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第十七章 勾股定理 单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版）
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这是一份第十七章 勾股定理 单元测试八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十七章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．一个直角三角形两边长分别是和，则第三边的长是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】
记第三边为c，然后分c为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．解：记第三边为c，若c为直角三角形的斜边，则；
若c为直角三角形的直角边，则．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．∠A: ∠B: ∠C =3∶4∶5 B．∠A=∠B+∠C
C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c =1∶2∶
【答案】A
【解析】
根据直角三角形的概念，角的特点和勾股定理的逆定理逐一判断即可．解：根据直角三角形的两锐角互余，可知180°×=75°＜90°，不是直角三角形，故正确；
根据三角形的内角和定理，根据∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，是直角三角形，故不正确；
根据平方差公式，化简原式为a2=b2-c2，即a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正确；
根据a、b、c的关系，可直接设a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以构成直角三角形，故不正确.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定，关键是根据三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理和勾股定理逆定理进行判断即可.
3．如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于m、q、n都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，且AC=CD，∠ABC=∠DEC=90°
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sn=Sm+Sq=11+5=16，
∴正方形n的面积为16，
故选C．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明三角形全等．
4．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
5．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
【答案】B
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选：B
【点睛】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】C
【解析】
直接利用勾股定理即可得．由题意得：
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
7．将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【解析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC==17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
8．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．
共2个正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为、、；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为、、．其中， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如下图1示，分别用AB、BC和AC表示、、,然后根据勾股定理得出、、的关系，可计算出；同理如下图2所示，可得出、、的关系，进而计算出，计算即可得出答案.如图1，
,
,
,
根据勾股定理，有，
∴,
如图2，设圆心角为θ°，
,
,
,
同理可得,
∴
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理与代数求解之间的关系，熟知等边三角形和扇形的面积公式是解答本题的关键.
10．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
如图
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
试题解析：如图延CD交AE与点H，作，垂足为F．
∵在中，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=DC．
∵
解得
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
∵
∴ 为直角三角形．
故选A．
12．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题
13．己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.
【答案】
【解析】
分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.
详解：∵三角形三边长分别为，，
∴
∴三角形是直角三角形
∴
∴高为
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.
14．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．
【答案】0.5
【解析】
结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，
∴AC===2（米）.
∵BD=0.5米，
∴CD=2米，
∴CE===1.5（米），
∴AE=AC-EC=0.5（米）．
故答案为0.5.
点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
15．如图，在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，于点N，则MN=____________
【答案】
【解析】
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得MN的长．解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△AMC中，AC＝5，CM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•CM，
∴MN＝．
故答案为：.
【点睛】
本题综合运用了等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
16．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．
【答案】17
【解析】
试题解析：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
17．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．
【答案】50
【解析】
易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，
∵梯形DEFH的面积=(EF+DH)•FH=80，
S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，
S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，
∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．
18．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
【答案】； 13或
【解析】
试题分析：把立体图展开可得
①
根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；
②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；
③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．
考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理
19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
【答案】25
【解析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
20．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是________．
【答案】AB，EF，GH
【解析】
【解析】
本题应先计算出各线长度，再根据勾股定理逆定理进行判断．AB2=22+22=8，
CD2=42+22=20，
EF2=12+22=5，
GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2．
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．
故答案为：AB，EF，GH．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是____．
【答案】2.4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM＋MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM＋MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值．
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AB•CE＝ BC•AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4．
即CM＋MN的最小值为2.4．
故答案为2.4
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称－最短路线问题，解题关键是画出符合条件的图形.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.
【答案】1.5
【解析】
连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出∠CAF =∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．连接DF，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴∠CAF =∠DAF，BD=AB-AD=2，
在△ADF和△ACF中，
∴△ADF≌△ACF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
23．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______________.
【答案】(2，4)或（3，4）
【解析】
【解析】
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，考虑到BD
∵D的坐标为（5，0），
∴OD=5，
∴AD=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠A=90°，
∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ，
故有三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD，
①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去）
②当OD=OP时，PC=
=
=3.
故此时点P的坐标为（3，4）.
③当OP=PD时，P(,4)（舍去）.
