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第十七章 勾股定理（应用题篇）八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版）
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这是一份第十七章 勾股定理（应用题篇）八年级数学下册同步课堂（人教版）（解析版），共2页。试卷主要包含了审题—分析实际问题；，建模—建立相应的数学模型；，求解—运用勾股定理计算；，检验—是否符合实际问题的真实性等内容，欢迎下载使用。
第十七章 勾股定理（应用题篇）
知识梳理+九大例题分析+经典同步练习
知识梳理
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题—分析实际问题；
2．建模—建立相应的数学模型；
3．求解—运用勾股定理计算；
4．检验—是否符合实际问题的真实性．
题型总结：确定几何体上的最短路线，先将立体图形展开成平面图形，注意展开方式，再构造直角三角形来求解最短距离；
在求一些高度、长度、距离、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题再利用勾股定理进行求解。
关键词：直角三角形（寻找直角三角形、构造直角三角形）
典型例题
例题1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
【答案】C
【解析】
根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．解：如图，由勾股定理可得：
所以此门通过的木板最长为，
所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板．
故选C.
例题2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】D
【解析】
由题意可知OB=7m，OA=24m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC，又由题意可知OD=15m，进而得出答案．解：在直角三角形AOB中，因为AO=24m，OB=7m，
由勾股定理得：AB==25（m），
由题意可知AB=CD，
又OC=24-4=20（m），根据勾股定理得：OD==15（m），
故BD=DO-BO=15-7=8（米）．
故选：D．
例题3．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
【答案】D
【解析】
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，
根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D
例题4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边为，
则在中，，，
由题意根据勾股定理得，，即，
∴，（舍去），即，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故选：．
例题5．如图所示，公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，，点到公路的距离为．假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，影响时间为24秒
【解析】
由点向作垂线，垂足为，通过比较的长与100的大小，从而判断是否会受影响；再利用勾股定理求得距离点100米到离开100米的距离，除以拖拉机的速度即为影响学校的时间．解：∵，
学校会受到拖拉机的影响；
如图：作于，则．
假设当拖拉机行驶到点开始影响学校，行驶到点结束对学校的影响，
则米，
米，
米，
千米时米秒，
所以影响学校的时间为：秒
拖拉机会影响学校，影响时间为24秒．
例题6．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m 到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．
【答案】（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
【解析】
（1）根据所走的方向判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.
（2）求出的度数，即可求出方向.(1)如图，过点B作BE//AD.
∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∠CBA=90°
AC==100(m).
(2)在Rt△ABC中，∵BC=50m,AC=100m,
CAB=30°.
∵∠DAB=60°,
DAC=30°，
即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
例题7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问：
（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响．
（2）台风影响该市的持续时间16小时
（3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级．
【解析】
（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．
（2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD=AB =120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200，ED=FD．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=2=320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．
例题8．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是__．
【答案】15.6cm≤a≤16.6cm．
【解析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm．
故答案为15.6cm≤a≤16.6cm．
例题9．如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.
【答案】150
【解析】
分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
详解：AB==150（米）．
故答案为150．
一、单选题
1．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
3．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【答案】B
【解析】
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，
又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）
A．13米 B．17米 C．18米 D．22米
【答案】C
【解析】
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，
∴树的高度为：AC+BC=18米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
5．将一根的细木棍放入长，宽，高分别为，，的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】
根据题意得到木棒露在外面的最短情况，然后利用勾股定理进行求解即可．解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，
得，
此时露在盒子外面的部分为．
故选B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
已知ab＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.由题意得：大正方形的面积为，
又小正方形边长为，，
，
，
，
．
故小正方形边长为．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
7．如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【解析】
先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°．
8．如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（ ）
A．﹣1 B． C．3﹣ D．6﹣2
【答案】A
【解析】
要求AM的长，只需求得AF的长，根据AF、AP和PF之间的关系，可得出AF的长度，又AF=AM，即可得出．在Rt△APD中，AB=2，AD=2，取AB的中点P，
∴AP=1，
由勾股定理知PD=，
∴AM=AF=PF−AP=PD−AP= ,
故选A．
【点睛】
此题考查正方形的性质，勾股定理，解题关键在于求得AF的长．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
设，利用勾股定理依据和的长相等列方程，进而求出的值，即可求出的长度．解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到利用勾股定理列方程是解题的关键．
10．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【答案】B
【解析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，
故选：B．
【点睛】
此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.
