精品解析：湖北省武汉市七一华源中学2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版）

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2020—2021 学年度上学期十二月质量检测八年级数学试题
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列黑体字中，属于轴对称图形的是（ ）
A. 诚 B. 信 C. 友 D. 善
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．注意找到对称轴可很快的判断是否是轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形的性质得出：只有“善”是轴对称图形．
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，难度一般．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D. 15x2y ¸ 5xy = 3x
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及单项式除单项式法则对每个选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、15x2y ¸ 5xy = 3x，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及单项式除单项式法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
3. 下了计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据乘法公式判断选项的正确性．
【详解】A选项错误，；
B选项正确，；
C选项错误，；
D选项错误，．
故选：B．
【点睛】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式以及平方差公式．
4. 如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
观察图形面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
【详解】解：图中大正方形的边长为：，其面积可以表示为：
分部分来看：左下角正方形面积为，右上角正方形面积为，
其余两个长方形的面积均为，
各部分面积相加得：，

故选：B．
【点睛】本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．
5. 若 x2- 2kx + 9 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A. 6 B. 3 C. ±3 D. ±6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可求出k的值．
【详解】解：∵x2- 2kx + 9 是完全平方式，
∴- 2k=±2×1×3=±6，
∴k=±3，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
6. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（　　）
A. 三条角平分线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可．
【详解】解：∵OA=OB，
∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴O在线段AC的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上，
即O是△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：B．

【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用，注意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
7. 下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义和方法判断选项的正确性．
【详解】A选项正确，
；
B选项错误，从左往右不是因式分解；
C选项错误，；
D选项错误，从左往右不是因式分解．
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义和方法．
8. 以下说法正确的是（ ）
A. 三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B. 若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C. 到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D. 等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；
B、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；
C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
9. 如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．
【详解】解：如图，左右对称的有4个，

如图，上下对称的有1个，

如图，关于正方形的对角线对称的有2个，

∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．
10. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝

A. 112.5° B. 105° C. 90° D. 82.5°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故选B．


【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. （c - 2）（c + 2）=____．
【答案】c2-4
【解析】
【分析】
根据平方差公式直接计算即可．
【详解】解：原式=c2-22
=c2-4，
故答案为：c2-4．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
12. 计算（2a + 3b）2=______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用完全平方公式进行计算．
【详解】解：原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
13. 如图，∠B=∠C=30°，AC=2，BC= 2，则 SV ABC =______．

【答案】．
【解析】
分析】
过点作于，根据，，可得，是等腰三角形，再根据得出，然后利用勾股定理列方程求出的值，即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，

∵，，
∴，是等腰三角形，
∵
∴，
∴
∴，
故答案是：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判别和性质，勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
14. 若a - b = 1， ab = 2 ，则a + b =______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式及开方运算即可求解．
【详解】解：∵，

∴
故答案为：．

【点睛】本题考察完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15. 因式分解=______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式把原式写成，再根据完全平方公式得出结果．
【详解】解：原式

．
故答案是：．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握利用乘法公式进行因式分解的方法．
16. 已知等边三角形的高是边长的倍，在平面坐标系中，A 点的坐标为（1，），P 点为x轴上一个动点，以 AP 为边构造等边△APQ，且 A、P、Q 按逆时针排列，若 OQ 长度为a ，则a 最小时 Q 的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取点，作等边三角形，取点，作等边三角形，根据分析出，点Q的运动轨迹是直线，点O到直线的距离即为的最小值，此时点Q就是过点O作直线的垂线的垂足，即可求出点Q坐标．
【详解】解：如图，取点，作等边三角形，取点，作等边三角形，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当点P在x轴上运动时，点Q就在所在的直线上运动，
等边三角形的边长是，则高是，
∴，
等边三角形的边长是2，则高是，
∴，
设直线的解析式为：，
，解得，
∴直线的解析式为，
点O到直线的距离即为的最小值，此时点Q在图上点C的位置，
∵，，
∴，，
∴由勾股定理，，
∴，
设，
列式：，整理得，解得，
∴，即．
故答案是：．
．
【点睛】
本题考查动点问题，解题的关键是构造全等三角形找出动点的轨迹，再根据等边三角形的性质和一次函数的知识求出点坐标．
三、解答题（共 8 题，共 72 分）
17. （1）计算：
（2）分解因式： x3 -16x
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据幂的运算法则进行计算；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查幂的运算和因式分解，解题的关键是掌握幂的运算法则和因式分解的方法．
18. 如图，AB⊥CB，DC⊥CB， E、F 在 BC 上，AF=DE，BE=CF，求证：AB =DC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由BE＝CF得BF＝CE，由AB⊥CB，DC⊥CB得到∠ABF＝∠DCE＝90°，然后根据“HL”可判断RtABF≌RtDCE，则AB＝DC即可．
【详解】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠ABF＝∠DCE＝90°，
∵在RtABF和RtDCE中，
，
∴RtABF≌RtDCE（HL），
∴AB＝DC．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
19. 先化简，再求值：（x - 2 y）2 -（ x - y）（x + y）- 5 y2，其中 xy = 0.5．
【答案】，
【解析】
【分析】
直接利用乘法公式进而化简，再把已知数据代入求出答案．
【详解】解：原式

