专题03 拐点压轴专题（1）——拐点在平行线间-2020-2021学年七年级数学下册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

专题03  拐点压轴专题（1）——拐点在平行线间

【专题导入】

经过了《拐点专题（初步引入）》后，面对压轴题形式的平行线——拐点题时，我们只需要把握住两点.

①抓住平分线（出现相等角或比例角，能通过一个未知角度表示图中出大部分的角度）

1.如图，若直线BE∥GF，A,C分别为BE,GF上两点，连接AC，∠BAC的平分线交GF于点D.

若设∠1=α，试用含α的代数式表示出图中的角.

∠2=____，∠3=____，∠4=_____，∠5=_____，∠6=____，∠7=_____.

【答案】α    α    180°-2α    180°-2α   180°-α    2α

②观察得出题中的拐点，并且能熟练的得出拐角与两条平行线中哪些角相关，结合条件与所得的代数式关系进行求解.

2.如图，m∥l，A,B分别在直线m，l上，P为两平行线中任意一点，连接AP,BP，

∠DAP的平分线和∠EBP的平分线相交于点C.

若设∠2=α，∠4=β，试用含α的代数式表示出∠C和∠P.

【解析】∠C=∠1+∠3=∠2+∠4=α+β，

∠P=∠5+∠6=（180°-2∠2）+（180°-2∠4）=360°-2（α+β）.

【例1】如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN=110°．
（1）若∠ADQ=140°，则∠BED的度数为______（直接写出结果即可）；
（2）若∠ADQ=m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．
 

【解析】（1）要求∠BED，只需要得出∠EDC和∠EBM.如图（1）.

根据题意可得∠EDC==20°，（角平分线）

∠EBM==35°，（角平分线）

∠BED=∠EDC+∠EBM=55°.

（2）同理，要求∠BED，只需要得出∠EDC和∠EBM.如图（2）.

如图（2），过点E作EF∥PQ．
∵∠CBN=110°，
∴∠CBM=70°．
∵∠CDE=∠ADE，∠ABE=∠CBE，
∴∠EBM=35°，∠EDQ=m°．
∵EF∥PQ，
∴∠DEF=180°-∠EDQ=180°-m°．
∵EF∥PQ，MN∥PQ，
∴EF∥MN，
∴∠FEB=∠EBM=35°，
∴∠BED=∠DEF+∠FEB=180°-m°+35°=215°-m°．

同步训练1. 已知E、F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．其中AB∥CD，移动E、F，使∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求的值.

【解析】易得∠BEP+∠DFP=∠P=90°.

又∠GEP=∠BEP，设∠BEP=x，则∠DFP=90°-x.

∠AEG=180°-2∠BEP=180°-2x.

==2.

【过关练习】

1. 如图，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE，DE．作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F，∠ABE，∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．

【解析】如图，FB,FD分别是∠EBD和∠EDB的平分线，

不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.

∵AB∥CD，∴∠5+∠2+∠1+∠3+∠4+∠6=180°，

∠5+∠6=180°-2（x+y）.

∠F=∠5+∠2+∠4+∠6=180°-（x+y）（拐角）.

故2∠F-∠5-∠6=180°.

即2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°.

2. 如图，若∠AEP=∠AEF，∠CFP=∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论.

【解析】如图，可得

∠M=∠1+∠3+∠4，∠N=∠1+∠2+∠4（拐角）.

又∠1=∠2，∠3=∠4，

不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.

则∠M=x+2y，∠N=2x+y.

∠M+∠N=3（x+y）.

又可得∠AEF=5x，∠CFE=5y，且∠AEF+∠CFE=180°，

即x+y=36°，

∠M+∠N=3×36°=108°.

3. 已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．如图中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．

【解析】看到角平分线，不妨设

∠2=∠3=x.

又QE∥NP，则∠4=∠3=x.

∠MEN=∠BME+∠END（拐角），

          =60°+2x.

∠FEN=∠1=∠MEN=30°+x.

∠FEQ=∠FEN-∠4=30°+x-x=30°.

4. 如图，已知EM∥BN，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．

【解析】如图，∵EF和BF分别是∠AEM和∠ABN的平分线，

所以不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.

∠A=360°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=360°-2（x+y）=2[180°-（x+y）].

∠EFB=∠1+∠4=x+y.

∠EFD=180°-∠EFB=180°-（x+y）.

故可得∠A=2∠EFD.

【专题提高】

5. 如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．

（1）如图1，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
（2）如图2，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．

【解析】（1）如图1，根据题意，

不妨设∠1=∠2=x，∠4=∠5=y.

∵CE∥FG，∴∠3=∠4+∠5=2y.

∠AEC=∠1+∠2+∠3=2x+2y=90°（拐角），

即x+y=45°.

∠AHF=∠1+∠5=x+y=45°（拐角）.

（2）如图2，根据题意，

不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=2y.

则∠AEC=∠1+∠2+∠3=2（x+y）（拐角）.

∵CE∥GF，∴∠4=∠3=2y.

∠5=∠6==90°-y.

∠AHF=∠1+（180°-∠5）=x+y+90°.

故2∠AHF-∠AEC=180°.

6. 如图，已知AB∥CD，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，连接PM、PN，∠PMB和∠PNC的平分线交于点K，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，若∠MNK∶∠PMK=2∶7，2∠MKN-∠PNO=180°，求∠NOM的度数．
 

【解析】根据题意，∠MNK∶∠PMK=2∶7

不妨设∠1=2x，则∠PMK=∠2=7x（角平分线）.

设∠3=y，则∠PNK=∠3+∠1=y+2x，

∠KNC=∠PNK=y+2x（角平分线）.

∠MKN=∠2+∠KNC=y+9x（拐角）.

∠PNO=2∠PNM=2y（角平分线）

∵2∠MKN-∠PNO=180°，

即2（y+9x）-2y=180°，

解得x=10°.

∠ONK=∠MNO-∠1=∠3-∠1=y-20°，

∠ONC=∠CNK-∠ONK=（y+20°）-（y-20°）=40°.

∠NOM=∠ONC=40°.（两直线平行，内错角相等）.