2021年九年级中考数学一轮复习分层训练： 解直角三角形

这是一份2021年九年级中考数学一轮复习分层训练： 解直角三角形，共14页。

1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值( )
A．不变 B．缩小为原来的 eq \f(1,3)
C.扩大为原来的3倍 D．不能确定
2．(2020·雅安中考)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为( )
A.8 B．12 C．6 eq \r(3) D．12 eq \r(3)
3．(2020·安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cs A＝ eq \f(4,5) ，则BD的长度为( )
A. eq \f(9,4) B． eq \f(12,5) C． eq \f(15,4) D．4
4．(2020·鸡西中考)如图，在△ABC中，sin B＝ eq \f(1,3) ，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为( )
A. eq \r(2) B． eq \f(\r(5),2) C． eq \r(5) D．2
5．(2020·黔西南中考)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4 m．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( )
A. eq \f(4,sin α) m B．4sin α m
C. eq \f(4,cs α) m D．4cs α m
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A.sin B＝ eq \f(AD,AB) B．sin B＝ eq \f(AC,BC)
C.sin B＝ eq \f(AD,AC) D．sin B＝ eq \f(CD,AC)
7．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin ∠OBD等于( )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(3,4) C． eq \f(4,5) D． eq \f(3,5)
8．(2020·菏泽中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cs ∠DCB的值为____．
9．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是____m(结果保留根号).
10．(2020·仙桃中考)如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20 n mile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为____n mile.
11．如图，拦水坝的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，AD＝3 m，坝高AE＝DF＝6 m，坡角α＝45°，β＝30°，则BC的长为____m.
12．计算： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 30°)－\f(1,cs 60°))) －tan 60°·tan 30°＋(sin245°＋cs245°)0＋2cs 30°＝____.
13．(2020·怀化中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树点A处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20 m到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A，B，C在同一直线上，求古树CD的高度．(已知： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732，结果保留整数)
14．(2019·梧州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝ eq \f(3,4) .
(1)求AD的长；
(2)求sin α的值．
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" 【能力提升】
15．(2020·广元中考)规定：sin (－x)＝－sin x，cs (－x)＝cs x，cs (x＋y)＝cs xcs y－sin xsin y，给出以下四个结论：
(1)sin (－30°)＝－ eq \f(1,2) ；
(2)cs 2x＝cs2x－sin2x；
(3)cs(x－y)＝cs x cs y＋sin x sin y；
(4)cs 15°＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4) .
其中正确的结论的个数为( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan ∠ABC＝___．
17．(2020·孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为____m(结果保留根号).
18．(2020·泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移___m时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
19．(源于沪科九上P131)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？(参考数据： eq \r(3) ≈1.7， eq \r(2) ≈1.4)
答案
解直角三角形
INCLUDEPICTURE "基础训练.TIF" 【基础练习】
1．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值( A )
A．不变 B．缩小为原来的 eq \f(1,3)
C.扩大为原来的3倍 D．不能确定
2．(2020·雅安中考)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为( C )
A.8 B．12 C．6 eq \r(3) D．12 eq \r(3)
3．(2020·安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cs A＝ eq \f(4,5) ，则BD的长度为( C )
A. eq \f(9,4) B． eq \f(12,5) C． eq \f(15,4) D．4
4．(2020·鸡西中考)如图，在△ABC中，sin B＝ eq \f(1,3) ，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为( B )
A. eq \r(2) B． eq \f(\r(5),2) C． eq \r(5) D．2
5．(2020·黔西南中考)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4 m．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( B )
A. eq \f(4,sin α) m B．4sin α m
C. eq \f(4,cs α) m D．4cs α m
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )
A.sin B＝ eq \f(AD,AB) B．sin B＝ eq \f(AC,BC)
C.sin B＝ eq \f(AD,AC) D．sin B＝ eq \f(CD,AC)
7．如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin ∠OBD等于( D )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(3,4) C． eq \f(4,5) D． eq \f(3,5)
8．(2020·菏泽中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cs ∠DCB的值为__ eq \f(2,3) __．
9．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是__40 eq \r(,3) __m(结果保留根号).
10．(2020·仙桃中考)如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20 n mile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为__20 eq \r(2) __n mile.
11．如图，拦水坝的横断面为四边形ABCD，AD∥BC，AD＝3 m，坝高AE＝DF＝6 m，坡角α＝45°，β＝30°，则BC的长为__(9＋6 eq \r(3) )__m.
12．计算： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 30°)－\f(1,cs 60°))) －tan 60°·tan 30°＋(sin245°＋cs245°)0＋2cs 30°＝__2__.
13．(2020·怀化中考)如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树点A处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20 m到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A，B，C在同一直线上，求古树CD的高度．(已知： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732，结果保留整数)
解：由题意可知，AB＝20 m，∠DAB＝30°，
∠C＝90°，∠DBC＝45°.
∴△BCD是等腰直角三角形．∴CB＝CD.
设CD＝x m，则BC＝x m，AC＝(20＋x) m．
在Rt△ACD中，
tan 30°＝ eq \f(CD,CA) ＝ eq \f(CD,AB＋CB) ＝ eq \f(x,20＋x) ＝ eq \f(\r(3),3) .
∴x＝10 eq \r(3) ＋10≈27.
答：古树CD的高度约为27 m．
14．(2019·梧州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝ eq \f(3,4) .
(1)求AD的长；
(2)求sin α的值．
解：(1)由tan B＝ eq \f(3,4) ，可设AC＝3x，则BC＝4x.
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴(3x)2＋(4x)2＝52.
∴x＝－1(舍去)或x＝1.
∴AC＝3，BC＝4.
∵BD＝1，∴CD＝3.
∴AD＝ eq \r(CD2＋AC2) ＝3 eq \r(2) ；
(2)过点D作DE⊥AB于点E，可得△BDE∽△BAC.设DE＝3y，则BE＝4y.
∵BE2＋DE2＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12.
∴y＝－ eq \f(1,5) (舍去)或y＝ eq \f(1,5) .∴DE＝ eq \f(3,5) .
∴sin α＝ eq \f(DE,AD) ＝ eq \f(\r(2),10) .
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" 【能力提升】
15．(2020·广元中考)规定：sin (－x)＝－sin x，cs (－x)＝cs x，cs (x＋y)＝cs xcs y－sin xsin y，给出以下四个结论：
(1)sin (－30°)＝－ eq \f(1,2) ；
(2)cs 2x＝cs2x－sin2x；
(3)cs(x－y)＝cs x cs y＋sin x sin y；
(4)cs 15°＝ eq \f(\r(6)－\r(2),4) .
其中正确的结论的个数为( C )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan ∠ABC＝__ eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(3),3) __．
17．(2020·孝感中考)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为__ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)\r(3)－1.6)) __m(结果保留根号).
18．(2020·泰安中考)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移__10__m时，才能确保山体不滑坡．(取tan 50°≈1.2)
19．(源于沪科九上P131)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？(参考数据： eq \r(3) ≈1.7， eq \r(2) ≈1.4)
解：设太阳光线GB交AC于点F，过点F作FH⊥BD于点H，连接BC，由题意知，AC＝BD＝3×10＝30 m，FH＝CD＝30 m，∠BFH＝∠α＝30°.
在Rt△BFH中，tan ∠BFH＝ eq \f(BH,FH) ＝ eq \f(BH,30) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
∴BH＝30× eq \f(\r(3),3) ＝10 eq \r(3) ≈10×1.7＝17(m).
∴FC＝HD＝BD－BH≈30－17＝13(m).
∵ eq \f(13,3) ≈4.3，∴在第4层的上面，即第5层．
答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．