（1）证明：过点B作BM∥AD，


∴∠DAB+∠ABM＝180°，


∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，


∴∠MBC+∠BCE＝180°，


∴BM∥CE，


∴AD∥CE；





（2）解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，


∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，


∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，


过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，


∵AD∥CE，


∴AD∥FN∥BM∥CE，


∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，


∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，


∵∠F的余角等于2∠B的补角，


∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），


解得：x＝30，


∴∠BAH＝60°．





48．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且满足AD+BC＝AB．


（1）求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC；


（2）求证：AE⊥BE．





【解答】解：（1）如图，延长AE与BC的延长线交于点F，


∵AD∥BC，


∴∠DAE＝∠F，


∵E是CD的中点，


∴DE＝CE，


∵∠AED＝∠FEC，


∴△AED≌△FEC（ASA），


∴AD＝CF，AE＝EF，


∵AD+BC＝AB，


∴CF+BC＝AB，即BF＝BA，


∴∠F＝∠BAE，


∴∠BAE＝∠DAE，


∴AE平分∠BAD，


∵AE＝EF，BA＝BF，


∴BE平分∠ABC，


（2）由（1）得，BA＝BF，AE＝EF，


∴AE⊥BE．





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日期：2019/5/3 11:55:08；用户：洋芋；邮箱：378827675@qq.cm；学号：12762337