故答案为：（2，4）或（3，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识， 以及分类讨论的数学思想，注意考虑问题要全面.
24．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．三、解答题
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
【答案】见解析
【解析】
连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．证明：连接MA，
∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
【点睛】
本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．
26．如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状并加以证明．
【答案】（1）60；（2）直角三角形，证明见解析.
【解析】
（1）利用勾股定理可求出AC，BC的长，即可求出△ABC的周长；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明．解：（1）∵CD是AB边上高，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴AC==20，
BC==15，
∵AB=AD+BD=25，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
202+152=252，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
【答案】(1)12；(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，理由见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36-2t，BQ=t，
即36-2t=t，
解得：t=12
故答案为；12
(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2(36-2t)
解得t=
所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定理解答．
28．如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；
②正方形ABCD的面积．
(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？
【答案】（1）①S△ABQ＝6， S△BCM＝6， S△CDN＝6， S△ADP＝6；②S正方形ABCD＝25；（2）验证了勾股定理，证明过程详见解析.
【解析】
【解析】
（1）①根据直角三角形的面积公式即可得出结果；
②由题意得出S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ，即可得出结果；
（2）显然根据面积能够验证勾股定理．（1）①∵网格中每个小正方形的边长为1，由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°，∴S△ABQAQ•BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．
②∵MQ=7，∴S正方形MNPQ=72=49，∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．
（2）验证勾股定理．
验证：在△BCM和△ABQ中，∵BM=AQ，∠M=∠Q，CM=BQ，∴△BCM≌△ABQ（SAS），同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ
∴AB2=（a+b）2﹣4ab，即AB2=a2+b2．
设AB=c，得：c2=a2+b2（勾股定理）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及面积的计算、三角形面积的计算；掌握正方形和三角形面积的计算方法是解决问题的关键．
29．如图(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，则有a2+b2=c2；如图(2)，△ABC为锐角三角形时，小明猜想a2+b2>c2，理由如下：
设CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，
则b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，
因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，
所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.
所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系；
(2)证明你猜想的结论是否正确.
【答案】(1)a2+b2
【解析】
（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；
（2）过点A作AD⊥BC于点D；然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论．（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；
（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，设CD=x．
在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2．在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2=c2﹣（a+x）2，∴a2+b2=c2﹣2ax．
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．
【点睛】
本题考查了勾股定理．注意理解题意是解答此题的关键．
30．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.
【答案】（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3；（3）S1=S2+S3
【解析】
【解析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；（3）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可得到结论.（1）如图②，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3.
（2）如图①，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.
（3）如图③，以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.
【点睛】
本题重点考查了勾股定理，即在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，本题的解题关键在于熟练掌握勾股定理的内容，分析题中各面积的关系.
31．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则的长为 ．
【答案】（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3
【解析】
（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（2）结论：AD＝2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD．
故答案是：AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AD＝2CM+BD，
理由：如图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM＝DM＝ME，
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴EC＝，
∴BD＝CE＝．
情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，
同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝AE＝7，
∴BE＝7，
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，
综上所述，BD的长为或7﹣3．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
第十七章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．一个直角三角形两边长分别是和，则第三边的长是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】
记第三边为c，然后分c为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．解：记第三边为c，若c为直角三角形的斜边，则；
若c为直角三角形的直角边，则．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．△ABC的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．∠A: ∠B: ∠C =3∶4∶5 B．∠A=∠B+∠C
C．a2=(b+c)(b-c) D．a:b:c =1∶2∶
【答案】A
【解析】
根据直角三角形的概念，角的特点和勾股定理的逆定理逐一判断即可．解：根据直角三角形的两锐角互余，可知180°×=75°＜90°，不是直角三角形，故正确；
根据三角形的内角和定理，根据∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=∠B+∠C，可得∠A=90°，是直角三角形，故不正确；
根据平方差公式，化简原式为a2=b2-c2，即a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理，可知是直角三角形，故不正确；
根据a、b、c的关系，可直接设a=x，b=2x，c=x，可知a2+c2=b2，可以构成直角三角形，故不正确.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定，关键是根据三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理和勾股定理逆定理进行判断即可.