12．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边为，
则在中，，，
由题意根据勾股定理得，，即，
∴，（舍去），即，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故选：．
【点睛】
本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．
二、填空题
13．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为___________．
【答案】
【解析】
根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．由勾股定理知：PB＝ ＝＝，
∴PD＝,
∴点D表示的数为﹣1.
故答案是：﹣1.
【点睛】
此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.
14．如图，一个边长为4cm的正方体，A、B为两相对的顶点，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为________cm．
【答案】
【解析】
把正方体进行展开，然后根据勾股定理及两点之间线段最短进行求解即可．如图，根据题意可知最短距离为AB，
根据勾股定理得：．
蚂蚁爬行的最短距离为．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
【答案】8
【解析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
16．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
【答案】11cm 12cm
【解析】
根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
17．如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，得到∠CDC′＝60°．若∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，则CD＝_____．
【答案】
【解析】
根据周角的定义和折叠的性质可求∠ADC＝150°，根据平角的定义可求∠ADB＝30°，可得AD＝2AB＝2，再根据勾股定理可求BC，BD，再根据线段的和差关系可求CD的长．解：∵把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，∠CDC′＝60°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝30°，
∴AD＝2AB＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴BC＝，BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理得出BC与BD是解题的关键．
18．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________．
【答案】4.55
【解析】
设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．解：如图
设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺，
根据勾股定理得：
AC²＋BC²＝AB²，
即：x²＋3²＝(10−x)²，
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55.
【点睛】
考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
19．如图，已知在中，，，点是边的中点，，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么线段的长为________．
【答案】
【解析】
由题意可以分析知△ADC与△ABC相似可求出AC=，再根据三角形面积求出EC的长，由题意知道△BEC为直角三角形，根据勾股定理即可求出BE的长．由题意做图，如图：由折叠知识知EC⊥AD，
在△ADC与△ABC中，
，
∴△ADC∽△ABC，
∴ ,
∵，点是边的中点，
代入可得：AC=，
由勾股定理可得AD= =，
由四边形AEDC面积等于2△ADC可得：2=AD，
解得：EC===,
又∵ED=BD=DC，
∴△BEC是直角三角形（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴BE= ==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直角三角形折叠问题，涉及到相似和勾股定理，求出EC是关键一步．
20．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为__________．
【答案】.
【解析】
首先根据勾股定理求出的长，进而求出，设，则 由长方形的宽表示出的长度，根据勾股定理列出方程即可求解；设
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
由勾股定理可得：
在中，由勾股定理可得：
解得：
故答案是：
【点睛】
本题主要考查长方形中三角形的折叠问题，同时结合了勾股定理的计算，根据题意列出关于勾股定理的方程是求解本题的关键.
21．如图，东西海岸线上有、两个码头，相距6千米，灯塔到码头距离为千米．灯塔在码头的北偏东方向，则灯塔与直线的距离为______千米．
【答案】4
【解析】
过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.解：如图，过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，
根据题意可得，∠PBH=45°, AB=6千米，PA=千米，
∴∠PBH=∠BPH=45°,
∴PH=BH，
设PH=x千米，
在RtΔAPH中，由勾股定理得， ,
∴,
解得，x1= 4，x2= -10(不符合题意，舍去）,
∴PH=4千米，
即灯塔与直线的距离为4千米.
故答案为：4
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用问题，方位问题，应用勾股定理列方程求解是解答此题的重要思路.
22．将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.
