专题04 拐点压轴专题（2）——拐点在平行线外-2020-2021学年七年级数学下册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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1.如图，已知直线l∥直线m，作直线n∥l.
若设∠1=x，∠2=y试用含x，y的代数式表示出图中的角.
∠3=____，∠4=_____，∠5=_____，∠6=____.
【答案】x y y y-x
【方法归纳】
解决拐点的最直观方法，就是用适当的代数式把相关的角表示出来.
【例1】已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．如图，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠G+∠P的度数.
【解析】根据题意可得∠1=∠2=30°，
不妨设∠3=∠4=x.
∠G=∠1+∠3=30°+x.
∠P=∠PMB-∠4=（∠1+∠2）-∠4=60°-x.
即∠G+∠P=30°+x+60°-x=90°.
同步训练1. AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连接BE、DE．如图，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和∠EDF平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【解析】 根据题意，不妨设∠1=∠2=x（角平分线），
∠3=∠EDG（即∠4+∠5）=y（角平分线）.
∠G=∠ABG（即∠1+∠6）-∠4=x+∠6-（y-∠5）=∠5+∠6+x-y.
∠BDE=180°-2y.
∠6+∠1+∠2+∠BDE+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠6+2x+180°-2y+∠5=180°，
整理后得x-y=-∠5+∠62，代入可得
∠G=∠5+∠6+（-∠5+∠62）=12（∠5+∠6），
即∠G=12（∠ABE+∠CDE）.
【专题过关】
1. 如图，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG=13∠MFG，∠BEH=13∠BEM，设∠EMF=α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．
【解析】如图，根据∠PFG=13∠MFG，∠BEH=13∠BEM
不妨设∠1=x，∠2=2x，∠3=2y，∠4=∠5=y.
则∠EMF=360°-（∠1+∠2）-（180°-∠3-∠4）
=360°-3x-180°+3y
=180°-3（x-y）=α.
∠H=∠1-∠5=x-y.
即180°-3∠H=α，
∠H=60°-α3.
2. 如图，MN∥EF，C为两直线之间一点．若∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，请求出∠ACB与∠ADB之间的数量关系并说明理由.
【解析】根据∠CAM的平分线与∠CBF的平分线所在的直线相交于点D，
不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.
∠5=∠4=y.
∠D=∠1-∠5（拐角）
即∠D=x-y.
∠C=∠6+∠CBF（即∠3+∠4），
其中∠6=180°-2x.
即∠C=180°-2x+2y=180°-2（x-y）
=180°-2∠D.
故∠ACB+2∠ADB=180°.
3. 如图，AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，点E在直线CD上，AN平分∠PAB，射线AN的反向延长线交∠PCE的平分线于M，若∠P=30°，求∠AMC的度数.
【解析】如图，延长BA与CP交于点Q，CQ与AM交于点H，
根据题意不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.
则∠5=180°-2∠3=180°-2y.
∠P=∠ECP-∠QAP（拐角）
=2∠1-∠5
=2x-（180°-2y）
=2（x+y）-180°=30°，
解得x+y=105°.
∠AMC=∠1+∠6（拐角）
=∠1+∠3
=x+y
=105°.
即∠AMC=105°.
4. 如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1=30°，∠3=75°，则∠2=_____；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+12∠FGE=54°时，求∠AEN的度数；
（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）如图1所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，
∴∠1+∠2=∠EGF，即30°+∠2=75°，
∴∠2=45°，
故答案为：45°；
（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，
∴可设∠AEM=∠NEM=α，∠CFN=∠GFN=β，
如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF=∠CFN=β，∠QNE=∠AEN=2α，∠PGE=∠AEM=α，∠PGF=∠DFG=180°-2β，
∴∠FNE=∠QNF-∠QNE=β-2α，∠FGE=∠PGE+∠PGF=α+180°-2β，
又∵∠FNE+12∠FGE=54°，
∴β-2α+12（α+180°-2β）=54°，
∴α=24°，
∴∠AEN=2α=48°.
（3）猜想：∠G=2∠H．理由：
∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，
∴可设∠AEN=∠NEG=α，∠CFM=∠GFM=β，
如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴GQ∥AB∥CD∥PH，
∴∠QGE=∠AEG=2α，∠QGF=∠CFG=2β，∠PHM=∠CFM=β，∠PHN=∠AEN=α，
∴∠EGF=∠QGE-∠QGF=2α-2β，∠EHF=∠PHN-∠PHM=α-β，
∴∠EGF=2∠EHF．
【专题提高】
5.如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为_____；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD-2∠FMH=36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN=2∠NEB，则2∠FHD-3∠ENK的值为_____.
【解析】（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：
则∠BEF=∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF=∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH=360°，
∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，
故∠EFH=108°，
故答案为108°；
（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．
∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH=∠FHD，
∴∠3=∠EFH-∠F′FH=108°-∠FHD，
∴∠M′MF=∠3=108°-∠FHD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=180°-∠FHD2，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH=∠1，
∴∠FMH+108°-∠FHD=180°-∠FHD2.
∴∠FHD-2∠FMH=36°；
（3）延长NK交CD于点R，
∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即∠1+∠2=73∠3，
而∠1+∠2+∠3=360°，
故∠1+∠2=252°，
设∠NEB=α，则∠PEN=2∠NEB=2α，
则∠1=∠PEN=3α，
而∠2=180°-∠4，
故3α-∠4=72°，
则2∠FHD-3∠ENK=3α-∠4=72°，
故答案为72°．
6.如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．
【解析】（1）如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，
由（1）知，AB∥CD，∴∠AEF+∠EFG=180°．
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠AEF+∠EFG）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）如图3，
∵PF∥GH，
∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，
∴∠FPH=∠KPH（设为α）；
∵PQ平分∠EPK，
∴∠KPQ=90°+2α2=45°+α，
∴∠HPQ=45°+α-α=45°，
即∠HPQ的大小不会发生变化．