3．如图，在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【解析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于m、q、n都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，且AC=CD，∠ABC=∠DEC=90°
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sn=Sm+Sq=11+5=16，
∴正方形n的面积为16，
故选C．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明三角形全等．
4．若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
5．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
【答案】B
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选：B
【点睛】
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．
6．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
【答案】C
【解析】
直接利用勾股定理即可得．由题意得：
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
7．将根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【解析】
观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC==17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
8．有下面的判断：
①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；
③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；
④若△ABC是直角三角形，则(a＋b)(a－b)=c2.
其中判断正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；
②根据勾股定理可得②正确；
③根据勾股定理的逆定理可得③正确；
④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．
共2个正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
9．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为、、；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为、、．其中， ，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如下图1示，分别用AB、BC和AC表示、、,然后根据勾股定理得出、、的关系，可计算出；同理如下图2所示，可得出、、的关系，进而计算出，计算即可得出答案.如图1，
,
,
,
根据勾股定理，有，
∴,
如图2，设圆心角为θ°，
,
,
,
同理可得,
∴
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理与代数求解之间的关系，熟知等边三角形和扇形的面积公式是解答本题的关键.
10．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16 B．17
C．18 D．19
【答案】B
【解析】
如图
设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面积为=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．故选B．
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
试题解析：如图延CD交AE与点H，作，垂足为F．
∵在中，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=DC．
∵
解得
由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，
∵
∴ 为直角三角形．
故选A．
12．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=9+．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
二、填空题
13．己知三角形三边长分别为，，，则此三角形的最大边上的高等于_____________.
【答案】
【解析】
分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.
详解：∵三角形三边长分别为，，
∴
∴三角形是直角三角形
∴
∴高为
故答案为.
点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.
14．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．
【答案】0.5
【解析】
结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，
∴AC===2（米）.
∵BD=0.5米，
∴CD=2米，
∴CE===1.5（米），
∴AE=AC-EC=0.5（米）．
故答案为0.5.
点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
15．如图，在中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，于点N，则MN=____________
【答案】
【解析】
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得MN的长．解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM，BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△AMC中，AC＝5，CM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝4，
又S△AMC＝MN•AC＝AM•CM，
∴MN＝．
故答案为：.
【点睛】
本题综合运用了等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
16．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．
【答案】17
【解析】
试题解析：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
17．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．
【答案】50
【解析】
易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，
，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，
∵梯形DEFH的面积=(EF+DH)•FH=80，
S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，
S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，
∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解题的关键．
18．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．
【答案】； 13或
【解析】
试题分析：把立体图展开可得
①
根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；
②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，，然后根据勾股定理可求得最短距离为；
③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为=．
考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理
19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
【答案】25
【解析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．如图所示．
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．
故答案为25．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
20．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是________．
【答案】AB，EF，GH
【解析】
【解析】
本题应先计算出各线长度，再根据勾股定理逆定理进行判断．AB2=22+22=8，
CD2=42+22=20，
EF2=12+22=5，
GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2．
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．
故答案为：AB，EF，GH．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC =3，BC =4，AB=5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是____．
【答案】2.4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM＋MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM＋MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN的最小值．
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴AB•CE＝ BC•AC，
即5CE＝3×4
∴CE＝2.4．
即CM＋MN的最小值为2.4．
故答案为2.4
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称－最短路线问题，解题关键是画出符合条件的图形.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.
【答案】1.5
【解析】
连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出∠CAF =∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．连接DF，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴∠CAF =∠DAF，BD=AB-AD=2，
在△ADF和△ACF中，
∴△ADF≌△ACF（SAS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4-x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4-x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．
23．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______________.
【答案】(2，4)或（3，4）
【解析】
【解析】
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，考虑到BD
∵D的坐标为（5，0），
∴OD=5，
∴AD=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠A=90°，
∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ，
故有三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD，
①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去）
②当OD=OP时，PC=
=
=3.
故此时点P的坐标为（3，4）.
③当OP=PD时，P(,4)（舍去）.
故答案为：（2，4）或（3，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用等知识， 以及分类讨论的数学思想，注意考虑问题要全面.
24．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．三、解答题
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.
