数学八年级下册第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数第2课时教学设计及反思

19.2.2 一次函数 (2课时内容)（教案）

【教学目标】

1、结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式。

2、能根据一次函数的图象和表达式y =kx+b（k≠0）理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况. 从而理解一次函数的增减性；

3、使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。

【教学重点】

一次函数的概念。

【教学难点】

用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】上节课的学习中，我们学习了正比例函数的相关知识，大家一起来回忆一下吧。

【过渡】正比例函数相对来说是比较基础的，今天我们就来学习另一种函数：一次函数。一次函数的图象和性质有什么特点呢？今天我们就来探究一下。

二、新知详解

1．一次函数

【过渡】跟学习正比例函数一样，我们通过不同的问题来学习一次函数。首先，我们来思考这样一个问题。

某登山队大本营所在地的气温为5ºC，海拔每升高1km气温下降6ºC，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是yºC，试用解析式表示y与x的关系。

【过渡】通过分析，我们知道，海拔每增加xkm，气温就下降6x℃，因此，我们得到解析式为：

y=-6x+5

【过渡】对于这个关系式，我们能够计算不同海拔下的温度，比如说，登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是y=-6×0.5+5=2℃。

【过渡】根据刚刚的问题，我们知道，这个解析式与正比例函数相比，多了一个常数项。那么是不是所有的这类式子都有一样的特征呢？我们再来看几个问题。

课本P90思考内容。

【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？

（学生回答）

列表更清晰直观。

【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？

都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.

【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为一次函数。

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

【过渡】我们上节课学习的正比例函数与一次函数有什么关系呢？

通过对两个解析式的观察，我们发现，当b=0时，y=kx+b为y=kx，正比例函数是特殊的一次函数。

【过渡】大家来练习一下吧。

【练习】下列式子中，哪些表示是的一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=-x-4； （2）y=5x2+6； （3）y=2πx；（4）y=-8x   

2、一次函数的图象

【过渡】上节课我们学习的正比例函数图象的特点，与k的正负有关，那么，对于一次函数而言，是否与k有关呢？对于另一个常量b来说，有没有关系呢？我们来验证一下吧。

【过渡】我们以（2）为例，按照画函数图象的步骤：列表、描点、连线，得到如图所示的图象。然后我们将第二个图象也画出来。观察这两个图象，有什么相似之处呢？

（1）你能说出一次函数y=-6x+5的图象是什么形状吗？

（2）它与直线y=-6x有什么关系吗？

（3）这种关系能推广到一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx的关系吗？

【过渡】通过对比我们所得到的图象，我们发现：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同。而观察两条直线在直角坐标系中的位置，又能得到：

函数y1=-6x的图象经过原点，函数y2=-6x+5的图像与y轴交于点（0,5），即它可以看作由直线y1=-6x向上平移5个单位长度而得到。

【过渡】通比较这两个图象，我们能得到一次函数的图象与正比例函数的图象的关系：

函数y=kx+b图象可以看作由直线y=kx图象平移|b|个单位长度而得到。

（当b＞0时，向上平移，当b＜0时，向下平移)。

【过渡】一次函数的图象也是一条直线，我们称之为直线y=kx+b

【过渡】大家思考一下，对于一次函数y=3x-3，y=3x+1，y=3x+3的图象有什么关系？

（学生动手画图）

【过渡】通过刚刚的动手，我们知道，三条直线相互平行。

k1=k2=k3，且b1≠b2≠b3，三线平行。

【练习】1、不画图象，仅以函数解析式，你能否判断直线y=3x+4与直线y=3x-1的位置关系是     。

2、直线y=3x-2可由直线y=3x向         平移          单位得到。

3、直线y=x+2可由直线y=x-1向         平移          单位得到。

【过渡】在正比例函数的图象中，我们知道，k的取值会影响直线的方向，既然一次函数可以看做是由正比例函数平移得到的，那么一次函数的方向是否也与k有关呢？我们来看例3。

课件展示画图。

【过渡】针对例3，我们有两种不同的画法，一种是平移法，根据一次函数与正比例函数的关系，平移就能得到。另一种方法即为描点法。

【过渡】画出y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。

通过刚刚的比较，我们发现，一次函数的图象同样与k的取值有关，这一点与正比例函数的图象性质是一致的：

k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大；

k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小。

当|k |越大时，图象越靠近y轴

总结一次函数的性质。

【过渡】我们知道，一次函数里，有两个常数，那么k、b与函数的图象都有什么样的关系呢？

一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；

当k＜0时，y随x的增大而减小．

一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限。

【过渡】这些结论，牢记了之后，在解题时会相对容易的哦。

【要点强化】

1、下列函数①y=2x-1，②y=πx，③y= ，④y=x2中，一次函数的个数是（　B　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2、若函数y=（m-1）x|m|-1是关于x的一次函数，试求m的值。

解：∵函数y=（m-1）x|m|-1是关于x的一次函数，

∴|m|=1，且m-1≠0，

解得：m=-1。

3、. 一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（　D　）

A．        B．      

C．        D．

4、函数y=(k-2)x-1+k经过第一、二、四象限，k的范围是     1＜k＜2     。

5、5.直线y=2x-3与x轴交点坐标为     （-3/2,0）     ，与y轴交点坐标为     （0，-3）；图象经过   一、三、四      象限，y随x的增大而    增大    。

【典题突破】

1、若函数y=是一次函数，且y随x的增大而减小，则m的值为（　C　）

A．±1 B．1 C．-1 D．-3

2、在同一平面直角坐标中，关于下列函数：①y=x+1；②y=2x+1；③y=2x-1；④y=-2x+1的图象，说法不正确的是（　C　）

A．②和③的图象相互平行

B．②的图象可由③的图象平移得到

C．①和④的图象关于y轴对称

D．③和④的图象关于x轴对称．

3、一次函数y=5x-3不经过第（　B　）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

4、对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（　C　）

A．它的图象必经过点（-1，3）

B．它的图象经过第一、二、三象限

C．当x＞1时，y＜0

D．y的值随x值的增大而增大

5、画出函数y=|3x|+x-2的图象，利用图象回答：

（1）x在哪个范围，y随着x的增大而减小？

（2）函数图象上最低点的坐标是什么？函数y的最小值是多少？

解：当x＞0时，y=3x+x-2=4x-2；

当x＜0时，y=-3x+x-2=-2x-2．

函数图象如图所示：

（1）由函数图象可知：当x＜0时，y随x的增大而减小；

（2）由函数图象可知：图象最低点的坐标为（-2，0），y的最小值为-2．

【板书设计】

1、一次函数：

形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

2、一次函数的性质

【教学反思】

本节课采用了类比的方法，将一次函数与正比例函数进行比较学习，数学中的很多知识都是相互关联的，但这种关联往往又是潜在的，学生在学习新知识时常常觉察不到与旧知识间的联系，这就需要教师去挖掘，并在教学中予与渗透、展现，让学生在体验新旧知识的过程中，理清知识的来龙去脉，有利于知识的拓展和学生创新意识的培养。