专题16.8以二次根式为载体的材料阅读题（重难点培优）-2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】

专题16.8以二次根式为载体的材料阅读题（重难点培优）                姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

1．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，

∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+6n2　，b＝　2mn　；

（2）若a+4（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+6n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；

（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；

（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．

【解析】（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b（m+n）2，

∴a＝m2+6n2，b＝2mn．

故答案为m2+6n2，2mn；

（2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4（m+n）2，

∴a＝m2+3n2，mn＝2，

∵m、n均为正整数，

∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，

∴a＝13或7；

（3）21，

则

1．

2．（2020秋•渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如：当x1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．

为解答这道题，若直接把x1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法：将条件变形，因x1，得x﹣1，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若x1，求2x3+4x2﹣3x+1的值；

（2）已知x＝2，求的值．

【分析】（1）变形已知条件得到x+1，两边平方得到x2+2x＝1，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为﹣x+1，然后把x的值代入计算即可；

（2）变形已知条件，利用平方的形式得到x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．

【解析】（1）∵x1，

∴x+1，

∴（x+1）2＝2，

即x2+2x+1＝2，

∴x2+2x＝1，

∴原式＝2x（x2+2x）﹣3x+1

＝2x﹣3x+1

＝﹣x+1

＝﹣（1）+1

＝2；

（2）∵x＝2，

∴x﹣2，

∴（x﹣2）2＝3，

即x2﹣4x+4＝3，

∴x2﹣4x＝﹣1或x2＝4x﹣1，

∴原式

（16x2﹣8x+1﹣4x2+x﹣36x+9﹣5x+5）

[12（4x﹣1）﹣48x+15）

（48x﹣12﹣48x+15）

3

．

3．（2020秋•碑林区校级月考）在解决问题“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a1，

∴a﹣1，

∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，

∴a2﹣2a＝1，

∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：．

（2）若a，求2a2﹣12a+1的值．

【分析】（1）分子、分母都乘以3，再进一步计算即可；

（2）将a的值的分子、分母都乘以3﹣2得a＝3﹣2，据此先后求出a﹣3、（a﹣3）2及a2﹣6a、2a2﹣12a的值，代入计算可得答案．

【解析】（1）3；

（2）∵a3﹣2，

∴a﹣3＝﹣2，

∴（a﹣3）2＝8，即a2﹣6a+9＝8，

∴a2﹣6a＝﹣1，

∴2a2﹣12a＝﹣2，

则2a2﹣12a+1＝﹣2+1＝﹣1．

4．（2020秋•锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将第二个方程，变形为4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5．

然后把第一个方程，代入得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．

把y＝﹣1代入第一个方程，得x＝4．

∴方程组的解为．

请你解决下列两个问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．

（2）已知正数x，y满足，求的值．

【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x﹣2y）+2y＝19，则利用整体代换消去x，求出y的值，然后利用代入法求出x得到方程组的解；

（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组，再利用完全平方公式得到（）2，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】（1），