【答案】11cm≤h≤12cm．
【解析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故答案为11cm≤h≤12cm．
【点睛】
本题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
23．在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则的长为______．
【答案】6或2.
【解析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（6）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4-2=2
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．
24．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
三、解答题
25．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为16米
【解析】
设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程，然后解方程即可求解．解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+4）米，
由勾股定理得：x2+122=(x+4)2，
解得：x=16，
答：旗杆的高度为16米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解答的关键．
26．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．
【解析】
（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．解：（1）会受到影响．
过点A作AE⊥MN于点E，
∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE＝80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，
在Rt△ABE中，
∵AB＝100m，AE＝80m，
∴BE＝＝＝60m，
∴BC＝2BE＝120m，
∵火车的速度是180千米/时＝50m/s，
∴t＝＝＝2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
27．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为．
（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．
（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，）
（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．
【答案】（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析
【解析】
（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可
（2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏电视机的长和宽，再分别加2即可
（3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下：
∵宽屏的长宽比为；
∴宽屏的宽与长的比为；
∴0.5625-0.618=-0.0555
∵普屏的长宽比为．
∴普屏的宽与长的比为
∴0.75-0.618=0.132
∴宽屏更适合人体工程学要求
（2）∵宽屏的长宽比为；
∴设长为16xcm，则宽为9xcm(x>0)，
∵电视机屏幕为80寸，
∴（16x）2+（9x）2=(802，
∴
∴，
∴长为16，宽为9x=
∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm
（3）普屏的屏幕面积大，理由如下：
设相同尺寸为a寸，宽屏电视的长宽分别为16m和9m，
普屏电视的长宽分别为4n和3n
∴，
∴，
∴宽屏的屏幕面积=
普屏的屏幕面积=
∵
∴普屏的屏幕面积大
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键
28．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】米
【解析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴（米），
∴BD=AB-AD=12-（米），
答：船向岸边移动了（12-）米．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
29．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【解析】
（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
30．（问题探究）
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
（问题解决）
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30∘，
∵EF⊥AB，
∴EF=AE；
(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BCsin60∘=2×=
∴MN+CM=12AM+MC=
即AM+MC的最小值为
(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。
在Rt△ABD中,AD=(km)
在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)，
所以AM=(480−)km．
【点睛】
此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．
31．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）新路CH比原路CA少0.05千米；（3）．
【解析】
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA，则AH，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程求解即可得到结果．（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
整理得：；
（2）∵CA，
∴AH，
在Rt△ACH中，，
即，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH，则BH，
在Rt△ACH中，，
在Rt△BCH中，，
∴，
即，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法。
第十七章 勾股定理（应用题篇）
知识梳理+九大例题分析+经典同步练习
知识梳理
方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题—分析实际问题；
2．建模—建立相应的数学模型；
3．求解—运用勾股定理计算；
4．检验—是否符合实际问题的真实性．
题型总结：确定几何体上的最短路线，先将立体图形展开成平面图形，注意展开方式，再构造直角三角形来求解最短距离；
在求一些高度、长度、距离、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题再利用勾股定理进行求解。
关键词：直角三角形（寻找直角三角形、构造直角三角形）
典型例题
例题1．如图，是一高为2m，宽为1.5m的门框，李师傳有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
【答案】C
【解析】
根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．解：如图，由勾股定理可得：
所以此门通过的木板最长为，
所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板．
故选C.
