初中第十八章 平行四边形综合与测试教案设计

18.2.4 菱形的判定（教案）

【教学目标】

1.知识与技能

理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证、画图和计算。

2.过程与方法

进一步发展合情推理、演绎推理的能力，增强几何直观和几何符号意识。

3.情感态度和价值观

培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。

【教学重点】

菱形的判定定理的证明。

【教学难点】

菱形判定定理的灵活应用。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】前两节课中，我们学习了矩形和菱形的性质，在学习中，我们都是按照与平行四边形的对比进行的。大家能正确的说出矩形和菱形的特殊性质吗？

课件展示

（学生回答）

【过渡】刚刚大家的回答都很正确，既然两种特殊的四边形的性质可以按照类似的方法得出，那么两者之间的判定是否也可以以类似的方法进行呢？大家回忆一下矩形的判定我们是如何得出的，今天我们就来学习菱形的判定。

二、新知详解

1．菱形的判定

【过渡】类比于矩形，我们同样先从菱形的定义入手。从上节课的学习中，我们知道，什么情况下是菱形，那么反过来，这个也是成立的。

菱形的判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

【过渡】根据这个定理，我们可以在平行四边形的基础上进行判断，那么还有别的判定定理吗？

【过渡】菱形的性质中，有关于对角线的性质，菱形的对角线互相垂直。如果把这个性质反过来，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形。这个命题还成立吗？如果成立，我们又该如何证明呢？

课件展示证明过程。

【过渡】经过证明，我们确定这个是成立的。

菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

【过渡】前边两个定理都是在平行四边形的基础上的判断，如果脱离了平行四边形，什么样的四边形才能满足菱形呢？

【过渡】从菱形的边长入手，我们知道，菱形的四条边是一样长的。那么反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？

课件展示证明过程。

【过渡】通过证明，这个命题同样是成立的。

菱形的判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形。

课本例4，讲解。

总结菱形的判定定理。

【要点解析】

1、判断题

 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形（  ×  ）

(2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ×  ）

(3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ √  ）

(4)对角线相等的四边形是菱形（  × ）

(5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（  √ ）

(6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ √）  。

2、四边形ABCD是矩形，MN垂直平分对角线BD于O，交AD于M，交BC于N，求证：四边形MBND是菱形。

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠MDO=∠NBO，

∵MN垂直平分对角线BD，

∴OD=OB，MN⊥BD，

在△MOD和△NOB中，

∠MDO＝∠NBO  ；OD＝OB  ；∠MOD＝∠NOB  ，

∴△MOD≌△NOB（ASA），

∴OM=ON，

∴四边形MBND是平行四边形，

又∵MN⊥BD，

∴四边形MBND是菱形。

3、已知，如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC交于E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE，BF交于O，则四边形ABEF为菱形，请说明理由。

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AB=AF，

∴AF=BE，

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF

∴四边形ABEF是菱形。 

【达标检测】

1、数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　D　）

A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否垂直

C．测量一组对角是否相等 D．测量四边是否相等

2、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（　D　）

A．AB=BC B．∠ACB=60° 

C．∠B=60° D．AC=BC

3、已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（　D　）

A．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形

B．若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形

C．若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形

D．若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形

4、如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且EF=GH，AE=CF，DH=BG，求证：四边形EGFH是菱形。

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C，

∵DH=BG，

∴AG=CH，

在△AGE和△FHC中，

AE＝CF ；∠A＝∠C ；AG＝CH，

∴△AGE≌△FHC）SAS），

∴GE=FH，

同理：GF=EH，∴四边形EGFH是平行四边形，

又∵EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形、

【拓展提升】

1、.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D与B重合，折痕为EF，然后展开，连接DF，BE．

（1）求证：四边形EBFD是菱形；

（2）已知AB=3，AD=9，求折痕EF的长

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

由折叠的性质得：BE=DE，∠BEF=∠DEF，

∴∠BEF=∠BFE，

∴BE=BF，

∴DE=BF，

∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

又∵BE=DE，

∴四边形EBFD是菱形；

（2）解：由（1）得：四边形EBFD是菱形，

∴BF=BE，

设BE=x，则BF=DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x

在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，

则32+（9-x）2=x2，

解得：x=5．

∴BF=BE=5，AE=4，

作EM⊥BC于M，

如图所示，则EM=AB=3，BM=AE=4，

∴MF=BF-BM=1，

∴EF= =

【板书设计】

1、菱形的判定定理：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

有四条边相等的四边形是菱形

【教学反思】

举例生活中给人以矩形形象物体；给学生一个感性认知。对于新知识的获取能够建立在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，并能体会到自己的探索是有意义、有价值的能培养他们在学习上的自信心，也便于激发他们对学习的浓厚兴趣。另外，学生对自己探究出的结论，记忆也会更加深刻久远，理解也更加渗透到位。这样一种教学方式，更加有助于学生完善学习过程，学生的探索创新思维、创新精神和创造能力将获得极大的提高。