专题02 拐点专题（初步引入）-2020-2021学年七年级数学下册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

专题02     拐点专题（初步引入）

【专题导入】

1.（教材原题，人教版P23 T7（2））如图，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（    ）

A.180°

B.270°

C.360°

D.540°

【答案】C

【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴∠BAC+∠ACD=180°①，∠DCE+∠CEF=180°②，
①+②得，∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°．
故选：C．

【教材变形】

思考：若把第1题中的直线CD删去，如图，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°成立吗？

很明显结果还是成立的，我们只需要把直线CD补回去，就可以得证.

如图，作直线CD∥AB，结合第1题的证明即可.

【方法介绍】

①“拐点”的认识：在平行线的背景下，如下图所示的图形，我们都可以称之为拐点.

②针对“拐点”问题的方法：解决上述图形，我们需要借助辅助线，而辅助线往往就是“第3条”平行线.

【专题训练】

【例1】如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.则∠BCD的度数为_______.

【答案】80°

【解析】过点C作MC∥AB.

∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥MC，
∵∠B=135°，∠D=145°，
∴∠BCM=45°，∠MCD=35°，
∴∠BCD=45°+35°=80°.

同步练习1：如图，AB∥EF，∠B＋∠C＋∠D＋∠E=______°．

【答案】540°

【解析】过点C，D分别作CH∥AB，DG∥EF，

∴∠B+∠BCG=180°，
∠HCD+∠CDG=180°，
∠GDE+∠E=180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E=180°+180°+180°=540°．

变式训练1：如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α=32° ，则∠β的度数为______.

【答案】122°

【解析】过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1=∠α=32°，

∠2=90°-∠1=58°.

∠β=180°-∠2=122°.

【例2】如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.则∠1的度数为________.

【答案】30°

【解析】过点P作射线PN∥AB，如图.

∵PN∥AB，AB∥CD，

∴PN∥CD.

∴∠4＝∠2＝28°.

∵PN∥AB，

∴∠3＝∠1.

又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.

∴∠1＝30°.

同步练习2：如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线11，l2上，已知∠C是直角，则∠1+∠2的度数等于_____.

【答案】90°

【解析】如图，过点C作CF∥AD，易得CF∥BE，

可得∠1=∠3，∠2=∠4，

又∠3+∠4=∠ACB=90°，

即∠1+∠2=90°.

变式训练2：如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=90°，则∠BFD=______.

【答案】45°

【解析】如图，过点E作EP∥AB，过F作FM∥AB，
∴AB∥CD∥EP∥FM，

∴∠1=∠2=∠5，∠4=∠3=∠6.

∠7=∠1+∠2=2∠1=2∠5，

∠8=∠3+∠4=2∠4=2∠6.

∠BFD=∠5+∠6=∠7+∠8=（∠7+∠8）=∠BED=45°.

【例3】如图，已知AE∥BD，∠1=126°，∠2=40°，则∠C=____°.

【答案】14

【解析】如图，作CF∥BD，

可得CF∥AE.

∠3=180°-∠1=54°，

∠4=∠2=40°.

∠MCF=∠3-∠4=14°.

变式训练3. 如图，已知AB∥DE，∠ABC=76°，∠CDE=150°，则∠BCD的度数为_______.

【答案】46

【解析】过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC=∠BCF，∠CDE+∠DCF=180°，
∵∠ABC=76°，∠CDE=150°，
∴∠BCF=76°，∠DCF=30°，
∴∠BCD=46°.

【专题过关】

1. 如图，∠ABC+∠C+∠CDE=360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1=120°，则∠2=_____°．

【答案】60

【解析】如图，作CH∥AB，

∵AB∥CH，
∴∠B+∠BCH=180°，
∵∠ABC+∠C+∠CDE=360°，
∴∠D+∠DCH=180°，
∴CH∥DE，
∴AB∥DE，
∴∠1=∠3=120°，
∴∠2=180°-∠3=60°.

2. 如图，AB∥CD，∠A=20°，∠CDP=145°，则∠P=____°.

【答案】55

【解析】解：如图，过点P作PE∥AB，

∴∠APE=∠A=20°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠EPD=180°-∠CDP=35°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=20°+35°=55°．

3. 如图，AB∥CD，CE交AB于F，∠C=55°，∠AEC=18°，则∠A=_____.

【答案】37

【解析】过点E作EP∥AB.

∴EP∥CD.

∠1=∠A，∠C=∠CEP.

∠1=∠CEP-∠AEC=∠C-∠AEC=37°.

即∠A=∠1=37°.

4. 如图，已知AB∥DE，∠C：∠D：∠B=2：3：4，则∠D=_____.

【答案】108°

【解析】过点C作MN∥AB.

∵∠BCD：∠D：∠B=2：3：4，
∴可设∠BCD=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°，

∵MN∥AB∥DE，

∴∠MCB=180°-∠B=180°-4x，

∠NCD=180°-∠D=180°-3x.

∠MCB+∠BCD+∠NCD=180°，

即（180°-4x）+2x+（180°-3x）=180°，

解得x=36°.

∠D=3x=108°.

【专题提升】

5. 如图，若a∥b，则图中x的度数是_____度．

【答案】72

【解析】∠1=180°-120°=60°，
如图，过两平行线中间角的顶点作a的平行线，
由平行线的性质可得x+48°=60°+30°+30°，
解得x=72°．

6. 如图，已知a∥b，若∠2-∠3=20，则∠1-∠4=_____.

【答案】20°

【解析】如图构造平行线，可得∠1+∠3=∠2+∠4，

∠1-∠4=∠2-∠3=20°.

7.如图，已知点C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，若∠BCD=∠BFD+10°，则∠BCD的度数为_____.

【答案】160°

【解析】分别过点F和点C作FP∥AB，QC∥AB，

易得ED∥QC∥FP∥AB.

又∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，

∴设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.

∠DFB=∠DFP+∠BFP=∠1+∠3=x+y.

∠DCB=∠DCQ+∠BCQ=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠3-∠4）

=360°-2（x+y）.

∵∠BCD=∠BFD+10°，

∴360°-2（x+y）=（x+y）+10°，

解得x+y=100°.

360°-2（x+y）=160°.

即∠BCD=160°.