例题2．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是（ ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
【答案】D
【解析】
由题意可知OB=7m，OA=24m，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=DC，又由题意可知OD=15m，进而得出答案．解：在直角三角形AOB中，因为AO=24m，OB=7m，
由勾股定理得：AB==25（m），
由题意可知AB=CD，
又OC=24-4=20（m），根据勾股定理得：OD==15（m），
故BD=DO-BO=15-7=8（米）．
故选：D．
例题3．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．翻译成数学问题是：如图，有一个水池，水面是边长为 10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺
【答案】D
【解析】
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x＋1）尺，
根据勾股定理得：x2＋（）2＝（x＋1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x＋1＝12＋1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：D
例题4．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边为，
则在中，，，
由题意根据勾股定理得，，即，
∴，（舍去），即，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故选：．
例题5．如图所示，公路和公路在点处交汇，点处有一所中学，，点到公路的距离为．假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，影响时间为24秒
【解析】
由点向作垂线，垂足为，通过比较的长与100的大小，从而判断是否会受影响；再利用勾股定理求得距离点100米到离开100米的距离，除以拖拉机的速度即为影响学校的时间．解：∵，
学校会受到拖拉机的影响；
如图：作于，则．
假设当拖拉机行驶到点开始影响学校，行驶到点结束对学校的影响，
则米，
米，
米，
千米时米秒，
所以影响学校的时间为：秒
拖拉机会影响学校，影响时间为24秒．
例题6．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m 到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了50m到达目的地C．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．
【答案】（1）100；（2）目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
【解析】
（1）根据所走的方向判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解.
（2）求出的度数，即可求出方向.(1)如图，过点B作BE//AD.
∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∠CBA=90°
AC==100(m).
(2)在Rt△ABC中，∵BC=50m,AC=100m,
CAB=30°.
∵∠DAB=60°,
DAC=30°，
即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上
例题7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B 处，在沿海城市 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以 20 千米/时的速度沿 BC 方向移动．已知 AD⊥BC 且AD= AB，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响．试问：
（1）A 城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案】（1）该城市会受到这次台风的影响．
（2）台风影响该市的持续时间16小时
（3）该城市受到这次台风最大风力为7.2级．
【解析】
（1）求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．
（2）以A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆与BC有两个交点E、F，E即开始影响，F是结束影响，求出EF长度再除以台风速度即为影响持续时间．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240，
∴AD=AB =120，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×（12-4）=200．
∵120＜200，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200，ED=FD．
∴台风影响该市持续的路程为：EF=2DF=2=320．
∴台风影响该市的持续时间t=320÷20=16（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．
例题8．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是__．
【答案】15.6cm≤a≤16.6cm．
【解析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6；最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答即可解：吸管放进杯里垂直于底面时最短为12+3.6＝15.6（cm）；
最长时与底面直径和高正好组成直角三角形，底面直径为2×2.5＝5（cm）．
杯里面部分管长为＝13（cm），总长为13+3.6＝16.6（cm），
故管长acm的取值范围是15.6cm≤a≤16.6cm．
故答案为15.6cm≤a≤16.6cm．
例题9．如图，某人欲从点A处入水横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m，结果他在水中实际游了250m，求该河流的宽度为________m.
【答案】150
【解析】
分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
详解：AB==150（米）．
故答案为150．
一、单选题
1．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：两棵树的高度差为，间距为，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
3．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【答案】B
【解析】
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，
又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵大树在距地面5米的C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量树尖B与树桩A相距12米，则大树折断前高为（ ）
A．13米 B．17米 C．18米 D．22米
【答案】C
【解析】
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．解：Rt△ABC中，AC=5米，AB=12米，
由勾股定理，得：米，
∴树的高度为：AC+BC=18米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
5．将一根的细木棍放入长，宽，高分别为，，的长方体盒子中，则细木棍露在外面的最短长度为（ ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】
根据题意得到木棒露在外面的最短情况，然后利用勾股定理进行求解即可．解：按如图所示的方法放置细木棒，露在盒子外面的部分才最短．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，
得，
此时露在盒子外面的部分为．
故选B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
已知ab＝14可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.由题意得：大正方形的面积为，
又小正方形边长为，，
，
，
，
．
故小正方形边长为．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理的推导，有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
7．如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【解析】
先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
【点睛】
本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°．
8．如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，则AM的长为（ ）
A．﹣1 B． C．3﹣ D．6﹣2
【答案】A
【解析】
要求AM的长，只需求得AF的长，根据AF、AP和PF之间的关系，可得出AF的长度，又AF=AM，即可得出．在Rt△APD中，AB=2，AD=2，取AB的中点P，
∴AP=1，
由勾股定理知PD=，
∴AM=AF=PF−AP=PD−AP= ,
故选A．
【点睛】
此题考查正方形的性质，勾股定理，解题关键在于求得AF的长．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】
设，利用勾股定理依据和的长相等列方程，进而求出的值，即可求出的长度．解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，
答：梯子的长为．
故选：．
【点睛】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到利用勾股定理列方程是解题的关键．
10．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【答案】B
【解析】
根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，
根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+22，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，
∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11，
故选：B．
【点睛】
此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.