把②变形为9x﹣6y+2y＝19，即3（3x﹣2y）+2y＝19③．

把①代入③，得3×5+2y＝19，

∴y＝2．

把y＝2代入①，得3x﹣2×2＝5，

∴x＝3．

∴方程组的解为；

（2），

把①变形为3x2+1.5xy+12y2﹣3.5xy＝47，即1.5（2x2+xy+8y2）﹣3.5xy＝47③．

把②代入①，得1.5×36﹣3.5xy＝47，

∴xy＝2．

把xy＝2代入②，得2x2+2+8y2＝36，

∴x2+4y2＝17，

∴x2+4xy+4y2＝17+8，

即（x+2y）2＝25，

∵x＞0，y＞0，

∴x+2y＝5，

∵（）2，

∴±．

5．（2020秋•兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的

有理化因式的方法就可以了，例如，．

（1）请你写出的有理化因式：　3　；

（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：

①；

②（b＞0，b≠1）；

（3）已知，，求的值．

【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出的有理化因式；

（2）①根据题目中的例子，可以将所求式子进行化简；

②根据题目中分母有理化的方法，可以将所求式子化简；

（3）根据，，可以求得a+b、ab的值，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值．

【解析】（1）由题意可得，

的有理化因式是3，

故答案为：3；

（2）①17﹣12；

②∵（b＞0，b≠1），

∴1；

（3）∵2，2，

∴a+b＝2，ab＝1，

∴

＝5．

6．（2020秋•达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a2，

∴a﹣2．

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．

∴a2﹣4a＝﹣1．

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）　　；

（2）化简；

（3）若a，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．

【分析】（1）利用分母有理化计算；

（2）先分母有理化，然后合并即可；

（3）先利用a2得到a﹣2，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．

【解析】（1）；

故答案为；

（2）原式1

1

＝13﹣1

＝12；

（3）∵a2，

∴a﹣2，

∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．

∴a2﹣4a＝1．

∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3

＝a2×1﹣4a+3

＝a2﹣4a+3

＝1+3

＝4．

7．（2020春•曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2）（2）＝1，3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，7+4．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

（1）将分母有理化得　　；1的有理化因式是　1　；

（2）化简：　　；

（3）化简：．

【分析】（1）分子、分母都乘以即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；

（2）分子、分母都乘以求解可得；

（3）原式变形为1，再进一步斤算可得．

【解析】（1），

（1）（1）＝（）2﹣12＝2﹣1＝1，即1的有理化因式是1，

故答案为：，1；

（2），

故答案为：．

（3）原式1

1

＝10﹣1

＝9．

8．（2020春•包河区校级期中）观察、发现：1

（1）试化简：；

（2）直接写出：　　；

（3）求值：．

【分析】根据题目给出的过程即可求出答案．

【解析】（1）原式；

（2）原式；

故答案为：

（3）由（2）可知：

原式1

＝﹣1

＝9

9．（2019秋•渝中区校级月考）材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．

材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．

例如当x时，求的值．为解答这题，若直接把x代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．

方法一：将条件变形，因x，得x﹣1．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式（x3﹣2x2﹣2x）+2[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2[x（x﹣1）2﹣3x]+2（3x﹣3x）+2＝2．

方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．

由x﹣1，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．

原式x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：

（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3的值；

（2）已知x，求的值．

【分析】（1）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题；

（2）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题．

【解析】（1）∵a2﹣3a+1＝0，

∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a3，

∴2a3﹣5a2﹣3

＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3

＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3

＝﹣2a﹣1+3a﹣3

＝a﹣4

＝3﹣4

＝﹣1；

（2）∵x＝2，

∴x﹣2，

∴

．

10．（2019春•西湖区校级月考）在解决问题“已知，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵

∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：

（2）若，求代数式a（a﹣1）的值．

【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；

（2）先化简a，即可得到a﹣1的值，从而可以求得所求式子的值．

【解析】（1）；

（2）∵，

∴a﹣1，

∴a（a﹣1）

＝（1）

＝2．

11．（2019秋•淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题

甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a”有不同的解答．

甲的解答是：aa；

乙的解答是aa

（1）填空：　乙　的解答是错误的；

（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质

（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简

【分析】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．

【解析】（1）乙的做法错误．当a时，，，故乙的做法错误．

故答案为：乙

（2）当a＜0时，；

（3）∵3＜x＜5，

∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．

7﹣x+2x﹣5＝x+2

12．（2019•滦南县一模）在解决问题“已知a，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

∵a2

∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3

∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：

（2）若a，求3a2﹣6a﹣1的值．

【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；

（2）将a分母有理化得a1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．

【解析】（1）

；

（2）∵a

1，

∴a﹣1，

∴a2﹣2a+1＝2，

∴a2﹣2a＝1

∴3a2﹣6a＝3

∴3a2﹣6a﹣1＝2．

13．（2020秋•建平县期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：

例1：，

例2：，，

（1）　　；　　

（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．

（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．

【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，；

（2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为；

（3）由（1）（2）得，原式，合并可得结果．

【解析】（1）；

（2）

（3）

，

＝10﹣1

＝9．

14．（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程：

1；

；

2．

求：（1）的值．

（2）（n为正整数）的值．

（3）的值．

【分析】（1）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；

（2）根据给定算式，在分式的分母和分子上分别相乘（），计算后即可得出结论；

（3）根据（2）的结论即可得出（1）+（）+（2）+…+（10），由此即可算出结论．

【解析】（1）；

（2）；

（3）（1）+（）+（2）+…+（10）＝10﹣1＝9．

15．（2019春•右玉县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：

（1）请用不同的方法化简；

（2）化简：．

【分析】（1）分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．

（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

【解析】（1）

．

（2）原式

．