，
当xy = 0.5时，
原式
．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0）、C（－4，3）．

（1）若△A1B1C1 和△ABC 关于 y 轴对称，A1 、B1、C1 的对称点分别是 A、B、C，请画出△A1B1C1并直接写出 C 1的坐标 ；
（2）请仅用无刻度直尺在图中画出△ABC 中 CB 边上的高 AD 并保留作图痕迹；
（3）请在 x 轴上找一点 P，使得 PA + PC1最短，在图中标出 P 点，并保留作图痕迹，然后直接写出 P 的坐标．
【答案】（1）图见详解，（4，3）；（2）图见详解；（3）图见详解，（，0）．
【解析】
【分析】
（1）直接利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，然后作出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行作图解答即可；
（3）作出C1关于 x 轴的对称点，然后连接A，，则A与 x 轴的交点就是点 P，据此求解即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

∵点C与点 C 1关于轴对称，点C的坐标是（－4，3）
∴ 点C 1的坐标是（4，3）；
（2）如图，

由题图可知，是等腰直角三角形，
∴，
由此，在图上，作一个斜边是的等腰直角三角形，
斜边交于点，
则有，
∴，
∴ 是中边上的高；
（3）如图示，作点C1关于 x 轴的对称点，连接A，A与 x 轴交于点 P，

由对称性可知，，
则有：，根据两点之间线段最短，即有：P点为所求，
∵点C1与点关于 x 轴对称，点C 1的坐标是（4，3），
∴ 点的坐标是（4，-3），
设直线的解析式是：，
∵点的坐标是（4，-3），点的坐标是（－1，5），
∴ ，解之得：，
∴直线解析式是：，
当时，，解之得： ，
∴点的坐标是（，0）．
【点睛】本题主要考查作图轴对称变换，成对称图形的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
21. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且∠EAF=60°．

（1）若 BE=DF，求证：△AEF 为等边三角形；
（2）求证：EF=BE+DF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ADC= ，BE=DF，AB=AD，可证得△ABE≌△ADF，再根据∠EAF=，可求得∠AEF=∠AFE= ，继而可证得△AEF为等边三角形；
（2）延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，首先证明△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠GAD，因为∠BAE+∠EAD=，可求得∠GAF==∠EAF，进而可证得△EAF≌△GAF，继而可得EF=BE+DF．
【详解】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=，BE=DF，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=，
∴∠AEF=∠AFE=，
∴△AEF为等边三角形；
（2）如图，延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，可得到


∵AD⊥DF，
∴∠ABE=∠ADG=，
∵AB=AD，DG=BE，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠GAD，
又∵∠BAE+∠EAD=，
∴∠GAD+∠EAD=，
又∵∠EAF=，
∴∠GAF==∠EAF，
又∵AE=AG，AF=AF，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=GF=GD+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，综合运用全等三角形的性质和判定进行推理是解题的关键．
22. 如图，某小区有块长为米，宽为米的长方形地块，角上有 4个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中a > b ．

（1）用含有a 和b 的式子表示绿化的总面积 S；（结果用最简形式表示）
（2）若a + b = 20 且，求 S 的大小；
（3）若a + b = 20 ，那么当a = 米且 b= 　　　米时，有S 的最大值为： 当 S 取最大值时，若甲乙两个工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化 4 平方米，乙每小时可绿化 1 平方米，且乙的工作时间不低于甲的工作时间，则甲最多工作 　　　小时．
【答案】（1）；（2）475；（3），，，
【解析】
【分析】
（1）用长乘以宽表示出长方形地块面积，再减去4个小正方形的面积即可；
（2）由得，结合求出a和b的值，再代入（1）中的结果求出S的值；
（3）由得，则，利用配方法求出最值，以及取最值时a和b的值，设甲工作时间为，乙工作时间为，用x表示出y，然后列不等式求出x的最大值．
【详解】解：（1）


；
（2）∵，
∴，
解方程组，解得，
则；
（3）∵，
∴，
∴，




，
当时，，S有最大值，最大值是，
设甲工作时间为，乙工作时间为，
列方程：，则，
∵乙的工作时间不低于甲的工作时间，
∴，解得，
∴甲最多工作小时，
故答案：，，，．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，不等式的应用，配方法求最值，解题的关键是掌握这些知识点进行计算求解．
23. 已知△ABC 为等边三角形．