12．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由正方形与正方形的面积分别为和,可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为，则在中，由勾股定理可求出，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．∵正方形与正方形的面积分别为和，
∴，，
设四个直角三角形的较短边为，
则在中，，，
由题意根据勾股定理得，，即，
∴，（舍去），即，
∴，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故选：．
【点睛】
本题考查有关勾股定理的应用．解决此题的关键是根据勾股定理求出四个直角三角形的较短边．
二、填空题
13．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为___________．
【答案】
【解析】
根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．由勾股定理知：PB＝ ＝＝，
∴PD＝,
∴点D表示的数为﹣1.
故答案是：﹣1.
【点睛】
此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.
14．如图，一个边长为4cm的正方体，A、B为两相对的顶点，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为________cm．
【答案】
【解析】
把正方体进行展开，然后根据勾股定理及两点之间线段最短进行求解即可．如图，根据题意可知最短距离为AB，
根据勾股定理得：．
蚂蚁爬行的最短距离为．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
【答案】8
【解析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
16．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
【答案】11cm 12cm
【解析】
根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
17．如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，得到∠CDC′＝60°．若∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，则CD＝_____．
【答案】
【解析】
根据周角的定义和折叠的性质可求∠ADC＝150°，根据平角的定义可求∠ADB＝30°，可得AD＝2AB＝2，再根据勾股定理可求BC，BD，再根据线段的和差关系可求CD的长．解：∵把直角三角形纸片折叠，使点C落在C′处，折痕为AD，∠CDC′＝60°，
∴∠ADC＝150°，
∴∠ADB＝30°，
∴AD＝2AB＝2，
∵∠ABC＝90°，
∴BC＝，BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理得出BC与BD是解题的关键．
18．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________．
【答案】4.55
【解析】
设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．解：如图
设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺，
根据勾股定理得：
AC²＋BC²＝AB²，
即：x²＋3²＝(10−x)²，
解得：x＝4.55，
故答案为：4.55.
【点睛】
考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
19．如图，已知在中，，，点是边的中点，，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么线段的长为________．
【答案】
【解析】
由题意可以分析知△ADC与△ABC相似可求出AC=，再根据三角形面积求出EC的长，由题意知道△BEC为直角三角形，根据勾股定理即可求出BE的长．由题意做图，如图：由折叠知识知EC⊥AD，
在△ADC与△ABC中，
，
∴△ADC∽△ABC，
∴ ,
∵，点是边的中点，
代入可得：AC=，
由勾股定理可得AD= =，
由四边形AEDC面积等于2△ADC可得：2=AD，
解得：EC===,
又∵ED=BD=DC，
∴△BEC是直角三角形（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴BE= ==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直角三角形折叠问题，涉及到相似和勾股定理，求出EC是关键一步．
20．（2019高桥期中考）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为__________．
【答案】.
【解析】
首先根据勾股定理求出的长，进而求出，设，则 由长方形的宽表示出的长度，根据勾股定理列出方程即可求解；设
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
由勾股定理可得：
在中，由勾股定理可得：
解得：
故答案是：
【点睛】
本题主要考查长方形中三角形的折叠问题，同时结合了勾股定理的计算，根据题意列出关于勾股定理的方程是求解本题的关键.