【答案】见解析
【解析】
连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．证明：连接MA，
∵MD⊥AB，
∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，
∵∠C=90°，
∴AM2=AC2+CM2
∵M为BC中点，
∴BM=MC．
∴AD2=AC2+BD2
【点睛】
本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．
26．如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．
（1）求△ABC的周长．
（2）判断△ABC的形状并加以证明．
【答案】（1）60；（2）直角三角形，证明见解析.
【解析】
（1）利用勾股定理可求出AC，BC的长，即可求出△ABC的周长；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明．解：（1）∵CD是AB边上高，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴AC==20，
BC==15，
∵AB=AD+BD=25，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
202+152=252，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及其逆定理的运用；熟练掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为______时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
【答案】(1)12；(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，理由见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．
∴AB=36cm，
可得：PB=36-2t，BQ=t，
即36-2t=t，
解得：t=12
故答案为；12
(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t，BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时，
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时，
t=2(36-2t)
解得t=
所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定理解答．
28．如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；
②正方形ABCD的面积．
(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？
【答案】（1）①S△ABQ＝6， S△BCM＝6， S△CDN＝6， S△ADP＝6；②S正方形ABCD＝25；（2）验证了勾股定理，证明过程详见解析.
【解析】
【解析】
（1）①根据直角三角形的面积公式即可得出结果；
②由题意得出S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ，即可得出结果；
（2）显然根据面积能够验证勾股定理．（1）①∵网格中每个小正方形的边长为1，由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°，∴S△ABQAQ•BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．
②∵MQ=7，∴S正方形MNPQ=72=49，∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．
（2）验证勾股定理．
验证：在△BCM和△ABQ中，∵BM=AQ，∠M=∠Q，CM=BQ，∴△BCM≌△ABQ（SAS），同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ
∴AB2=（a+b）2﹣4ab，即AB2=a2+b2．
设AB=c，得：c2=a2+b2（勾股定理）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及面积的计算、三角形面积的计算；掌握正方形和三角形面积的计算方法是解决问题的关键．
29．如图(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，则有a2+b2=c2；如图(2)，△ABC为锐角三角形时，小明猜想a2+b2>c2，理由如下：
设CD=x，在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2，
则b2-x2=c2-(a-x)2，所以a2+b2=c2+2ax，
因为a>0，x>0，所以2ax>0，所以a2+b2>c2，
所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.
所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系；
(2)证明你猜想的结论是否正确.
【答案】(1)a2+b2
【解析】
（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；
（2）过点A作AD⊥BC于点D；然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论．（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；
（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，设CD=x．
在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2．在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2，∴b2﹣x2=c2﹣（a+x）2，∴a2+b2=c2﹣2ax．
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2+b2＜c2．
【点睛】
本题考查了勾股定理．注意理解题意是解答此题的关键．
30．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.
【答案】（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3；（3）S1=S2+S3
【解析】
【解析】
（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；（3）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可得到结论.（1）如图②，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3.
（2）如图①，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.
（3）如图③，以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.
【点睛】
本题重点考查了勾股定理，即在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，本题的解题关键在于熟练掌握勾股定理的内容，分析题中各面积的关系.
31．（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=7，BC=3，∠ABC=45°，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠CAD=90°，AC=AD，连接BD，则的长为 ．
【答案】（1）相等，垂直；（2）AD=2CM+BD；（3）或7﹣3
【解析】
（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（2）结论：AD＝2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；
（3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可；（1）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠CAE+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠CBD＝90°
∴∠AHB＝90°，
∴AE⊥BD．
故答案是：AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AD＝2CM+BD，
理由：如图2中，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC＝135°．
∴∠ADB＝∠BDC﹣∠CDE＝135°﹣45°＝90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM＝DM＝ME，
∴DE＝2CM．
∴AD＝DE+AE＝2CM+BD．
（3）情形1：如图3﹣1中，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴EC＝，
∴BD＝CE＝．
情形2：如图3﹣2中，作AE⊥AB交BC的延长线于E，则△ABE是等腰直角三角形，
同法可证：△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝AE＝7，
∴BE＝7，
∴EC＝BE＝CB＝7﹣3，
综上所述，BD的长为或7﹣3．
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
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