（1）如图 1，若△AED 也是等边三角形，连接 BE 和 CD 且分别交 AD 和 CD 于 F 和 G，CD 交BE 于 O，则图中必有 CD= 　　（填某个线段）；
（2）如图 2，D 为等边△ABC 外一点，且∠BDC=120°，试求线段 BD、DC、AD 之间的数量关系；
（3）如图 3，P 为等边△ABC 内一点，∠APD=120°；
①求证：PA+PD+PC> BD；
②若∠CPD =30°， PD=3， PC=2，直接写出 S△PBD= ．
【答案】（1）BE；（2）；（3）①证明见解析；②3．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质利用SAS证明△，从而可得结论；
（2）延长BD至E，使DE=DC，连接CE，再证明△即可得出结论；
（3）①延长DP至M，使得PM=PA，连接AM，BM，可证，根据三角形三边关系得到，从而可证出结论；
②MH △知BM=PC=2，再证明BM⊥MD，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABC和△AED是等边三角形，
∴，，∠CAB=∠EAD=60°
∴∠CAB+∠BAD=∠EAD+∠DAB，即：∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，

∴△CAD≌△BAE
∴ CD=BE，
故答案为：BE；
（2）延长BD至E，使DE=DC，连接CE，如图，

∵∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°
∵DE=DC
∴△DEC是等边三角形，
∴，∠DCE=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°
∴∠
∴∠
∴∠
∴△
∴
∵
∴
（3）①延长DP至M，使得PM=PA，连接AM，BM，

∵∠，
∴∠
∴△APM是等边三角形，
∴，∠
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴，∠，
∴∠，
∴∠
∴△
∴
在△BDM中，，
∴
②由①知△
∴BM=PC=2
∵∠CPD=30°，∠APD=120°
∴∠
∵∠AMP=60°
∴∠BMP=90°，即BM⊥MD，
∴S△PBD=．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及三角形三边不等关系的应用，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．
24. 若 A（0， a），B（b， 0 ），且a，b 满足a2﹣2ab+b2＝﹣4+4a﹣a2．

（1）则A的坐标是 ；B的坐标是 ；
（2）如图1，点D在线段AO上运动（不与点 O、A 重合），以BD为腰向下作等腰直角BDE，∠DBE＝90°，连接AE交OB于M，求AD和OM的数量关系；
（3）若点 C 在 y 轴上运动（O 点除外），CBD 等腰直角三角形（C、B、D顺时针排列），CB＝CD，∠DCB＝90°，连接AD，取AO中点T，连接TO，TC，补充图形，求TO 与TC的数量关系．
【答案】（1）（0，2），（2，0）；（2）OM＝AD；（3）TO ＝TC
【解析】
【分析】
（1）先配方，然后利用非负数的性质即可解决；
（2）如图1中，作EG⊥OB于G，先证明DBO≌BEG，得DO＝BG，BO＝EG，推出AD＝OG，再证明AOM≌EGM得OM＝MG，由此可以解决问题；
（3）延长OT至点F，使TF＝OT，连接DF，CF，先证明ATO≌DTF，由此可得DF＝OA＝OB，∠FDT＝∠DAO，再证明DCF≌BCO，由此可得FCD为等腰直角三角形，再结合T为OF的中点即可证得TO＝TC．
【详解】（1）解：∵a2﹣2ab+b2＝﹣4+4a﹣a2，
∴a2﹣2ab+b2+ a2﹣4a+4＝0，
∴（a﹣b）2+（a﹣2）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣2）2≥0，
∴a＝b＝2，
∴点A坐标（0，2），点B坐标（2，0），
故答案为：（0，2），（2，0）；
（2）解：如图1中，作EG⊥OB于G，

∵BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴BD＝BE，∠DBO+∠OBE＝90°，
∵EG⊥BO，
∴∠OBE+∠BEG＝90°，
∴∠DBO＝∠BEG，
在DBO和BEG中，
，
∴DBO≌BEG（AAS），
∴DO＝BG，BO＝EG，
∵AO＝BO，
∴AO＝EG，AD＝OG，
在AOM和EGM中，
，
∴AOM≌EGM（AAS），
∴OM＝MG＝OG，
∴OM＝AD；
（3）延长OT至点F，使TF＝OT，连接DF，CF，
∵在ATO和DTF中，
，
∴ATO≌DTF（SAS），
∴DF＝OA＝OB，∠FDT＝∠DAO，
∵∠DCB＝90°，∠COB＝90°，
∴∠DCO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠DCO＝∠OBC，
∵∠DCO＝∠ADC+∠CAD＝∠ADC+∠FDA＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠OBC，
∵在DCF和BCO中，
，
∴DCF≌BCO（SAS），
∴OC＝CF，∠FCD＝∠OCB，
∴∠FCO＝∠FCD+∠DCO＝∠OCB+∠DCO＝90°，
∴FCD为等腰直角三角形，
又∵T为OF的中点，
∴TO＝TC．

【点睛】本题考查完全平方公式及其非负性、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会运用转化的思想．