21．如图，东西海岸线上有、两个码头，相距6千米，灯塔到码头距离为千米．灯塔在码头的北偏东方向，则灯塔与直线的距离为______千米．
【答案】4
【解析】
过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.解：如图，过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，
根据题意可得，∠PBH=45°, AB=6千米，PA=千米，
∴∠PBH=∠BPH=45°,
∴PH=BH，
设PH=x千米，
在RtΔAPH中，由勾股定理得， ,
∴,
解得，x1= 4，x2= -10(不符合题意，舍去）,
∴PH=4千米，
即灯塔与直线的距离为4千米.
故答案为：4
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用问题，方位问题，应用勾股定理列方程求解是解答此题的重要思路.
22．将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长为h cm, 则h的取值范围是__________.
【答案】11cm≤h≤12cm．
【解析】
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故答案为11cm≤h≤12cm．
【点睛】
本题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
23．在中，，以为斜边作等腰直角，连接，若，，则的长为______．
【答案】6或2.
【解析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（6）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=4-2=2
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．
24．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
三、解答题
25．如图，小东将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约4米，请算出旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为16米
【解析】
设旗杆的高度为x米，根据勾股定理列出方程，然后解方程即可求解．解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+4）米，
由勾股定理得：x2+122=(x+4)2，
解得：x=16，
答：旗杆的高度为16米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用、解一元一次方程，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解答的关键．
26．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？
【答案】（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．
【解析】
（1）过点A作AE⊥MN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE＝80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可．解：（1）会受到影响．
过点A作AE⊥MN于点E，
∵点A到铁路MN的距离为80米，
∴AE＝80m，
∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，
∴学校会受到影响；
（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB＝AC＝100m，
在Rt△ABE中，
∵AB＝100m，AE＝80m，
∴BE＝＝＝60m，
∴BC＝2BE＝120m，
∵火车的速度是180千米/时＝50m/s，
∴t＝＝＝2.4s．
答：学校受到影响的时间是2.4秒．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
27．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为．
（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．
（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，）
（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．
【答案】（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析
【解析】
（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可
（2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏电视机的长和宽，再分别加2即可
（3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下：
∵宽屏的长宽比为；
∴宽屏的宽与长的比为；
∴0.5625-0.618=-0.0555
∵普屏的长宽比为．
∴普屏的宽与长的比为
∴0.75-0.618=0.132
∴宽屏更适合人体工程学要求
（2）∵宽屏的长宽比为；
∴设长为16xcm，则宽为9xcm(x>0)，
∵电视机屏幕为80寸，
∴（16x）2+（9x）2=(802，
∴
∴，
∴长为16，宽为9x=
∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm
（3）普屏的屏幕面积大，理由如下：
设相同尺寸为a寸，宽屏电视的长宽分别为16m和9m，
普屏电视的长宽分别为4n和3n
∴，
∴，
∴宽屏的屏幕面积=
普屏的屏幕面积=
∵
∴普屏的屏幕面积大
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键
28．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】米
【解析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴（米），
∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴（米），
∴BD=AB-AD=12-（米），
答：船向岸边移动了（12-）米．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
29．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【解析】
（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
30．（问题探究）
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
（问题解决）
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km．
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案．解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。
理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点，
∴∠BAD=30∘，
∵EF⊥AB，
∴EF=AE；
(2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BCsin60∘=2×=
∴MN+CM=12AM+MC=
即AM+MC的最小值为
(3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30
作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。
在Rt△ABD中,AD=(km)
在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)，
所以AM=(480−)km．
【点睛】
此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键．
31．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且，测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
（3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）新路CH比原路CA少0.05千米；（3）．
【解析】
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA，则AH，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=CA2-AH2=CB2-BH2，列出方程求解即可得到结果．（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
整理得：；
（2）∵CA，
∴AH，
在Rt△ACH中，，
即，
解得x=1.25，
即CA=1.25，
CA-CH=1.25-1.2=0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH，则BH，
在Rt△ACH中，，
在Rt△BCH中，，
∴，
即，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法。
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